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文档简介

1、函数凹凸性在高考中的应用,奉化高级中学 沈海敏,中学学科,问题1：观察函数 在区间 上的图象，指出它们有什么不同,问题2：（1998全国高考）向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如图所示，那么水瓶的形状是（ ）,V,B,凹凸的含义: 若曲线段向上（下）弯曲，则称之为凹（凸）的。,图形上任意弧段（ ） 位于所张弦的上方。,图形上任意弧段（ ）位于所张弦的下方。,问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?,的中点,的中点,凹凸函数定义 ：,设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称,为I上的凹函数;,(2) 若恒有,则称,为I上的凸函数 .,增量特征,凹函数的增

2、量特征是：越来越大； 凸函数的增量特征是：越来越小； 简记为：增量凹大凸小,对 的每一个单位增量 ， 函数 的对应增量,几何特征,图6（凹函数） 图7（凸函数）,设是函数y= 曲线上两点，函数曲线 与 之间任一点A处切线的斜率：,凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率随x增大而增大； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率随x增大而减小； 简记为：斜率凹增凸减。,中学学科,思考：函数的增量及在一点处的切线斜率与什么相关？,例1. (2005湖北高考) 在 这四个函数中,当 时, 使得 恒成立的函数是_.,练习（课本必修1 P45第5题） 证明：（1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ,设定义域为R,且对任意实数 ，都满足不等式 的所有函数 组成的集合记为M. (1)写出一个幂函数 ,使得 (2) (3)已知函数 请判断 是否属于集合M?若是,请证明;若不是,请说明理由,并适当改变 ,使得,例2（2011年上海春季高考）：,变式 ：若函数 ，请判断 是否属于集合M,例3：:（2006重庆高考).如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的倍，则函数y=f(x)的图象是（ ）,A B C D,D,本节课你学到了什么？,1.函数凹凸性定义以及其特征

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