高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.1.1 变量与函数的概念学案 新人教B版必修

1、2.1.1.1 变量与函数的概念预习导航课程目标学习脉络1.理解函数的概念，了解构成函数的要素2会求一些简单函数的定义域和值域3掌握用换元法和代入法求函数解析式这一常用方法4能正确地使用区间表示数集.一、函数的相关概念1函数的定义初中在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量现在设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作yf(x)，xA，函数yf(x)也经常写作函数f或函数f(x)2相关名称(1)函数的定义域在函数

2、yf(x)，xA中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域(2)函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作f(a)或y|xa.所有函数值构成的集合y|yf(x)，xA叫做这个函数的值域思考1函数符号“yf(x)，xA”中的“f”及f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)符号“yf(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”例如，yf(x)x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用，则显然应该有f(a)a2，f(m1)(m1)2

3、，f(x1)(x1)2.(2)符号yf(x)是“y是x的函数”的符号表示，应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一个具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值yf(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当xa时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值如，一次函数f(x

4、)3x4，当x8时，f(8)38428，是一个常数思考2同一函数的判断标准是什么？提示：一般地，判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一个函数因此判断时应注意以下四点：(1)定义域不同，两个函数也就不同如，yx2(xR)与yx2(x0)不是同一个函数；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的如，yx与yx2不是同一个函数；(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一个函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则

5、如，函数f(x)x2与f(x)2x2虽定义域和值域均相同，但它们不是同一个函数；(4)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的如，f(x)2 015x2 014，f(t)2 015t2 014，g(x)2 015x2 014都表示同一个函数二、区间的概念特别提醒(1)区间表示了一个数集，主要用来表示函数的定义域、值域、不等式的解集等(2)若a，b是一个确定的区间，则隐含条件为ab.(3)在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心圆圈表示(4)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开(5)用，表示区间的端点时不能写成闭区间的形式思考3区间与数集有何关系？提示：(1)联系：区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号