概率统计辅导讲义

1、概率论与数理统计考研辅导讲义 目 录 第1讲 随机事件和概率第2讲 随机变量及其分布第3讲 多维随机变量及其分布第4讲 随机变量的数字特征与中心极限定理第5讲 数理统计第1讲 随机事件和概率1随机现象及其统计规律性在客观世界中存在着两类不同的现象：确定性现象和随机现象在一组不变的条件S下，某种结果必定发生或必定不发生的现象称为确定性现象这类现象的一个共同点是：事先可以断定其结果在一组不变的条件S下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象这类现象的一个共同点是：事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种一般来说，随机现象具有两重性：表面上的偶然性与内部蕴含着的必然规律性随机现象的偶然性又称为它的

2、随机性在一次实验或观察中，结果的不确定性就是随机现象随机性的一面；在相同的条件下进行大量重复实验或观察时呈现出来的规律性是随机现象必然性的一面，称随机现象的必然性为统计规律性2随机试验与随机事件为了叙述方便，我们把对随机现象进行的一次观测或一次实验统称为它的一个试验如果这个试验满足下面的三个条件：(1)在相同的条件下，试验可以重复地进行(2)试验的结果不止一种，而且事先可以确知试验的所有结果(3)在进行试验前不能确定出现哪一个结果那么我们就称它是一个随机试验，以后简称为试验一般用字母E表示在随机试验中，每一个可能出现的不可分解的最简单的结果称为随机试验的基本事件或样本点，用表示；而由全体基本事

3、件构成的集合称为基本事件空间或样本空间，记为随机事件：是样本空间的一个子集，随机事件简称为事件，用字母A，B，C等表示因此，某个事件A发生当且仅当这个子集中的一个样本点发生，记为A3 事件之间的关系与运算事件之间的关系有：“包含”、“等价(或相等)”、“互不相容(或互斥)”以及“独立”四种事件之间的基本运算有：“并”、“交”以及“逆”事件的包含关系与等价关系：设A，B为两个事件如果A中的每一个样本点都属于B，那么称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，记为AB或BA如果AB与BA同时成立，那么称事件A与事件B等价或相等，记为AB事件的并与交：设A，B为两个事件我们把至少属于A或B中一个的所

4、有样本点构成的集合称为事件A与B的并或和，记为AB或AB事件的互不相容关系与事件的逆：设A，B为两个事件，如果AB，那么称事件A与B是互不相容的(或互斥的)对于事件A，我们把不包含在A中的所有样本点构成的集合称为事件A的逆(或A的对立事件)，记为我们规定它是事件的基本运算之一在一次试验中，事件A与不会同时发生(即A，称它们具有互斥性)，而且A与至少有一个发生(即A，称它们具有完全性)这就是说，事件A与满足：根据事件的基本运算定义，这里给出事件之间运算的几个重要规律：(1) (交换律)， (2) (结合律)， (3) (分配律)(BC)ABAC ABC(AB)(AC)(4) (德摩根律) ， 事

5、件为事件A与B的差，记为AB可见，事件AB是由包含于A而不包含于B的所有样本点构成的集合【例1】设，是任意二事件，完成运算：（1）、； （2）、【例2】从一批产品中任取3个，观察其中的合格数，记=三件产品都是合格品，=三件产品至多有一件是合格品，=第件是合格品，。试用来表示，。4概率的公理化定义：设E是一个随机试验，为它的样本空间，以E中所有的随机事件组成的集合为定义域，定义一个函数P(A)(其中A为任一随机事件)，且P(A)满足以下三条公理，则称函数P(A)为事件A的概率公理1(非负性) 0P(A)1公理2(规范性) P()1公理3(可列可加性) 若A1，A2，An，两两互斥，则由上面三条公

6、理可以推导出概率的一些基本性质性质1(有限可加性) 设A1，A2，An两两互斥，则性质2(加法公式) 设A，B为任意两个随机事件，则P(AB)P(A)P(B)P(AB)性质3 设A为任意随机事件，则P()1P(A)性质4 设A，B为两个任意的随机事件，若AB，则P(BA)P(B)P(A)由于P(BA)0，根据性质4可以推得，当AB时，P(A)P(B)请注意以下常见结论：，；【例3】，是两随机事件，则 。【例4】，是两随机事件，则 。【例5】，是两随机事件，则 。【例6】，是两随机事件，当，发生时事件发生，则以下正确的是（ ）A）、 B）、C）、 D）、【例7】，是三随机事件，已知，且，至少有两

7、个发生的概率为，同时发生的概率为，则，都不发生的概率为（ ）A）、 B）、 C）、 D）、6概率的统计定义：在一组不变的条件S下，独立地重复做n次试验设是n次试验中事件A发生的次数，当试验次数n很大时，如果A的频率fn(A)稳定地在某一数值p附近摆动；而且一般说来随着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小，则称数值p为事件A在条件组S下发生的概率，记作问题 (1)试判断下式 成立吗？为什么？(2)野生资源调查问题 池塘中有鱼若干(不妨假设为x条)，先捞上200条作记号，放回后再捞上200条，发现其中有4条带记号用A表示事件任捞一条带记号，问下面两个数 哪个是A的频率？哪个是A的概率？为什么？

8、7古典概型：古典型试验：()结果为有限个；()每个结果出现的可能性是相同的定义 设古典概型随机试验的基本事件空间由n个基本事件组成，即1，2，n如果事件A是由上述n个事件中的m个组成，则称事件A发生的概率为 8几何概型：几何型试验：()结果为无限不可数；()每个结果出现的可能性是均匀的定义 设E为几何型的随机试验，其基本事件空间中的所有基本事件可以用一个有界区域来描述，而其中一部分区域可以表示事件A所包含的基本事件，则称事件A发生的概率为 其中L()与L(A)分别为与A的几何度量【例7】一袋中有10件产品，其中3件次品，7件正品，从中不放回地取3次，则“至少有两件次品的概率”为 。【例8】从5

9、双不同的鞋子中任取4只，则此4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率为 。【例9】设有个人，每个人都等可能的被分配到个房间中的任意一间去住，求（1）、指定的个房间各有一个人住的概率为 。（2）、恰有个房间各有一个人住的概率为 。【例10】从中任取两个数和，则满足条件的的概率为 。【例11】从长度为的线段内任取两个点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率为 。9条件概率前面我们所讨论的事件B的概率PS(B)，都是指在一组不变条件S下事件B发生的概率(但是为了叙述简练，一般不再提及条件组S，而把PS(B)简记为P(B)在实际问题中，除了考虑概率PS(B)外，有时还需要考虑“在事件A已发生”这

10、一附加条件下，事件B发生的概率与前者相区别，称后者为条件概率，记作P(B|A)，读作在A发生的条件下事件B的概率在一般情况下，如果A，B是条件S下的两个随机事件，且P(A)0，则在A发生的前提下B发生的概率(即条件概率)为，并且满足下面三个性质：(1)(非负性)P(B|A)0； (2)(规范性)P(|A)1； (3)(可列可加性)如果事件B1，B2，互不相容，那么条件概率仍具有概率的其他性质：、；、10概率的乘法公式：在条件概率公式(13)的两边同乘P(A)，即得P(AB)P(A)P(B|A) 【例12】一袋中有5件产品，其中2件次品，3件正品，从中不放回地取2次，设=第一次取得正品，=第二次

11、取得正品，则 。【例13】，是两随机事件，且，则 。【例14】，是三个随机事件，其中，且已知，则以下正确的是（ ）A）、 B）、C）、 D）、【例15】，是三个随机事件，设以下条件概率均有意义，则以下不正确的是（ ）A）、 B）、C）、D）、【例16】为了防止意外，在矿内同时有两个报警系统，。每个报警系统单独使用时，其有效的概率是为0.92，为0.93。在失灵的情况下，有效的概率为0.85。求：（1）、发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率？（2）、失灵的情况下，有效的概率？ 11 全概率公式：如果事件组A1，A2，An满足(1) 且P(Ai)0(i1，2，n)(2)AiAj(ij；i

12、，j1，2，n)，则对任一事件B，有上式称之为全概率公式12贝叶斯公式：设A1，A2，An是某一随机试验的一个完备事件组，对任意事件B(P(B)0)，在事件B已发生的条件下事件Ai发生的概率为 上式称之为贝叶斯公式(或逆概率公式)利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率的关键是找满足全概率公式中条件的事件组，即完备事件组A1，A2，An要掌握以下两点：(1)事件B必须伴随着n个互不相容事件A1，A2，An之一发生，B的概率就可用全概率公式计算(2)如果我们已知事件B发生了，求事件Aj(j1，2，n)的概率，则应使用贝叶斯公式这里用贝叶斯公式计算的是条件概率P(Aj|B)(j1，n)这里，我们把导致试

13、验结果的各种“原因”：A1，A2，An的概率P(Ai)称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道现在若试验产生了事件B，它将有助于探讨事件发生的“原因”我们把条件概率P(Ai|B)称为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新知识【例17】一单位有甲乙两人，已知甲近期出差的概率80，若甲出差则乙出差的概率为10，若甲不出差则乙出差的概率为85。已知乙出差在外，则甲出差在外的概率为（ ）A）、 B）、 C）、 D）、【例18】有报告称一名探险者失踪，失踪地点等可能的分布在3个区域，以表示失踪者在第个区域而没有被发现的概率，已知

14、对区域1的搜索没有发现失踪者，求在此条件下，失踪者在第个区域的概率 。【例19】有两组同类产品，第一组有30件，其中10件是优质品；第2组有20件，其中15件是优质品。今从两组中任选一组，然后从该组中不放回任取两次。（1）、求第一次取到的是优质品的概率；（2）、求在第一次取到的是优质品的条件下，第二次取到的是优质品概率。4事件的独立性：设A，B是某一随机试验的任意两个随机事件，称A与B是相互独立的，如果P(AB)P(A)P(B)可见事件A与B相互独立是建立在概率基础上事件之间的一种关系所谓事件A与B相互独立就是指其中一个事件发生与否不影响另一个事件发生的可能性，即当P(B)0时，A与B相互独立

15、也可以用来定义注意 :1：由两个随机事件相互独立的定义，我们可以得到：若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立注意2：如果事件A，B，C满足则称事件A，B，C相互独立注意3：事件A，B，C相互独立与事件A，B，C两两独立不同，两两独立是指上述四个式子中前三个式子成立因此，相互独立一定是两两独立，但反之不一定问题 (1)两个事件的“独立”与“互斥”之间有没有关系？在一般情况下，即P(A)0，P(B)0时，有关系吗？为什么？(2)设0P(A)1，0P(B)1，P(B|A)P(|)1问A与B是否独立，为什么？由此可以得到什么结论？【例20】一个实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第

16、个零件是不合格品的概率，以表示3个零件中合格品的数目，则 。【例21】，是两个随机事件，其中，则以下正确的是（ ）A）、，一定独立 B）、，不一定独立C）、，一定独立 D）、，不一定独立【例22】从一副牌（52张）中不放回取2次，设=第一次取得红牌，=第二次取得红牌，=恰有一次取得红牌，=两次都为黑牌，则以下正确的是（ ）A）、，两两独立 B）、，相互独立C）、，两两独立 D）、，相互独立【例23】一袋中有10个球，其中5个白球，3个红球，2个黑球，从中放回地取3次，(1)、求“恰是一次白球一次红球一次黑球”的概率；（2）、求“恰有2次红球”的概率；（3）、求“至少有一次白球”的概率。13 伯

17、努利(Bernoulli)概型在实际问题中，我们常常要做多次试验条件完全相同(即可以看成是一个试验的多次重复)并且都是相互独立(即每次试验中的随机事件的概率不依赖于其他各次试验的结果)的试验我们称这种类型的试验为重复独立试验在单次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，则在n次独立重复试验中PA发生k次所谓伯努利概型就是利用关系式来讨论事件概率的数学模型伯努利概型又称为独立试验序列概型(或二项概型) 【例24】从一副牌（52张）中放回取5次，已知“有2张是红桃”，求“恰有3张是红桃”的概率 。二 练习题1、 袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球

18、的概率是_2、有一批产品，其中正品有n个，次品有m个，先从这批产品中任意取出l个(不知其中的次品数)，然后再从剩下的产品中任取一个恰为正品的概率为( )3、袋中有5个球，其中1个是红球，每次取1个球，取出后不放回，前3次取到红球的概率为( )4、 设两两相互独立的三事件A，B，C，满足：ABC，P(A)P(B)P(C),并且，求事件A的概率5、 设P(A)0，P(B)0，证明(1)若A与B相互独立，则A与B不互斥(2)若A与B互斥，则A与B不独立6、 设A，B是两个随机事件，且0P(A)1，P(B)0，则P(AB)P(A)P(B)7、 设两个随机事件A，B相互独立，已知仅有A发生的概率为，仅有

19、B发生的概率为，则 P(A)_，P(B)_8、 设随机事件A与B的和事件的概率为0.6，且积事件的概率为0.3，则事件的概率P()( )9、 甲、乙两封信随机地投入标号是1，2，3，4，5的五个信筒内，则第3号信筒恰好只投入一封信的概率为( )10、 袋中有10个球，其中有4个白球、6个红球从中任取3个，求这3个球中至少有1个是白球的概率11、 从52张扑克牌中任取13张，求(1)至少有两种4张同号的概率(2)恰有两种4张同号的概率12、 三只外观相同的钢笔分别属于甲、乙、丙三人如今三人各取一只，恰好取到自己的笔的概率是( )；都没有取到自己的笔的概率是( )13、 一批产品共100件，对产品

20、进行不放回地抽样检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的5件产品中至少有一件是废品如果在该批产品中有5件是废品，求该批产品被拒绝接收的概率14、 由以往记录的数据分析，某船只在不同情况下运输某种物品，损坏2，10，90的概率分别为0.8，0.15和0.05现在从中随机地取三件，发现这三件全是好的，试分析这批物品的损坏率为多少？15、 若有M件产品中包括m件废品，从中任取2件，求(1)已知取出两件中有一件次品件条件下，另一件也是次品的概率(2)已知取出两件中有一件不是次品的条件下，另一种是次品的概率(3)取出2件中至少有一件是次品的概率16、 袋中有15个小球，其中7个是白球，8个是黑球现在从中

21、任取4个球，发现它们颜色相同，问它们都是黑色的概率为多少？17、 某班车起点站上车人数是随机的，每位乘客在中途下车的概率为0.3，并且它们下车与否相互独立求在发车时有10个乘客的条件下，中途有3个人下车的概率18、 设有甲、乙两个口袋，甲袋中有9个白球、1个黑球，乙袋中有10个白球现从两个口袋中各任取一球，交换后放回袋中，求交换三次后，黑球在乙袋中的概率19、 在对某厂的产品进行重复抽样检查时，从抽取的200件中发现有4件次品，问能否相信该厂产品的次品率不超过0.005？20、 在第一个箱中有10个球，其中8个是白的；在第二个箱中有20个球，其中4个是白的现从每个箱中任取一球，然后从这两球中任

22、取一球，取到白球的概率为( )第2讲 随机变量及其分布1定义：在条件S下，随机试验的每一个可能的结果都用一个实数XX()来表示，且实数X满足：()X是由唯一确定()对于任意给定的实数x，事件Xx都是有概率的，则称X为一随机变量一般用英文大写字母X，Y，Z等表示2分类3离散型随机变量的分布形式()分布律PXxkpk (k1，2，)，即X的分布是由公式的形式给出()分布列Xx1x2xkP(Xxk)p1p2pk即X的概率分布是由列表的形式给出()分布阵 ，即X的概率分布是由矩阵的形式给出的这里pk有下列性质： 一般来说，对于实数集R中任一个区间D，都有 4几种常见的离散型随机变量的概率分布(1)01

23、分布设随机变量X的分布为 P(X1)p， P(X0)1p (0p1)，则称X服从参数为p的01分布，记为XB(1，p)(2)二项分布设随机变量X的分布为 (k0，1，2，n；0p1，q1p)，则称X服从参数为n、p的二项分布，记为XB(n，p)(3)几何分布设随机变量X的分布为P(Xk)pqk1(k1，2，n，；0p1，q1p)，则称X服从参数为p的几何分布，记为XG(p)(4)泊松(Poisson)分布设随机变量X的分布为则称X服从参数为的泊松分布，记为XP()(5)超几何分布设随机变量X的分布为则称X服从参数为n，M，N的超几何分布，记为XH(n，M，N)【例1】设某医院男婴的出生率为，昨

24、天该院共有5个新婴儿出生，且已知“至少有一名男婴”，则昨天该院“恰有一名男婴”的概率为 。【例2】设服从参数为的泊松分布，且已知，则 。【例3】一公司有3000多个职工，其中30是女职工，从公司全体职工的花名册中随机一个一个（不放回地）抽取职工名单，直到抽到3名女职工就结束，设结束时共抽取了次，则 。【例4】设随机变量和分别服从参数为和的二项分布，若，则 。【例5】甲乙两人独立投篮3次，设甲、乙两人每次投篮命中率分别为，则甲投中次数小于乙投中次数的概率为 。【例6】甲、乙两人各抛3次硬币，设硬币是均匀的，且甲有次正面，乙有次正面，且、独立同分布，则以下正确的是（ ）A）、 B）、C）、 D）、

25、【例7】一个袋子中有6个编号为1,2,3,4,5,6的球，从中不放回的取3次，每次1只球，设取到每一个球的概率相等，表示取出的3只球中的最大号码，写出的概率分布。【例8】一个由个独立原件组成的系统，每个元件正常工作的概率为，若至少有一半元件正常工作时系统正常。问取何值时5个元件的系统比3个元件的系统更有效？【例9】设某次射击每人5发子弹，击中目标两次就结束射击。设小王每次命中率为，求小王射击次数的概率分布。【例10】一本书有50页，设一页的错误个数服从参数为的泊松分布，且已知一页平均有个错误，设书中有页“恰有1个错误”。(1)、写出的概率分布；（2）、求得近似值。5. 连续型随机变量的分布形式

26、：连续型随机变量X的分布密度有下列性质：0，xPxP()1与离散型随机变量类似，对于实数集R中任一区间D，事件(XD)的概率都可以由分布密度算出：其中为一可求积函数6 一般的随机变量X的分布函数 分布函数是一个以全体实数为其定义域，以事件|X()x的概率为函数值的一个实值函数分布函数F(x)具有以下的基本性质：0F(x)1F(x)是非减函数F(x)是右连续的且7几种常见的连续型随机变量的分布(1)均匀分布设随机变量X的分布密度函数为 ，则称X服从参数为a，b的均匀分布，记为XU(a，b)(2)指数分布设随机变量X的分布密度函数为 则称X服从参数为的指数分布，记为XE()(3)正态分布设随机变量

27、X的分布密度函数为 ，其中，为常数且0，则称X服从参数为，2的正态分布，记为XN(，2)特别地，称0，21的正态分布为标准正态分布，其密度函数为其分布函数记为，且。若XN(0，1)，则；若XN(，2)则；【例11】设XN(1，2)，且已知，则 。【例12】设随机变量X U(-1，2)，使方程有实根的概率为 。【例13】设随机变量X的概率密度为，则 ；且 。【例14】设随机变量N(0，1)，记，则当时，（ ）A）、 B）、 C）、 D）、【例15】设随机变量X的概率密度为，则的值为（ ）。其中A）、与无关，随的增大而增大 B）、与无关，随的增大而减小C）、与无关，随的增大而增大 D）、与无关，随

28、的增大而减小【例16】设随机变量X的概率密度为，分布函数，则以下正确的是（ ）。A）、一定是某一随机变量的概率密度函数B）、一定是某一随机变量的概率密度函数C）、一定是某一随机变量的概率密度函数 D）、一定是某一随机变量的概率密度函数【例17】设某门课考试成绩服从N(，2)，教师将超过的评为，分数在到之间的评为，分数在到之间的评为，分数在到之间的评为，其余的评为。求考生得的比例。（已知）【例18】设随机变量和具有相同的分布，且设的概率密度为。已知事件和独立，且，求常数。【例19】设随机变量X U(-1，4)，且，则的分布函数 ；的分布函数 。【例20】从校区到校区要经过2个交通灯，每灯为红灯的

29、概率为，设2灯是否为红灯相互独立，且设X为遇到的红灯数，则的分布函数 。【例21】以下可以作为分布函数的是（ ）。A）、 B）、C）、 D）、【例22】、设随机变量的概率密度为，且，是的分布函数，则对任意的实数，有（ ）A)、 B)、 C)、 D)、【例23】设与分别为随机变量与的分布函数，为使为某一随机变量的分布函数，以下正确的是（ ）。A）、 B）、C）、 D）、【例24】设与分别为两个相互独立的随机变量与的分布函数，与分别为随机变量与的概率密度函数，则以下正确的是（ ）。A）、 必为某一随机变量的概率密度B）、 必为某一随机变量的概率密度C）、 必为某一随机变量的分布函数 D）、 必为某

30、一随机变量的分布函数【例25】设随机变量X在上服从均匀分布，现对进行三次独立观察，则“至少有2次大于3”的概率为 。【例26】某公交站候车的时间服从于参数为的指数分布，已知平均候车时间为10分钟。如果候车时间不超过10分钟，则小李以80的概率要在中途下车去办另一件事；如果候车时间超过10分钟，则小李在中途下车的概率为10。现已知小李中途下车了，则小李候车时间超过10分钟的概率为 。【例27】一厂生产的元件80可直接出厂，20需调试，调试后其中的70可以出厂，30要报废。今该厂生产了只元件。（1）、求只元件都可出厂的概率；（2）、求只元件中恰有一只不能出厂的概率；（3）、求只元件中至少有2只不能

31、出厂的概率.【例28】一汽车售票处有3个窗口对外售票，每个窗口等待时间（以分计）服从于参数为的指数分布，3人同时分别排在3个独立的队伍中。求经过了10分钟，3人至少有一人结束等待的概率【例29】设某小型商场在时间区间内进入的顾客数服从于参数为的泊松分布，设前后两人到达商场的时间差为，（1）、求得概率分布函数；（2）、求得值8 函数的分布已知随机变量X的分布Yf(X)，求Y的分布离散型对离散型Xx1x2xnP(Xxi)p1P2pn记如果的值全都不相等，那么的概率分布为Yy1y2ynP(Yyi)p1P2pn但是，如果f(xi)的值中有相等的，那么就把那些相等的值分别合并，并根据概率加法公式把相应的

32、概率相加，便得到Y的分布连续型随机变量函数的分布(1)定义法：设X是连续型随机变量，其分布密度函数为我们用分布函数的定义导出Yg(X)的分布【例30】设XN(0，2)，求得概率密度。【例31】设X服从于参数为的指数分布，求得概率密度。二 练习题1、 掷两枚匀称的骰子，X点数之和，求X的分布2、 设 f(x)是否为分布密度函数？如何改造？3、 设随机变量X的分布密度函数为，求()常数C；()P(0.3X0.7)；()P(0.5X0.5)4、 从一批有13个正品和2个次品的产品中任意取3个，求抽得的次品数X的分布列和分布函数，并求5、 设连续型随机变量X的分布函数求系数A和B6、 设连续型随机变量

33、X的分布函数为， ，求()常数A ()X的分布密度函数p(x) ()PX07、 设X服从指数分布，则YminX，2的分布函数( )(A)连续 (B)至少有两个间断点 (C)阶梯函数 (D)恰有一个间断点8、 设XB(1，p)，即P(X1)p，P(X0)1p，则9、 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5在袋中同时取3只球，用X表示取出的3只球中的最小号码数，求X的分布函数10、 设XU(a，b)，即则11、 设XN(0，1)，求P(X2.35)，P(X1.25)以及P(|X|1.55)12、 设XN(1，22)，求P(0X5)13、 若XN(，2)，求()PX； ()P2X2； ()P3X

34、314、 设XN(2，32)，求：()P1X8；()PX4；()PX1115、 设XN(3，2)，并且P(3X7)0.4，求P(X1)16、 设某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数10.05，0.06的正态分布，规定长度在范围(10.050.12)cm内为合格品，求螺栓的次品率17、 设随机变量X的分布为X21012P(Xxi)求YX21的概率分布18、 设XU(0，1)，并且YX2，求Y的分布密度19、 设随机变量，求随机变量Ysin X的分布密度20、 XU(0，)，YsinX，求21、 设随机变量X的分布律分别为(1)(2) k0，1，2，0且为常数，试确定常数A和B22、 某店内有4

35、名售货员，据经验每名售货员平均在1 h内只用秤15 min，问该店通常情况下应配制几台秤？23、 设平面区域D是由x1，y0，yx所围成(如图25)，今向D内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在由曲线yx2与yx所围成的区域D1内的概率图2524、 设随机变量X具有连续的分布函数F1(x)，求YF1(X)的分布函数F2(y)(或证明题：设X的分布函数F1(x)是连续函数，证明随机变量YF1(X)在区间(0，1)上服从均匀分布)25、设随机变量XU(0，5)，求方程4x24XxX20有实根的概率26、设随机变量X的绝对值不大于1，即|X|1，且，在事件1X1出现的条件下，X在(1，

36、1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比试求X的分布函数F(x)及P(X0)(即X取负值的概率)27、 射击用的靶子是一个半径为R的圆盘，已知每次射击都能击中靶子，并且击中靶子上任一以靶心为圆心的圆盘的概率与该盘的面积成正比设随机变量X表示击中点与靶心的距离，求X的分布密度函数28、点随机地落在中心在原点，半径为R的圆周上，并且对弧长是均匀地分布，求(1)落点的横坐标的概率分布密度函数f1(x)(2)落点与点(R，0)的弦长的概率分布密度函数f2(y)(提示：落点的极角均匀地分布在(0，2)上)29、 设随机变量X的概率密度为 若使得，则k的取值范围是_30、设随机变量X的分布函

37、数为F(x)，则Y2lnF(X)的概率分布密度函数FY(y)_31、 设，并且ytanx，求Y的分布密度函数第3讲 多维随机变量及其分布一 知识点梳理1多维随机变量的概念及分类：我们把n个随机变量X1，X2，Xn作为一个整体来考察称为一个n维随机变量或n维随机向量，记为(X1，X2，Xn)，其中Xi称为的第i个分量对于二维随机向量，用(X，Y)表示，一般情况下我们只讨论离散型和连续型两大类2二维离散型随机向量联合概率分布及边缘分布：如果二维随机向量(X，Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x，y)时，则称为离散型随机向量设(X，Y)的所有可能取值为(xi，yi)(i，j1，2，)，且事件(x

38、i，yj)的概率为pij，称为(X，Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： YXy1y2.yi.pi*x1p11p12.p1j.p1*x2p21p22.p2j.p2*.xipi1pi2.pij.pi*.pjp1p2.pj.1这里pij具有下面两个性质：(1)pij0(i，j1，2，)(2)对于随机向量(X，Y)，称其分量X(或Y)的分布为(X，Y)的关于X(或Y)的边缘分布上表中的最后一列(或行)给出了X(或Y)的边缘分布一般来说，当(X，Y)为离散型，并且其联合分布律为P(X，Y)(xi，yj)pij (i，j1，2，)，则：X的边缘分布为 Y的边缘分布

39、为 【例1】、设，为两随机事件，已知，=0.3，引入，则求的联合概率分布及边缘分布。【例2】、设二维随机变量的概率分布为0101已知事件与事件相互独立，则 ， 。【例3】、设随机变量的概率分布为-101，且满足，则（ ）A)、0 B)、 C)、 D)、13二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布：对于二维随机向量(X，Y)，如果存在非负函数(x，y)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D(x，y)|axb，cyd有则称为连续型随机向量；并称为(X，Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度分布密度具有下面两个性质：(1) 0 (2) 一般来说，当(X，Y)为连续型随机向量，并且其

40、联合分布密度为，则X和Y的边缘分布密度为4 两种常见的连续型随机向量的分布(1)均匀分布：设随机向量(X，Y)的分布密度函数为 ，其中SD为区域D的面积，则称(X，Y)服从D上的均匀分布，记为(X，Y)U(D)在以后的讨论中，我们经常遇到的区域D有下面8种情况(图31图38)：图31 图32 图33图34 图35 图36图37 图38(2)正态分布：设随机向量(X，Y)的分布密度函数为其中m1，m2，s10，s20，|r |1是5个参数，则称(X，Y)服从二维正态分布，记为(X，Y)N(m1，m2，r )由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即XN(m1，)，Y

41、N(m2，)【例4】 设(X，Y)的联合分布密度为 试求：(1)常数C. (2)PX+Y1 【例5】 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，其中，求X的边缘密度【例6】 设(X，Y)的联合分布密度为 其中，则 ， 。【例7】设(X，Y)服从于二元正态分布，X，Y的相关系数，则服从 分布。5二维随机向量联合分布函数及其性质联合分布函数：设(X，Y)为二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数F(x，y)PXx，Yy，称为二维随机向量(X，Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数分布函数F(x，y)具有以下的基本性质：(1)0F(x，y)1(2)F(x，y)分别对x和y是

42、非减的，即当x2x1时，有F(x2，y)F(x1，y)； 当y2y1时，有F(x，y2)F(x，y1)(3)F(x，y)分别对x和y是右连续的，即F(x，y)F(x0，y)， F(x，y)F(x，y0)(4)F(，)F(，y)F(x，)0，F(，)1（5）X和Y的边缘分布密度为【例8】 设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为 ，求(1)常数C；(2)分布密度【例9】 设D2是x0，y0，y2x1围成的区域，(X，Y)在D2上均匀分布，求F(x，y)6条件分布：当(X，Y)为离散型，并且其联合分布律为P(X，Y)(xi，yj)pij (i，j1，2，)，则在已知Yyj的条件下，X取值的条件分布

43、为 在已知Xxi的条件下，Y取值的条件分布为其中pi，pj分别为X，Y的边缘分布当(X，Y)为连续型随机向量，并且其联合分布密度为，则在已知Yy的条件下，X的条件分布密度为 在已知Xx的条件下，Y的条件分布密度为其中0，0分别为X，Y的边缘分布密度【例10】 设二维随机变量的概率分布为0101已知，则在的条件下的条件概率分布为 。【例11】 设二维随机向量(X，Y)的联合密度为 求当时，【例12】 在区间上随机取一数，再在区间上随机取一数，（1）求的联合密度；（2）求条件密度；（3）求【例13】 设(X，Y)的联合分布密度为 ，其中，（1）、求，；（2）求条件密度及；（3）求得值；（4）讨论的

44、独立性。7随机变量的独立性：设X，Y是两个随机变量若对于任意的ab，cd，事件aXb与cYd相互独立，则称随机变量X与Y是相互独立的；否则，称X与Y是相依的(1)对于离散型随机向量，可以证明：当X，Y的分布律分别为piP(Xxi)，i1，2，；pjP(Yyj)，j1，2，时，则X与Y相互独立的充要条件是：对一切i，j有P(Xxi，Yyj)P(Xxi)P(Yyj)，即 pijpipj(2)对于连续型随机向量，可以证明：当X，Y的分布密度分别是，时，则X与Y相互独立的充要条件是：二元函数为随机向量(X，Y)的联合分布密度，即=(3)对于一般类型随机向量，可以证明：当X，Y的分布函数分别是F1(x)

45、，F2(y)时，则X与Y相互独立的充要条件是：二元函数F1(x)F2(y)为随机向量(X，Y)的联合分布函数F(x，y)，即F(x，y)F1(x)F2(y)【例14】 设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机向量(X，Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入下表中的空白处YXy1y2y3PXxipi.x1x2PYyjpj1【例15】 设(X，Y)的联合分布密度为试证明：(1)X与Y是不相互独立的 (2)X2与Y2是相互独立的8. 函数的分布设(X，Y)的联合分布为F(x，y)，由Zf(X，Y)确定Z的分布(1)当为离散型时，确定Z的分布设(X，Y)的联合分布

46、律为pijP(Xxi，Yyi) (i，j1，2，)，当(X，Y)取某一可能值(xi，yi)时，Z取值为设Z的一切可能取值为zk(k1，2，)，令Ck(xi，yj)|f(xi，yi)zk，则有【例16】 设(X，Y)的联合分布为Y X01201求()Z1XY； ()Z2XY； ()Z3XY的分布列(2)当为连续型时，确定Z的分布设(X，Y)的联合分布密度为，利用一维连续型随机变量函数分布的定义法，分两步完成：()其中 D( x，y)| z()下面以和的分布为例给予说明，并导出相应的公式设随机向量(X，Y)的联合分布密度为，随机变量ZXY，求Z的分布密度下面我们从Z的分布函数出发，导出pZ(z)来

47、(见图312)因为图312FZ(z)P(Zz)P(XYz)(其中)所以特别，当X和Y相互独立时，有利用上述公式：若XN(m1，)，YN(m2，)，并且X与Y相互独立，则XYN(m1m2，)【例17】 设X和Y是两个相互独立的随机变量，且XU(0，1)，YE(1)，求ZXY的分布密度函数【例18】 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y)，求随机变量UXY的概率密度g(u)【例19】 某服务台顾客等待时间X服从于参数为的指数分布，服务过程所需时间Y在均匀分布，独立，从开始等待时间到服务结束时间所花时间为，（1）求的分布密度函数;(2)若已知平均等待时间为20分钟，求。二 练习题1、设随机变量且P(X1X20)1，求P(X1X2)2、 设某班车起点站上车人数X服从参数为l(l0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，并且他们在中途下车与否是相互独立的用Y表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率(2)二维随机向量(X，Y)的概率分布3、设(X，Y)的联合分布密度为 (1)求C(2)求X，Y的边缘分布(3)讨论X与Y的独立性(4)计算P(XY1)4、设求(1)A，B，C的值； (2)p(x，y)； (3) ，6、 设试求解：(1)确定常数A； (2)边缘分布密度； (3)讨论X，Y的独立性7、