高中数学第2讲直线与圆的位置关系2圆内接四边形的性质与判定定理学案新人教A版选修

1、二圆内接四边形的性质与判定定理1了解圆内接四边形的概念2掌握圆内接四边形的性质、判定定理及其推论，并能解决有关问题(重点、易混点)基础初探教材整理1圆内接四边形的性质定理阅读教材P27P28定理2，完成下列问题1定理1：圆的内接四边形的对角互补如图221，四边形ABCD内接于O，则有：AC180，BD180.图2212定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角图222如图222，CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：CBED.四边形ABCD内接于圆O，延长AB到E，ADC32，则CBE等于()A32B58C122D148【解析】根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角知，CBE32.【

2、答案】A教材整理2圆内接四边形的判定定理及推论阅读教材P28P29，完成下列问题1判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆2推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆若AD，BE，CF为ABC的三条高线，交于H，则图223中四点共圆的组数是()图223A3 B4C5D6【解析】其中B，D，H，F共圆；C，D，H，E共圆；A，E，H，F共圆；A，F，D，C共圆；B，C，E，F共圆；A，B，E，D共圆【答案】D质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型圆内接四边形的性质

3、如图224，圆内接四边形ABCD的一组对边AB，DC的延长线相交于点E，且DBAEBC.求证：ADBECEBD.图224【精彩点拨】先利用定理2得到BCEA，再利用ABDCBE，结论得证【自主解答】因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以BCEA.因为DBAEBC，所以ABDCBE，所以，所以ADBECEBD.1在本题的证明过程中，利用定理2得到BCEA是关键2圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系再练一题1如图225所示，已知四边形ABCD内接于O，延长AB和DC相交于点E，EG平分AED，且与BC，

4、AD分别交于F，G.图225求证：CFGDGF. 【导学号：】【证明】四边形ABCD内接于O，EBFADE.又EF是AED的平分线，则BEFDEG，EBFEDG，EFBDGF.又EFBCFG，CFGDGF.圆内接四边形的综合应用如图226，已知ABC中，ABAC，D是ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.图226(1)求证：AD的延长线DF平分CDE；(2)若BAC30，ABC中BC边上的高为2，求ABC外接圆的面积【自主解答】(1)证明：如图，A，B，C，D四点共圆，CDFABC.又ABAC，ABCACB，且ADBACB，ADBCDF，又由对顶角相等得EDFADB，故ED

5、FCDF，即AD的延长线DF平分CDE.(2)设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AHBC.连接OC，由题意OACOCA15，ACB75，OCH60.设圆半径为r，则rr2，得r2，外接圆的面积为4.1解答本题(2)时关键是找出外接圆的圆心位置，然后用外接圆的半径表示出BC边上的高2此类问题综合性较强，考查知识点较为丰富，往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用，最终得到某些结论的成立再练一题2如图227所示，AB，CD都是圆的弦，且ABCD，F为圆上一点，延长FD，AB使它们交于点E.求证：AEACAFDE.图227【证明】如图，连接BD，ABCD，BDAC.A，B，D，F四点

6、共圆，EBDF.又DEBFEA，EBDEFA，即AEACAFDE.探究共研型圆内接四边形的判定定理及其推论探究圆内接四边形的性质定理和它的判定定理及推论有何关系？【提示】性质定理1和判定定理互为逆定理，性质定理2和判定定理的推论互为逆定理如图228所示，在ABC中，ADDB，DFAB交AC于F，AEEC，EGAC交AB于G，求证：图228(1)D，E，F，G四点共圆；(2)G，B，C，F四点共圆【精彩点拨】(1)要证D，E，F，G四点共圆，只需找到过这四点的外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等，可取GF的中点H，证点H即为圆心(2)要证G，B，C，F四点共圆，只需证BAFG(或CAGF)，由

7、D，E为中点，可知DEBC，BADE，故只需证ADEAFG，由D，E，F，G四点共圆可得【自主解答】(1)如图，连接GF，取GF的中点H.DFAB，EGAC，DGF，EGF都是直角三角形又点H是GF的中点，点H到D，E，F，G的距离相等，点H是过D，E，F，G的外接圆的圆心，D，E，F，G四点共圆(2)连接DE.由(1)知D，G，F，E四点共圆由四点共圆的性质定理的推论，得ADEAFG.ADDB，AEEC，D是AB的中点，E是AC的中点，DEBC，ADEB，AFGB，G，B，C，F四点共圆1解答本题(1)是利用到定点的距离等于定长的点在同一圆上来证明的，本题(2)利用了圆内接四边形判定定理的推

8、论来证明的2判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆；(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；(4)与线段两端点连线夹角相等(或互补)的点连同该线段两端点在内共圆再练一题3如图229，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DEAB，DFAC，E，F为垂足图229求证：E，B，C，F四点共圆【证明】连接EF，因为DEAB，DFACAEDAFD9090180，所以A，E，D，F四点共圆由A，E，D，F四点共圆DEFDAFBEFCBEDDEFC90DAFC180

9、.所以E，B，C，F四点共圆构建体系1如图2210，四边形ABCD内接于O，DCE50，则BOD等于()图2210A75B90C100D120【解析】四边形ABCD内接于O，DCEA，A50，BOD2A100.【答案】C2下列说法正确的有()圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角；圆内接四边形的对角相等；圆内接四边形不能是梯形；在圆的内部的四边形叫圆内接四边形A0个 B1个C2个D3个【解析】是圆内接四边形的性质定理2，正确由于圆内接四边形的对角互补，不一定相等，不正确圆内接四边形可以是梯形，不正确顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形，不正确【答案】B3如图2211，两圆相交于A，B

10、，过A的直线交两圆于点C，D，过B的直线交两圆于点E，F，连接CE，DF，若C115，则D_.【导学号：】图2211【解析】如图，连接AB，C115，ABE65，DABE65.【答案】654四边形ABCD内接于圆O，ABC237，则D_.【解析】圆内接四边形的对角互补，AC180.又ABC237，A40，B60，C140.又BD180，D18060120.【答案】1205如图2212，四边形ABCD内接于O，过点A作AEBD交CB的延长线于点E.图2212求证：ABADBECD.【证明】如图，连接AC.AEBD，12.23，13.4是圆内接四边形ABCD的一个外角，4ADC，ABECDA，AB

11、ADBECD.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1如图2213，ABCD是O的内接四边形，延长BC到E，已知BCDECD32，那么BOD等于()图2213A120B136C144D150【解析】设BCD3x，ECD2x，5x180，x36，即BCD108，ECD72，BAD72，BOD2BAD144.【答案】C2如图2214，在O中，弦AB的长等于半径，DAE80，则ACD的度数为()图2214A30B45C50D60【解析】连接OA，OB，BCDDAE80，AOB60，BCAAOB30，ACDBCDBCA803

12、050.【答案】C3圆内接四边形ABCD中，ABCD可以是()A4231 B4312C4132D以上都不对【解析】由四边形ABCD内接于圆，得ACBD，从而只有B符合题意【答案】B4如图2215，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线，ACB60，ABa，则CD等于()图2215A.a B.aC.aD.a【解析】AC为BD的垂直平分线，ABADa，ACBD.ACB60，ADB60，ABADBD，ACDABD60，CDB30，ADC90，CDtan 30ADa.【答案】A5如图2216所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线相交于点P，对角线AC和BD相交于点Q，则图

13、中共有相似三角形的对数为()【导学号：】图2216A4 B3C2D1【解析】利用圆周角和圆内接四边形的性质定理，可得PCDPAB，QCDQBA，AQDBQC，PACPBD.因此共4对【答案】A二、填空题6如图2217，以AB4为直径的圆与ABC的两边分别交于E，F两点，ACB60，则EF_.图2217【解析】如图，连接AE.AB为圆的直径，AEBAEC90.ACB60，CAE30，CEAC.CC，CFEB，CFECBA，AB4，CEAC，EF2.【答案】27四边形ABCD内接于O，BC是直径，40，则D_.【解析】如图，连接AC.40.BC是O的直径，ACB20，BAC90，B180BACAC

14、B70，D180B110.【答案】1108如图2218，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若，则的值为_图2218【解析】由于PBCPDA，PP，则PADPCB ，.又，.【答案】三、解答题9如图2219，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且ECED.图2219(1)证明：CDAB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A，B，G，F四点共圆【证明】(1)因为ECED，所以EDCECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDCEBA，故ECDEBA，所以CDAB.(2)由(1)知，AEBE，EDFECG，因为EFEG

15、，故EFDEGC，从而FEDGEC.连接AF，BG，则EFAEGB，故FAEGBE.又CDAB，EDCECD，所以FABGBA，所以AFGGBA180.故A，B，G，F四点共圆10如图2220，已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点，通过P作正方形的边的垂线，垂足分别为E，F，G，H.你能判断出E，F，G，H是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想【导学号：】图2220【解】猜想：E，F，G，H四个点在以O为圆心的圆上证明如下：如图，连接OE，OF，OG，OH.在OBE，OBF，OCG，OAH中，OBOCOA.PEBF为正方形，BEBFCGAH，OBEOBFOCGOAH45.OBEOBFOCGOA

16、H.OEOFOGOH.由圆的定义可知：E，F，G，H在以O为圆心的圆上能力提升1已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()如果AC，则A90；如果AB，则四边形ABCD是等腰梯形；A的外角与C的外角互补；ABCD可以是1234.A1个B2个C3个D4个【解析】由“圆内接四边形的对角互补”可知：相等且互补的两角必为直角；两相等邻角的对角也相等(亦可能有ABCD的特例)；互补两内角的外角也互补；两组对角之和的份额必须相等(这里1324)因此得出正确，错误【答案】B2如图2221，以ABC的一边AB为直径的圆交AC边于D，交BC边于E，连接DE，BD与AE交于点F.则sinCAE的值为()图2221A.B.C.D.【解析】根据圆周角定理，易得AEB90，进而可得AEC90.在RtAEC中，由锐角三角函数的定义，可得sinCAE，由圆内接四边形的性质，可得CEDCAB，CDECBA，可得CDECBA，则有，故有sinCAE.【答案】D3如图2222，AB10 cm，BC8 cm，CD平分ACB，则AC_，BD_.图2222【解析】ACB90，ADB90.在RtABC中，AB10，BC8，AC6.又CD平分ACB，即A