动力学方程 拉格朗日方程

1、1.3 拉格朗日方程,为了得到广义坐标表示的完整力学系的动力学方程 拉格朗日方程，需要先导出达朗伯拉格朗日方程。,一、达朗伯拉格朗日方程,设受完整约束的力学体系有n个质点，体系中每一个质点都 服从如下形式的牛顿运动定律，设第i个质点受主动力，受约束 反力，则,：称为达朗伯惯性力或称有效力,注意：这个达朗伯惯性力与力学中定义过的惯性力不是一个概念， 那里的惯性力是对某一非惯性系而言的，而上式中各质点的 并不相等，所以这里并不存在一个统一的非惯性系。,以 点乘上式后，再对 i 取和，得,理想约束条件下：,则,这是达朗伯原理与虚功原理的结合，称为达朗伯 拉格朗日方程，由于存在约束，各 并不彼此独立，

2、因此 不能令上式中 前面的所有乘式都等于零，否则就成为自由 质点的运动微分方程了。,二、基本形式的拉格朗日方程,现在我们从达朗伯拉格朗日方程出发，把各并不彼此 独立的坐标 用各彼此独立的广义坐标 重新表述，从而导出适用于受理想约束的完整力学系所遵守的 动力学方程拉格朗日方程。,设n个质点受k个约束，因是完整约束，体系的自由度数 应为 s3nk。以广义坐标 表出,则,代入达朗伯拉格朗日方程,上式中的两个取和号互不相关，故可以互易，则,令,则,因各 q 互相独立，所以 PQ,改写,由,令,显然 T 是体系的动能，则有,即,这就是著名的拉格朗日方程，也称基本形式的拉格朗日 方程（或称第二类拉格朗日方

3、程）。其中广义坐标 qq(t)， 所以上式是以 t 为自变量的广义坐标 q 的s 个二阶常微分方程 组。只要我们能写出以为变量时体系的动能T和广义力 Q1，Q2，Qs，就可以代入上式，从而得到体系的动力学 方程组，再求解，就可得到体系的运动方程。,三、广义动量与广义力的计算,对于单个质点来说，动能对某速度分量的导数是对应的动量分量,与此类比，可以定义广义动量 p 为,注意：广义动量可以是线动量，也可以是角动量等等， 视广义坐标的选择而定。,而广义力：,广义力可以是力，也可以是力矩等，视广义坐标的选择而定。计算广义力的方法可以有两种：一种方法是从上定义式直接计算，另一种方法是从主动力所作的虚功来

4、计算。,1、从主动力所作的虚功来计算,如求Q1，令 q2 q3 q s0，则,2、从定义式直接计算,求任一广义力Q时,例3 计算一自由质点取 平面极坐标的广义力。 设质点P受力，广义坐标 q1r，q2 。与此两 广义坐标对应的广义力为 Q r 和Q 。求 Q r与Q , 用两种方法。,解 方法一：,从定义式计算。 将定义式用于极坐标，因 粒子数 n1，则,又因 x r cos，yr sin,则,可见广义力的径向分量就是的径向分量，说明 Qr 是一个力。,另外,上式括号中的第一项为 Fx 在 方向的投影，第二项 是 Fy在 方向的投影。 所以两者之和就是 在 方向的投影 F ，因此 Q r F（

5、是力矩） 可见广义力的横向分量 Q 是力矩。,方法二：从主动力 所作的虚功来计算,则,则,两种方法的结果一致,四、保守力学系的拉格朗日方程,实际上，在很多情况下我们仅遇见保守力学系。,对于保守力学系，存在势能,则对任一个质点有,分量式为,现在把广义力与势能函数连系起来,代入基本形式的拉格朗日方程，则,注意：一般势能函数不显含时间和速度变量，即,VV（x1，y1，z1，x n，y n，z n）V（q1，q2，q s）,则,令 LTV ，则,与,代入最顶上一式：,LTV 叫拉格朗日函数。一般 L 是广义坐标，广义速度 和时间的函数。,即,简记为,这就是受理想约束的完整系在保守力作用下的拉格朗日 方

6、程。因为用得较多，就直接称它为拉格朗日方程。当取广 义坐标和广义速度为独立变量时，只要知道了 L ，就可以求 出 q所满足的动力学方程，从而可求出体系的全部力学性质。 因此，我们说：取广义坐标和广义速度为变量时，拉格朗日 函数L是力学体系的一个特性函数。,五、循环积分与能量积分,拉格朗日方程是 s 个二阶常微分方程组，我们希望也像牛顿 力学一样 ，若能首先对微分方程组积分一次 ，找出某些初积分 （ 或叫第一积分 ），使我们对某些问题的求解能简便些 。在某 些情况下，部分的第一积分容易得到。,1、循环积分,一般保守力学系的拉格朗日函数是全部广义坐标和 广义速度（广义动量）及时间 t 的函数，即,

7、若L中不显含某一广义坐标 q j ，则称 q j 为循环坐标 （也叫可遗坐标）。这时有,代入拉格朗日方程,则,可见，当L函数中不含某广义坐标 q j 时，这个 q j 即循环坐标 所对应的广义动量 就是守恒量，称为循环积分。 这表明，对任一循环坐标，都对应有一个循环积分。,解 ： 设质点的质量为m，因为只有一个质点，故n1， 自由质点只受有心力作用时，作平面曲线运动， 所以 s2，取极坐标（r，）为广义坐标，则有,可见 L 函数中不含 ，所以 是循环坐标，则,例4 求一自由质点在有心力场中的循环积分。,2、能量积分,体系是否能量守恒的问题。由拉格朗日方程得到能量积分 需要一定的条件。,（1）若 n 个质点组成的受理想约束的完整系只受保守力作用， 称为完整的保守的力学体系。设其自由度数为 s ，先求 体系以 q、 表示的动能式。因,所以,则体系的动能,则,上式中的T2、T1和T0分别是广义速度的二次、一次、零次函数。 其中a、a、a都仍是广义坐标q（1，2，s）及 t 的 函数，有时不显含t，但仍是t的隐函数，不然就不会出现 了。,（2）对于稳定约束，而且T、V 不显含t 的完整保守力学系 的分析。,先应用一个结论 （后面证明）：,因T、V中不显含t,TVE恒量,这就是力学体系的能量积分。,可见