北京市东城区2019届高三数学4月综合练习一模试题理

1、北京市东城区 2018-2019学年度第 ? 学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷共5 页，共 150 分。考试时长 120分钟。考 ?生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 ?无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题5分，共 40分。在每小题列 列出的四个选项中，选出符合题目要求的 ? 一项。（ 1）已知集合 ax 2x2x0 ， bx 2x1 0， 则 a i b1（ b）1（ a） x xx x22（ c）x x 0（d） r（ 2）在复平 ? 面内，若复数(2i) z 对应的点在第 ? 二象限，则 z可以为（ a）（ c）2（ b

2、）1i（d）2+i（ 3）在平面直角坐标系xoy 中，角以 ox为始边， 终边经过点 p( 1,m)(m0) ，则下列各式的值一定为负的是(a)sincos(b)sincos(c)sincossin(d)tan（ 4）正方体被一个平面截去 ? 一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（ a）等腰三角形 （ b）直角三角形（ c）平行四边形 （ d）梯形xy0（ 5）若 x, y 满足 y10，则 xy 的最大值为y2x6（ a） 0（ b） 1（ c）2（d） 4（ 6）已知直线l过抛物线2y8x的焦点，与抛物线交于，两点，与其准线交于点c.若fa b点 f 是 的 ac中点

3、，则线段bc 的长为8(b)3(c)16(d)6(a)33（ 7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献， 他在实践的基础提出祖暅原理： “幂势既同，则 积不容异” . 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相- 1 - / 12等 . 如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为v1 ,v2 ，被平行于这两个平? 面的任意平面截得的两个截面的面积分别为s1 , s2 ，则“ v1,v2相等”是“ s1 , s2 总相等”的(a) 充分 ? 而不不必要条件(b)必要 ? 而不 不充分条

4、件(c)充分必要条件(d)既不不充分也不 不必要条件（ 8）已知数列an满足： a1a ， an+1 =an1(nn*) ，则下列关于an的判 断正确的2an是（ a）a 0, n2, 使得 an2（ b） a 0, n2, 使得 anan 1（ c）a 0, m n *,总有 aman（ d） a 0, mn *, 总有 am nan第二部分（非选择题共 110分）二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分。（ 9 ）在 (2x)6 的展开式中，x2的系数是.（用数字作答）（ 10）在abc 中，若 b cosccsin b0，则c =.（ 11）若曲线 c :xacos（为参数）关于直

5、线l :x1t( t 为参数 ) 对称，则y2siny22ta； 此时原点 o到曲线 c 上点的距离的最大值为.（ 12）已知向量=(1,3)，向量b为单位向量，且ab=1，则 2b- a与 2b夹角为 .a（ 13）已知函数 f ( x)4xx 3 ，若x1 , x2 a,b, x1x2都有2 f ( x1 x2 )f (2 x1 )f (2 x2 ) 成立，则满足条件的一个区间是.0, x，0, xb（ 14）设 a,b 是 r 中两个子集，对于xr ，定义： ma1, xn1,xb，a若 a b . 则对任意 xr ， m(1n)； 若对任意 xr ， mn1，则 a,b 的关系为.三、

6、解 答题共 6? 小题，共 80分。解答应写出 ?文字说明，演算步骤或证明过程。（ 15）（本小题 13分）- 2 - / 12已知函数 f ( x) 4a cos xsin( x) ，且 f () 1 .63( )求 a 的值及 f ( x) 的最小正周期；( )若 f ( x) 在区间 0, m 上单调递增，求f (x) 的最大值 .（ 16）（本小题 13 分）改革开放 40 年年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及下图是我国2006年至 2016 年体 育产业年增加值及年增速图其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（）（ ）从 2007年至 2

7、016 年随机选择 1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿 元以上的概率；（ ）从 2007 年至 2016 年随机选择 3年，设 x 是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求x的分布列 列与数学期望；（ ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不不要求证明）（ 17）（本小题14分）如图，在棱长均为2 的三棱柱 abc a1b1c1中，点 c 在平面 a1 abb1 内的射影 o为 ab1 与 a1b的 交点， e,f分别为 bc , ac11 的中点（）求证：四边形a1 abb1 为正方形；

8、- 3 - / 12（ ）求直线 ef与平面 a1 acc1 所成角的正弦值；（ ）在线段 ab1上存在一点 d，使得直线 ef 与平面 a1cd 没有 公共点，求ad 的值 .db1（ 18）（本小题 13分）设函数 f ( x)2( a2) xln x 的极小值点为 x0 .ax（ i ）若 x01，求a的值 f(x) 的单调区间；（ ii ）若 0x0 1，在曲线 yf ( x) 上是否存在点 p，使得点 p 位于 x 轴的下方？若存在，求出一个点 p 坐标，若不存在，说明理由.（ 19）（本小题 13分）已知椭圆 c : x2y21(m0) 与 x 轴交于两点 a1 , a2 ，与 y

9、 轴的一个交点为b， ba1 a24mm的面积 为 2.（ ）求椭圆 c 的方程及离心率；（ ）在 y 轴右侧且平行于y 轴的直线 l 与椭圆 交于不同的两点1 2 ，直线1 1 与直线p , pa pa2p2 交于点 p. 以原点 o为圆心， 以 a1b 为半径的圆与x 轴交于两点 m,n（点 m在点 n的左侧），求 pmpn的值 .（ 20）（本小题 14分）已知 ln ，数列a: a1，a2，l ，an 中的项均为不大于l 的正整数 .ck 表示 a1 , a2 ,l , an 中 k的个数 (k1，2，l ，l ) .定义变换 t ， t 将数列 a 变成数列 t ( a) : t(

10、a1 ), t(a2 ),t (an ) 其中t(k) lc1c2 l ck .n（）若 l4 ，对数列 a： 1，1， 2， 3，3， 4 ，写出 ci (1i 4) 的值；（）已知对任意的k(k1,2, n) ，存在 a 中的项 am ，使得 amk .求证：（tai） ai (i1,2,l , n) 的充分必要条件为cic j (i， j1，2，l ， l) ；（）若 ln ，对于数列 a : a1 , a2 ,l , an ，令 t (t (a) : b1, b2 ,l ,bn ，求证： bit(ai ) (i1,2, n).北京市东城区2018-2019 学年度第二学期高三综合练习（

11、一）2- 4 - / 12019.4数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分）（ 1） c（ 2）b（ 3）d（ 5） d（ 6）c（ 7）b二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共30 分）3（ 9） 60（10） 4（ 11） 313+1（12） 60（ 13） (0,1)( 答案不唯一 )（14） 0三、解答题（共6 小题，共80 分）（ 15）（共 13 分）f () 14a111解：（）由已知3，得22，解得 a 1.x4cossinxx6314cos x(sin xcosx)2223 sin x cos x22cos x3 sin 2xcos2

12、 x1（ 4） a（ 8） daer b2sin(2 x) 16f ( x)2 sin(2x)1所以6的最小正周期为.7分f ( x) 2sin(2 x) 1.（）由（）知6当 x2 x,2m ,0, m 时，666若 f (x) 在区间 0, m 上单调递增，2m6 2 ，即m则有3 .所以m的最大值为3 .13分- 5 - / 12（ 16）（共 13 分）解 : （）设 a 表示事件“从 2007 年至 2016 年随机选出 1 年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多 500 亿元以上”由题意可知，2009 年， 2011 年， 2015 年， 2016 年满足要求，故4

13、24分pa105.（）由题意可知，x 的所有可能取值为0 , 1, 2 ， 3，且p(x0)c63=1p(x1)c14 c62136 ；3=c10c102 ；21331p(x2)c4c6p(x3)c4=3=330 .c1010 ；c10所以 x 的分布列为：x0123p1131621030故x的期望e ( x ) 011 1233166210305 .10分（）从 2008 年或 2009 年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大从2014年 开 始 连 续三年 的 体 育 产 业 年 增 加 值 方 差 最大.13分（ 17）（共 14 分）解：（）连结 co 因为 c 在平面 a1 abb

14、1 内的射影 o 为 ab1 与 a1 b 的交点，c1c所以 co平面 a1 abb1 e- 6 - / 12fbb1oa 1a由已知三棱柱 abc a1 b1c1 各棱长均相等，所以 ac bc ，且 a1abb1为菱形 .由勾股定理得 oaob ，即 ab1a1b .所以四边形 a1abb1 为正方形 .5分（）由（）知 co平面 a1 abb1, co oa,cooa1 .在正方形 a1 abb1 中， oa1oa 如图建立空间直角坐标系oxyz由题意得o(0,0,0), a1(2,0,0), a(0,2,0), b(2,0,0), c(0,0, 2), c1 ( 2,2, 2) ，2

15、,0,222e (), f ( 2,)2222 所以 a1a(2,2,0), ac(0,2,2).z设平面 a1 acc1 的法向量为m( x, y, z),m aa10,2x2 y0,m ac0.2y2z0.则即c1ce令 x1,则 y1,z1.fbb1于是 m (1,1,1)o322a1aef,0)xy(,2又因为2，设直线 ef 与平面 a1acc1所成角为，则sin| cosm ,efm ef30|15m ef所 以 直 线ef与 平 面a1 ac所 成 角 的 正 弦 值 为3015 .10分11（）直线 ef 与平面 acd 没有公共点，即 ef平面 acd 设 d 点坐标为 (0

16、, y0 ,0) ， d 与 o 重合时不合题意，所以 y00 因为 a d(2, y0 ,0) ， ac( 2,0,2) 11- 7 - / 12设n( x1 , y1 , z1 ) 为 平 面 a1cd的法向量，n a1d 0,2x1y0 y10,则 n a1c0.2x12 z10.即y12y0 ， z11.令 x1 1，则n(1,2y,1).于是0若 ef 平面acd1 ， n ef0 .ef(322 ,2 ,0)又2，32220y022y0所以，解得此时 ef平面 acd1，ad22423db13 .所以，所ad1db12 .14（ 18）（共 13 分）解：（）f ( x) 定义域为

17、 (0,) .23 以分- 8 - / 12f (x)2ax(a2)12ax 2(a2) x 1(2 x1)(ax1)xxx.由已知，得f(1)0 ，解得 a = 1.当 a = 1时，f ( x)(2 x1)(x1) ,x当 0x1时， f(x) 0 ；当 x1时， f(x)0 .所以 f(x) 的递减区间为(0,1) ，单调递增区间为(1,+ ? ).所以 a1时函数 f ( x) 在 x 1 处取得极小值 .即f (x)的极小值点为1时a的值为1.6分（ ii ） 当 0x0 1时，曲线 yf ( x) 上不存在点 p 位于 x 轴的下方，理由如下：f (x)(2 x1)(ax1) ,由

18、（ i ）知x当 a0时， f (x)0 ，所以 f ( x) 在 (0,) 单调递减，f (x) 不存在极小值点；当 a21xax1x = 10 时，令 x x0，得a .x(0 , 1 )时， f (x)0，f (x) 在区间(0 , 1)当aa上单调递减；x( 1 ,)( 1 ,)当a时， f ( x)0， f ( x) 在区间 a上单调递增 .f (1 ) = ln a + 1- 1所以aa是 f (x) 在 (0,) 上的最小值 .0x01，则有011由已知，若a，即 a1.当 a1时 ， ln a0111100 ，且a，a.f ( 1)0.所以a当 0x0 1时，曲线 yf (x)

19、 上所有的点均位于x 轴的上方 .故 当 0x01 时 ， 曲 线yf (x) 上 不 存 在 点 p位 于 x轴 的 下- 9 - / 12方 .13分（ 19）（共 13 分）解：（）因为 m0, 由椭圆方程知：a24m, b2m, a2 m,bm ，s ba a12ab 2 m m 2m 2122，所以 m1.x2y21所以椭圆 c 的方程为4.由 a2,b1， a2b2c2，得 c3 ，所以椭圆 c 的离心率为32 .5分（）设点 p(xp , yp ) , p1( x0 , y0 ), p2 ( x0 , y0 )( x00), 不妨设 a1 ( 2,0), a2 (2,0),p1

20、a1y0x 2p2 a2 : yy0x 2: y2x02设x0，yy02x2 ，xp4 ,x0x0yy0x2yp2y0 .由x02得x0x04 ,xp4x yypxp2ypy00p=.22xp即42x022( xp)4 yp 21又 4y01，得 4xp 2，化简得xp 2yp 21( xp0).4- 10 - / 12a (2,0), b(0,1)a1 b5m (5,0), n (5,0).因为1，所以，即所以点 p 的轨迹为双曲线x2y21a1 , a2 为双曲线4的右支， m , n 两点恰为其焦点，的顶点，且a1a24，所以pm pn4 .13分（ 20） （共 14 分）解：（）c1

21、=2c2 =1c3 =2c4 =1.3分（）由于对任意的正整数k (1kl) ，存在 a 中的项 am ，使得 am k .所以 c1， c2，l，cl 均不为零 .t(k)lc1c2lckt ( ai )ai(1i n)n必要性：若，由于，t(1)lc11t(2)c1c22t(3)lc1c2 c33t(l)c1c2 l clnlnnln.所以有； ；l通过解此方程组，可得cicj (i，j1，2，l ， l)成立 .充分性：若 cic j(i， j1，2，l，l) 成立，不妨设 hcic j (i， j1，2，l ，l) ，可以得到 hl n .t(1)lh1t (2) l2h2t( l) llhl所以有：n；n3h；n.； (3)l n 3； l所以t ( ai )ai( 1 in )成立 .9分（）设 a : a1，a2，l ， an 的所有不同取值为 u1，u2，l ， um ，且满足： u1u2lum .不妨设a : u11， u12，l ,u1r1，u2