0最优化理论与算法引言.ppt

1、最优化理论与算法,计算数学与应用软件教研室 理学院，北京邮电大学,提纲,1. 线性规划 对偶定理 2. 非线性规划 K-K-T 定理 3. 组合最优化 算法设计技巧,使用教材： 最优化理论与算法 陈宝林 参考书 ： 数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社,其他参考书目,Nonlinear Programming - Theory and Algorithms Mokhtar S. Bazaraa, C. M. Shetty John Wiley 牛顿,1670,欧拉,1755,Min f(x1 x2 xn ) f(x)=0,欧拉，拉格朗日：无穷维问题，变分学 柯西：最早应用最速下降法,拉格

2、朗日，1797,Min f(x1 x2 xn) s.t. gk (x1 x2 xn )=0, k=1,2,m,1930年代，康托诺维奇：线性规划 1940年代，Dantzig：单纯形方法， 冯 诺依曼：对策论 1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理； KKT条件； 1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算法，Duffin，Zener等几何规划，Gomory，整数规划,Dantzig等随机规划 6-70年代：Cook等复杂性理论，组合优化迅速发展,电子计算机运筹学,最优化应用举例,具有广泛的实用性 运输问题，车辆调度，员工安排，空运控制等

3、工程设计，结构设计等 资源分配，生产计划等 通信：光网络、无线网络，ad hoc 等. 制造业：钢铁生产，车间调度等 医药生产，化工处理等 电子工程，集成电路VLSI etc. 排版（TEX,Latex,etc.）,1. 食谱问题,我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。,需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。,1. 食谱问题（续）,令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写 成如下的数学形式：,运筹学工作者参与建立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期

4、被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。,Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y 40 3x + 2y 50 x, y 0.,极小化目标函数 可行区域（单纯形） 可行解,2 运输问题,设某种物资有m个产地A1,A2,Am,各产地的产量是a1,a2,am;有 n个销地B1,B2,Bn.各销地的销量是b1,b2,bn.假定从产地Ai(i=1,2,m)到销地Bj(j=1,2,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调运这些物品才能使总运费最小？,如果运输问题的总产量等于总销量，即有,则称该运输问题为产销平衡问题；反之，称产销不平衡问题。,令xij表

5、示由产地Ai运往销地Bj的物品数量，则产销平衡问题的数学模型为：,2 运输问题（续）,以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,n 股票i的现价是pi 你预期一年后股票的价格为ri 在出售股票时需要支付的税金=资本收益30% 扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多 支付1%的交易费用 例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以每股50元的价格出售，则净现金为： 50 1000-0.3(50-30)1000-0.150 1000=39000,3 税下投资问题,我们的目标是要使预期收益最大。 Xi：当前抛出股票i的数量。,3 税下投资问题（续）,4 选址问题,实例:一组潜在位置（地址

6、）, 一组顾客集合及相应的 利润和费用数据； 解: 设施开放(使用)的数目，他们的位置，以及顾客被 哪个设施服务的具体安排方案； 目标：总的利润最大化。,数据与约束 J=1,2,n:放置设施的可能的潜在位置集合 I=1,2,m:顾客集合,其要求的服务需要某设施所提 供.,4 选址问题（续1）,5选址问题（续2）,6负载平衡(续1),实例: 网络G(V,E) 及一组m 个数的集合s,d0，表示 连接源点 s与汇点d 之间的流量 解: s,d0的一组路由, 即G(V,E) 中m 条s 与 d间的路, 表示连接s与d 的负载流量的路径。 目标:极小化网络负载,6 负载平衡(续2),7.结构设计问题,

7、两杆桁架的最优设计问题。 由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载为2p，两支座之间的水平距离为2L，圆杆的壁厚为B，杆的比重为，弹性模量为E，屈吸强度为。求在桁架不被破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均直径d。,7.结构设计问题,7.结构设计问题,此应力要求小于材料的屈吸极限，即,解：桁杆的截面积为 ：,桁杆的总重量为：,负载2p在每个杆上的分力为：,于是杆截面的应力为：,圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。 由材料力学知：压杆稳定的临界应力为,由此得稳定约束：,7.结构设计问题,另外还要考虑到设计变量d和h有界。 从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型：,7.结构设计

8、问题,基本概念,在上述例子中,有的目标函数和约束函数 都是线性的,称之为线性规划问题,而有的模型中含有非线性函数,称之为非线性规划. 在线性与非线性规划中,满足约束条件的点称为可行点,全体可行点组成的集合称为可行集或可行域.如果一个问题的可行域是整个空间,则称此问题为无约束问题.,基本概念,最优化问题可写成如下形式:,基本概念,Df 1. 1 设f(x)为目标函数，S为可行域，x0S,若对每一个x S,成立f(x)f(x0),则称x0为极小化问题min f(x), x S的最优解（整体最优解）,则称x0为极小化问题min f(x),x S的局部最优解,Df 1.2 设f(x)为目标函数，S为可行域，,Thank you very muc