材料力学1第五版 第三章习题答案.ppt

1、,材料力学,第三章 扭 转,3-1 概 述,工程实例,圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动； 杆表面上的纵向线变成螺旋线。,受力特点：,圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用,变形特点：,实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形。,3-2 薄壁圆筒的扭转,通常指 的圆筒，可假定其 应力沿壁厚方向均匀分布,内力偶矩扭矩T,薄壁圆筒,圆筒两端截面之间相对转过的圆心角,相对扭转角,表面正方格子倾斜的角度直角的改变量,切应变,即,薄壁圆筒受扭时变形情况：,圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距不变；,表面变形特点及分析：,横截面在变形前后都保持为

2、形状、大小未改变的平面，没有正应力产生,所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。,横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周向均匀分布,1、横截面上无正应力； 2、只有与圆周相切的切应力，且沿圆筒周向均匀分布；,薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析：,3、对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚也均匀分布。,薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：,静力学条件,因薄壁圆环横截面上各点处的切应力相等,得,剪切胡克定律,由前述推导可知,薄壁圆筒的扭转实验曲线,钢材的切变模量值约为：,这就是剪切胡克定律,其中：G材料的切变模量,t p剪切屈服极限,3-3 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图,、传动轴的外力偶矩,传动轴的转速n ；

3、某一轮上所传递的功率P (kW),作用在该轮上的外力偶矩Me。,已知：,求：,一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所作的功：,传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之间的关系：,主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同，从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。,、扭矩及扭矩图,圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T表示。,扭矩大小可利用截面法来确定。,扭矩的符号规定,按右手螺旋法则确定:,扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。,仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。,T (+),T (-),右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向

4、表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。,扭矩符号规定：,Me,T 图,例 3-1 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。,首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩,解：,分别计算各段的扭矩,扭矩图,Tmax = 9.56 kNm 在BC段内,4.78,9.56,6.37,T 图(kNm),图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA4kNm， mB10kNm, mC6kN m，试求11截面和22截面上的扭矩，并画扭矩图。,

5、补充例题1,6KNm,4KNm,一圆轴如图所示，已知其转速为n300转分，主动轮A输入的功率为NA400KW，三个从动轮B、C和D输出的功率分别为NBNC120KW，ND160KW。试画出此圆轴的扭距图。,3.82kNm,7.64kNm,5.10kNm,补充例题2,3-4 等直圆杆扭转时的应力强度条件,、横截面上的应力,（一）几何方面,相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变； 纵向线倾斜了同一个角度g ，表面上所有矩形均变成平行四边形。,Me,Me,杆的横截面上只有垂直于半径的切应力，没有正应力产生。,平面假设,等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。,推

6、论：,横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律,即,相对扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面为常量,剪切胡克定律,（二）物理方面,（三）静力学方面,称为横截面的极惯性矩,令,得,等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式,tmax,tmax,发生在横截面周边上各点处。,称为扭转截面系数,最大切应力,tmax,tmax,令,即,同样适用于空心圆截面杆受扭的情形,（四）圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp,实心圆截面：,空心圆截面：,注意：对于空心圆截面,此处为以横截面、径截面以及与表面平行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面体,（五）单元体切应力互等定理,单元体,自动满足,存在t,得,

7、单元体的两个相互垂直的截面上，与该两个面的交线垂直的切应力数值相等，且均指向(或背离) 两截面的交线。,切应力互等定理,单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。,例3-2 实心圆截面轴和空心圆截面轴 (a = d2/D2 =0.8)的材料、扭转力偶矩 Me 和长度l 均相同。试求在两圆轴横截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1之比以及两轴的重量比。,解：,已知,得,两轴的重量比,可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。,讨论： 为什么说空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构件？,、斜截面上的应力,假定斜截面ef 的面积为d A,讨论：,1、,2、,此时切应力均为零。,

8、解得,、强度条件,等直圆轴,材料的许用切应力,强度条件,强度计算的三类问题 ：,(1)、强度校核,(2)、截面设计,(3)、确定许用荷载,例3-4 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用切应力t = 80MPa ，试校核该轴的强度。,解： 1、求内力，作出轴的扭矩图,T图（kNm）,BC段,AB段,2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度,即该轴满足强度条件。,T图（kNm）,实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器连接。已知轴的转速n=100 r/min，传递功率P=10

9、kW，许用切应力=80MPa，d1/d2=0.6。试确定实心轴的直径d，空心轴的内、外径d1和d2。,补充例题1,1、扭矩：,2、由实心轴的切应力强度条件：,解：,3、由空心轴的切应力强度条件：,由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。,补充例题2,解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持

10、为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。 因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。 在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。 根据以上分析，正确答案是（C）,3-5 等直圆轴扭转时的变形刚度条件,、扭转时的变形,两个横截面的相对扭转角j,扭转角沿杆长的变化率,相距d x 的微段两端截面间相对扭转角为,等直圆

11、杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时,称为等直圆杆的扭转刚度,相距l 的两横截面间相对扭转角为,(单位：rad),例3-5 图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592Nm, M2=955 Nm，M3=637 Nm， d =70mm， lAB=300mm，lAC=500mm，钢的切变模量G=80GPa。求横截面C相对于B的扭转角jCB。,解： 1、 先用截面法求各段轴的扭矩：,BA段,AC段,2、 各段两端相对扭转角：,3、 横截面C相对于B的扭转角：,图示空心圆杆 AB，A端固定，底板 B为刚性杆，在其中心处焊一直径为d2的实心圆杆CB。空心杆的内、外径分别为 D1和 d1，外力偶矩 Me、

12、两杆的长度l1、l2 及材料的切变模量G 均为已知。试求： 1、两杆横截面上的切应力分布图； 2、实心杆C端的绝对扭转角jC 。,补充例题1,解：1、分析两轴的受力如图，求出其扭矩分别为,B,C,2、求横截面上的切应力,空心圆轴,实心圆轴,空心圆轴,实心圆轴,t2,max,3、计算绝对扭转角jC,、刚度条件,等直圆杆在扭转时的刚度条件：,对于精密机器的轴,对于一般的传动轴,常用单位：/m,例3-6 由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a = 0.5。已知材料的许用切应力t = 40MPa ，切变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为Tmax=9.56 kNm ，轴的许可单位长度扭转角j =0.3 /m 。试选择轴的直径。,解：1、按强度条件确定外直径D,2、由刚度条件确定所需外直径D,3、确定内外直径,3-6 等直圆杆扭转时的应变能,等直圆杆仅在两端受外力偶矩 Me 作用且 时,或,当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时,或,纯剪切应力状态下的应变能密度( ),扭矩T为常量时，长为 l 的等直圆杆的应变能为,等直圆杆的扭转应变能与应变能密度的关系,例3-7 圆柱螺旋弹簧如图(簧杆斜度a d 。 试推导弹簧的应力和变形计算公式。,解：,1、 求簧杆横截面上的内力