流体力学-第2章-静力学

1、第2章 流体静力学,研究对象 静止流体的力学规律； 这些规律在工程中的应用。 流体“静止”的两种情况 流体相对于地球无运动，称为绝对静止； 流体虽然对地球有运动，但对盛装它的容器无相对运动，如容器作匀加速直线运动或等加速回转运动，流体质点间没有相对运动，这种情况称为相对静止。 静止流体的流体质点间没有相对运动，因而流体的粘性无从显示，可以看作理想流体。 流体静力学是工程流体力学中独立完整且严密符合实际的内容，其理论无需实验修正。,2.1 静止流体上的作用力 2.2 流体的平衡微分方程及其积分 2.3 流体静力学基本方程 2.4 流体静压强的测量 2.5 静止流体对平面壁的作用力 2.6 静止流

2、体对曲面壁的作用力,第2章 流体静力学,2.1 静力流体上的作用力,如图2.1所示，在静止流体中取体积为V的流体微团，其表面积为A。作用在流体微团上的力可以分为两种：,1、质量力 2、表面力,图2.1 静止流体上的作用力,2.1.1 质量力,定义：与流体微团质量大小有关并且集中作用在微团质量中心上的力称为质量力。 分类 ：考虑到相对静止的各种实际情况， 质量力可分为： 1）重力 W=mg 2）直线运动惯性力F1=ma 3）离心惯性力FR=mr2 这些力的矢量和用Fm表示，则：,如果微团极限缩为一点，即V0，则,式中： dFm为作用在流体质点上的质量力； am为质量力加速度，等于单位质量力，即单

3、位质量的质量力； X、Y、ZZ为单位质量力在x、y、z轴上的投影，或简称为单位质量分力。,（2.1）,2.1.1 质量力,2.1.2 表面力,定义：大小与流体表面积有关且分布作用在流体表面上的力称为表面力，它是相邻流体或固体作用于流体表面上的力。 分类 ：按作用方向， 1）沿表面内法线方向的压力； 2）沿表面切向的摩擦力。 流体静压力：作用在静止流体上的表面力只有沿受压表面内法线方向的压力，称为流体静压力。,解释 1）因为流体不能抵抗拉力，所以除液体自由表面处的微弱表面张力外，在流体内部是不存在拉力或张力的。 2）由于流体不表现出粘性，在静止流体内部也就不存在切向摩擦力。 流体静压力是一个有大

4、小、方向、合力作用点的矢量，它的大小和方向都与受压面密切相关。,2.1.2 表面力,如图2.1，设作用于流体微团上的总压力为P，即流体静压力为P ，则A面积上的平均应力为P /A ，称为受压面上的平均流体静压强。当A0时，流体微团成为一个流体质点，则平均流体静压强的极限：,（2.2）,称为流体某一点的流体静压强，其单位为牛/米2（N/m2），简称为帕(Pa)。,2.1.2 表面力,流体静压强的特征 流体静压强没有方向性，是一个标量。静止流体中任意点的静压强值仅由该点的坐标位置决定，而与该点静压力的作用方向无关。,证明 如图2.2所示，在静止流体中的点M(x,y,z)处取一微元四面体，其边长分别

5、为dx、dy、dz，斜面的的外法线方向的单位矢量为n,图2.2 静止流体中的微元四面体,2.1.2 表面力,2.1.2 表面力,各个面的面积分别为dAx、dAy、dAz、dAn (符号的下标表示该面的法线方向)，微元四面体斜面dAn的法线与x、y、z轴的方向余弦分别为cos(n，x)、cos(n，y)、cos(n，z)。 作用在为微元四面体上的力有： 1）表面力。假设微元四面体各面上的压强均匀分布，任一点的压强分别用Px、Py、Pz、Pn表示，则各个面上的表面力为：,Pn在x、y、z轴方向的投影分别为Pncos(n，x)、Pncos(n，y)、Pncos(n，z)。,2.1.2 表面力,2）质

6、量力 作用在微元四面体上的质量力只有重力，它在各坐标轴方向的分量为Fx、Fy、Fz。设流体的密度为，则：,2.1.2 表面力,由于流体处于平衡状态，则F=0，在x轴方向F x =0 ，有,同理，由 y 和 z 轴方向的平衡方程可得，,当微元四面体的边长趋于零时，Px、Py、Pz、Pn就是作用在 M 点各个方向的压强。因此，上式表明流体中某一点任意方向的静压强是相等的，是位置坐标的连续函数，即P = P(x,y,z)。,Py=Pn、 Pz=Pn,故 Px=Py=Pz=Pn,2.1.2 表面力,上式中的第三项与前两项相比为高阶无穷小量，可以忽略不计，而dAncos(n，x)=dAx 所以 Px=

7、Py,2.2 流体的平衡微分方程及其积分,2.2.1 欧拉平衡微分方程,如图2.3所示，在平衡流体中任取一个微元六面体abdccdba，其边长分别为dx、dy、dz，形心点为M(x,y,z)，该点压强为p(x,y,z)，,图2.3 微元六面体,2.2.1 欧拉平衡微分方程,作用在微元六面体上的力： 1）表面力。由于流体压强是位置坐标的连续函数，因此沿x方向作用在面ad和面ad的压强可用泰勒级数展开并略去二阶以上无穷小量，可得,x方向作用在ad和ad 面的压强分别为,y方向作用在ac 和bd 面的压强分别为,z方向作用在ab和cd面的压强分别为,2）质量力 质量力在坐标轴方向的投影分别为Fx、F

8、y、Fz，有 Fx=dxdydzX Fy=dxdydzY Fz=dxdydzZ,2.2.1 欧拉平衡微分方程,根据平衡条件，所有作用在该六面体上的表面力和质量力的合力为零，故 沿x轴有 Px+Fx=0,即,化简得,2.2.1 欧拉平衡微分方程,同理,（2.4）,式（2.4）是欧拉(瑞士)在1755年首先导出的流体的平衡微分方程，通常称为欧拉平衡微分方程。 方程说明：平衡流体所受的质量力分量等于表面力分量。 欧拉平衡微分方程是平衡流体中普遍适用的一个基本公式，无论流体受的质量力有哪些种类，流体是否可压缩，流体有无粘性，欧拉平衡方程式都是普遍适用的。,2.2.1 欧拉平衡微分方程,2.2.2 平衡

9、微分方程的积分,将式（2.4）中各式分别乘以dx、dy、dz，然后相加，经变化可得,因为 p=p(x,y,z),故,有 dp=(Xdx+Ydy+Zdz) (2.5),此式称为欧拉平衡微分方程的综合形式，也叫压强微分公式。,压强微分公式的左端是压强的全微分，积分后得到某一点的静压强，因此式（2.5）的右端括号内的三项必须也是一个坐标函数W=F（x，y，z）的全微分，这样才能保证积分结果的唯一性。,即有,由此得,（2.6）,式（2.5）变为,（2.7）,满足式（2.6）的函数称为势函数，当质量力可以用这样的函数表示时，则称为有势的质量力。重力、惯性力都是有势的质量力。,2.2.2 平衡微分方程的积

10、分,式（2.7）称为静止流体中压强P的全微分方程，它表明：只有在有势质量力的作用下，流体才能保持平衡状态。,将式（2.7）积分，可得,式中，c为积分常数。假定平衡液体自由面上某点(x0 ，y0 ，z0)处的压强 p0 及势函数W0 已知， 则 c=p0W0 因此，欧拉平衡微分方程的积分为,由式可知，如果知道表示质量力的势函数W，则可求出平衡流体中任意一点的压强 P。因此，式（2.8）表述了平衡流体中的压强分布规律，是流体力学中的重要方程。,2.2.2 平衡微分方程的积分,（2.8）,2.2.3 等压面,定义：流体中压强相等各点所组成的平面或曲面。 等压面上 P=C ， dp=0 将其代入式（2

11、.5）可得 Xdx+Ydy+Zdz=0 （2.9） 等压面三个性质： 1）等压面也是等势面 由式（2.7）可知，当dp=0时，dW=0，W=C 质量力函数等于常数的面叫作等势面，所以等压面也就是等势面。 2）等压面与单位质量力垂直 由式（2.9）可知，X、Y、Z是单位质量力在各轴上的投影，dx、dy、dz是等压面上微元长度ds在各轴上的投影，,压强微分公式,则式（2.9）表示单位质量力am在等压面内移动微元长度ds时所做的功为零，即amds=0。一般地，单位质量力am和微元位移ds均不为零，而它们的点积为零。因此，等压面与单位质量力相互垂直。 3）两种不相混合液体的交界面是等压面,图2.4 两

12、平衡液体的交界面,如图2.4，密度分别为1和2的两种不相混合的液体在容器中处于平衡状态。如果两种液体的交界面a-a不是等压面，则交界面上两点A、B的压强差从两种平衡液体中可以分别得到：,2.2.3 等压面,因为12 ，这组等式在dp 0 ， dW 0的情况下是不可能同时成立的。只有dp=0，dW=0时这组等式才能同时成立，因此交界面a-a必然是等压面。,2.2.3 等压面,2. 3 流体静力学基本方程,在工程中经常遇到的是重力作用下的流体平衡问题，如果流体处于绝对静止状态，则流体所受的质量力只有重力。 本节讨论静止液体中的压强分布规律及其计算等问题。 2.3.1 静止液体中的压强分布规律,如图

13、2.5所示的静止液体，建立坐标系如图。单位质量的质量力X=0、Y=0、Z =g ，代入式（2.5）可得,2.3.1 静止液体中的压强分布规律,对于均质液体=常数，对上式积分得 p=-z+c (2.10) z+p/=常数 (2.11) 式（2.11）表示静止液体中的压强分布规律，称为流体静力学基本方程。它表明，静止液体中，各处z+p/的值均相等。例如，对图中的1、2两点，有,（2.12）,2.3.2 静止液体中的压强计算和等压面,式（2.11）中的c是由边界条件确定的积分常数。如果假定在液面上，z=0，p=p0则由式（2.11）可得 c=p0 故 p=p0-z （2.13） 如果选取h的坐标方向

14、与h轴相反，则 p=p0+h （2.14） :重度 此即静止液体中任意一点的压强计算公式。该式表明：静止液体中任意一点的压强为液体表面压强与液重压强h之和。 在同一均质静止液体中，任意位置的处的压强是随其所处深度变化而增减的在液面以下的深度h愈大，则其所具有的压强p也愈大。,因为平衡流体的等压面垂直于质量力，而静止液体中的质量力只有重力，所以，静止液体中的等压面必然为水平面。 对于任意形式的连通器，在紧密连续而又属同一性质的静止的均质液体中，深度相同的点，其压强必然相等。在图2.6中，有p1=p2，p3=p4，pC=pD。而p1p3，p2 p4，因为A、B两容器中的液体既不相连，也不是同一性质

15、的液体。 例题2.1 在图2.6所示静止液体中，已知：pa= 98 kN/m2，h1=1m，h2=0.2m，油的重度oil=7450N/m3，水银的重度m=133kN/m3，C点与D点同高，求C点的压强。,2.3.2 静止液体中的压强计算和等压面,解 由式（2.14）可得D点的压强为 PD=Pa+oilh1+Mh =98+7.451+1330.2 =132.05 kN/m2 C点与D点同高且在同一连续液体中，因此它们的压强相等，故 PC=PD=132.05 kN/m2,图2.6 连通器,2.3.2 静止液体中的压强计算和等压面,2.3.3 绝对压强、相对压强、真空度,流体压强的大小可以不同的基

16、准面起算，常用绝对压强和相对压强表示。 以绝对真空或完全真空为基准计算的压强称为绝对压强，以大气压强为基准计算的压强称为相对压强。 在式p=p0+h中，p为绝对压强；如果液体表面与大气接触，其表面压强p0即为大气压强pa，则p-p0=h为相对压强p。 在一般工程中，大气压强处处存在并自相平衡，不显示出影响。所以绝大多数测压仪表是以当地大气压强为起点来测定压强的，即测压仪表所测出的压强是相对压强。因此相对压强又称计示压强或表压强。,绝对压强恒为正或零，而相对压强可正可负或零。如果某点的压强小于大气压强时，说明该点有真空存在，该点压强小于大气压强的数值称为真空度pv。 绝对压强、计示压强、真空度的

17、关系如图2.7所示。 当ppa时， p=pa + p （绝对压强p =大气压强pa +相对压强p ）， p = p- pa ； 当p pa时， p=pa - pv ， pv=pa - p 。,2.3.3 绝对压强、相对压强、真空度,图2.7,解 N-N为等压面，由式（2.14）可得M点的压强为 pM=pa+h1 = 98+9.80.5= 102.9 kN/m2 pM=pM-pa=h1 = 9.80.5 =4.9 kN/m2 箱内液面绝对压强为 p0 = pM-（h1+ h2） = 102.9-9.8（0.2+0.5）= 96.04 kN/m2,例题2.2 图2.8为一封闭水箱，已知箱内水面到N

18、-N面的距离h1=0.2m，N-N面到M点的距离h2=0.5m，求M点的绝对压强和相对压强。箱内液面p0为多少？箱内液面处若有真空求其真空度。,图2.8 封闭水箱,由于p0pa，故液面处有真空存在，真空度为 pv=pa-p0=9896.04 = 1.96 kN/m2,2.3.3 绝对压强、相对压强、真空度,2.3.4 流体静力学基本方程的几何意义与能量意义,如图2.9，以水平面o-o为基准，在容器中的A、B两点（分别距o-o为ZA 及ZB），各接一支上端开口（通大气）的测压管，液体将分别沿管上升PA/及PB /的高度；再在容器的C、D两点（分别距o-o为ZC及ZD），各接一支上端封闭（内部完全

19、真空）的玻璃管，液体将分别沿管上升PC/及PD/的高度。,图2.9 静力学基本方程的物理意义,ZA 、ZB 、ZC 、ZD为A、B、C、D点高于基准面o-o的位置高度，称为位置水头，亦即单位重量液体对基准面o-o的位能，称为比位能。 PA/、PB /为A、B点处的液体在压强PA、PB 作用下能够上升的高度，称为测压管高度，或称相对压强高度。 PC/、PD/为C、D点处的液体在压强PC 、PD作用下能够上升的高度，称为静压高度或绝对压强高度。 相对压强高度与绝对压强高度，均称为压强水头，也可理解为单位重量液体所具有的压力能，称为比压能。 位置高度与测压管高度之和ZA + PA/ ，称为测压管水头

20、。位置高度与静压高度之和ZC + PC/，为静压水头。,2.3.4 流体静力学基本方程的几何意义与能量意义,比位能与比压能之和，表示单位重量液体对基准面具有的势能，称为比势能。根据式（2.14）可得 ZA + PA/= ZB + PB/ 及 ZC + PC/ =ZD + PD/ 流体静力学基本方程的几何意义与能量意义，即物理意义：因为A、B、C、D均是在静止液体中任意选定的点，可以推广到其它各点。因此，在同一静止液体中，许多点的测压管水头是相等的。许多点的静压水头也是相等的。在这些点处，单位重量液体的比位能可以不相等，比压能也可不相同，但其比位能与比压能可以相互转化，比势能总是相等的。 由图可

21、知，静压水头与测压管水头之差，就是相当于大气压强Pa的液柱高度。,2.3.4 流体静力学基本方程的几何意义与能量意义,2.4 流体静压强的测量,2.4.1 静压强的单位 静压强的单位有三种表示形式。 1）应力单位。以单位面积上的受力表示，单位为N/m2(Pa)或kN/m2(kPa)。应力单位多用于理论计算。 2）液柱高单位。因为h=p/g，将应力单位的压强除以g即为该压强的液柱高度，测压计中常用水或汞作工作介质，因此液柱高单位有米水柱(mH2O)、毫米汞柱(mmHg)等等，不同液柱高度的换算关系可由p=1gh1= 2gh2求得为h2= （1 /2）h1。 液柱高单位来源于实验测定，因此多用于实

22、验室计量和通风、排水等工程测量中。 3）大气压单位 标准大气压(atm)是根据北纬45度海平面上15时测定的数值。,2.4.1 静压强的单位,1标准大气压(atm) = 760mmHg = 1.01325105 Pa 工程上为了计算方便，常以工程大气压作为计算压强的单位，即 1工程大气压 = 9.8104 Pa = 735.6mmHg = 10mH2O 大气压与大气压强是两个不同的概念，切勿相混。大气压是计算压强的一种单位，其量是固定的；而大气压强是指某空间大气的压强，其量随此空间的地势与温度而变化。若大气压的数值未给出，可按1大气压考虑。 表2.1列出了各种压强单位的换算关系。 表中巴(ba

23、r)不是我国法定计量单位，仅供参考。1bar= 0.987atm，即1bar近似等于1个标准大气压。,表2.1 压强单位及其换算关系表,2.4.1 静压强的单位,例题2.3 水体中某点压强产生6m的水柱高度，则该点的相对压强为多少？相当于多少标准大气压和工程大气压？ 解,该点的相对压强为 p=h=98006=58800N/m2 = 58.8 kN/m2,标准大气压的倍数,工程大气压的倍数,2.4.1 静压强的单位,2.4.2 静压强的测量,流体静压强的测量仪表主要有液柱式、金属式和电测式三大类。 液柱式仪表测量精度高，但量程较小，一般用于低压实验场所。 金属式仪表利用金属弹性元件的变形来测量压

24、强，可测计示压强的叫压力表，可测真空度的叫真空表。 电测式将弹性元件的机械变形转化成电阻、电容、电感等电量，便于远距离测量及动态测量。 由于电测式压力计与流体力学基本理论联系不大，故在此只介绍液柱式和金属式测压仪表。,1）测压管 在欲测压强处，直接连一根顶端开口直通大气、直径为510mm的玻璃管，即为测压管，如图2.10所示。 在点A的压强PA的作用下，测压管中的液面上升直到维持平衡，此时测压管的液面高度hA=PA/ 。 这种测压管可以测量小于0.2工程大气压的压强。如果压强大于此值，就不便使用。,图2.10 测压管,2.4.2 静压强的测量,将上述测压管改成图2.11所示形式，则为倒式测压管

25、或真空计。量取hV的数值，便可算出容器D中自由液面处的真空度。,有时为了提高测量精度，可将测压管改成如图2.12所示的形式，称为倾斜测压管或斜管压力计。此时P0=Pa+h Pa+lsin。通常，为固定值，如果量取了l值，即可计算出压强。,图2.11 真空计,图2.12 倾斜测压管,2.4.2 静压强的测量,2）U形测压管 为了克服测压管测量范围和工作液体的限制，常使用U形测压管和U形管真空计来测量3个大气压以内的压强 。 如图2.13U形测压管，N-N面为等压面。 在U形管的左边 pN=p0+(h1+h2) U形管的右边 pN=pa+mhm 所以 p0+(h1+h2) =pa+mhm p0 =

26、 pa+mhm(h1+h2) (教材错误)pA= p0 + h1 = pa+mhmh2 测出h1 、h2、hm的值，即可算出p0和pA,图2.13 U形测压管,2.4.2 静压强的测量,3）杯式测压计和多支U形管测压计 杯式测压计是一种改良的U形测压管，如图2.14所示。它是由一个内盛水银的金属杯与装在刻度板上的开口玻璃管相连接而组成的测压计。一般测量时，杯内水银面升降变化不大，可以略去不计，故以此面为刻度零点。要求精确的测量时，可移动刻度零点，使之与杯内水银面齐平。 设水和水银的重度分别为W、M，则C点的绝对压强为： Pc=pa+Mh WL (2.15),图2.14 杯式测压计,2.4.2

27、静压强的测量,2.4.2 静压强的测量,多支U形管测压计是几个U形管的组合物，如图2.15所示。当容器A中气体的压强大于3大气压时，可采用这种形式的测压计。如果容器内是气体，U形管上端接头处也充以气体时，气体重量影响可以忽略不计，容器A中气体的相对压强为： pA=Mh1+Mh2 （2.16）,也可在右边多装几支U形管，以测更大的压强。如果U形管上部接头处充满的是水，则图中B点的相对压强为 pB=Mh1+( MW)h2 （2.17） 求出B点压强后，可以推算出容器A中任意一点的压强。,4）差压计 在工程实际中，有时并不需要具体知道某点压强的大小而是要了解某两点的压强差，测量两点压强差的仪器叫差压

28、计。图2.16为测量A、B两点压强差的差压计，在A、B两点压力差的作用下，水银面产生一高差，经分析计算可得A、B两点的压强差为 pBpA=A(h1+h2)+mh B(h2+h) 如果A、B两处均为水，则 pBpA=Wh1+126h = W(zA zB)+126h,图2.16 差压计,2.4.2 静压强的测量,5） 金属压力表与真空表 优点 金属式测压仪器具有构造简单，测压范围广，携带方便，测量精度足以满足工程需要等，因而在工程中被广泛采用。 常用的金属式测压计 弹簧管压力计 工作原理 是利用弹簧元件在被测压强作用下产生弹簧变形带动指针指示压力。,图2.17 弹簧管压力计,图2.17为一弹簧管压

29、力计示意图，它的主要部分为一环形金属管，管的断面为椭圆形，开口端与测点相通，封闭端有联动杆与齿轮相联。,2.4.2 静压强的测量,当大气进入管中时，指针的指示值为零，当传递压力的介质进入管中时，由于压力的作用使金属伸展，通过拉杆和齿轮带动，使指针在刻度盘上指出压强数值。压力表测出的压强是相对压强，又称表压强。习惯上称只测正压的表叫压力表。 另有一种金属真空计，其结构与压力表类似。当大气压进入管中时，指针的指示值仍为零，当传递压力的介质进入管中时，由于压力小于大气压力，金属管将发生收缩变形，这时指针的指示值为真空值。常称这种只测负压的表为真空表。,2.4.2 静压强的测量,例题2.4 如图2.1

30、3所示，在容器的侧面装一支水银U形测压管。已知hm=1m，h1=0.3m，h2=0.4m，则容器液面的相对压强为多少？相当于多少工程大气压？ 解 容器液面的相对压强为 P0 = mhm(h1+h2)0.3+0.4) =86436N/m2=86.4kN/m2 工程大气压的倍数 p0 /pat = 86436/98000 = 0.88 （答案错误),2.4.2 静压强的测量,例题2.5 测量较小压强或压强差的仪器叫微压计。如图2.18所示的微压计是由U形管连接的两个相同圆杯所组成，两杯中分别装入互不混合而又密度相近的两种工作液体，如酒精溶液和煤油。当气体压强p=p1p2=

31、0时，两种液体的初始交界面在标尺O点处，已知U形管直径d=5mm，杯直径D=50mm，酒精溶液1=8500N/m3, 煤油2=8130N/m3。试确定使交界面升至h=280mm时的压强差p。,图2.18 杯式二液式微压计,2.4.2 静压强的测量,解 设两杯中初始液面距离为h1及h2。当U形管中交界面上升h时，左杯液面下降及右杯液面上升均为h。由初始平衡状态可知； 1h1=2h2 （1） 由于U形管与杯中升降的液体体积相等，可得,（2）,以变动后的U形管中的交界面为基准，分别列出左右两边的液体平衡基本公式可得,将式（1）及（2）代入后整理，可得,2.4.2 静压强的测量,p=p1p2=12+(

32、1+2)(d/D)2h =85008130+(8500+8130) (5/50)20.28 =150.2Pa 或换算成水柱，则,由计算结果可知，要测量的压强差只有16mm水柱之微，而用微压计却可以得到280mm的读数，这充分显示出微压计的放大效果。U形管与杯直径之比及两种液体的重度差越小，则放大效果越显著。,2.4.2 静压强的测量,例题2.6 如图2.19所示为烟气脱硫除尘工程中的气水分离器，其右侧装一个水银U形测压管，量得h=200mm ，此时分离器中水面高度H为多少？ 解 分离器中水面处的真空度为 pV=Mh=1332800.2=26656N/m2 自分离器到水封槽中的水，可以看成是静止

33、的，在A、B两点列出流体静力学基本方程：,图2.19 气水分离器,即,故,2.4.2 静压强的测量,2.5 静止流体对平面壁的作用力,流体静压力：平衡流体作用在壁面上的力。 工程实例：计算水坝、水库闸门、水箱、容器、管道或水池等结构物的强度，计算液体中潜浮物体的受力，以及液压油缸、活塞及各种形状阀门的受力等等问题。 影响因素：流体静压力的大小、方向、作用点与受压面的形状及受压面上流体静压强的分布有关。 内容：静止流体对平面壁和曲面壁的作用力。,2.5.1 平面壁上的总压力,如图2.20所示，设有平面壁与水平面的夹角为，将液体拦蓄在其左侧。取如图所示坐标系，将平面壁绕z轴旋转90，绘在右下方。

34、液体作用在平面壁上的总压力为平面壁上所受静压强的总和，因此总压力的方向重合于平面壁的内法线，下面仅讨论总压力的大小。,图2.20 平面壁上的总压力,在平面壁上取微元面积dA，并假定其形心位于液面以下h深处，其形心处的压强为 p=p0+h,此微元面积所受的压力为 dP=（p0+h）dA 由图可知 h=zsin 作用在平面壁上的总压力为,由理论力学知，AzdA是面积GBADH绕x轴的静力矩，其值为zca。其中zc是面积A的形心C到轴x的距离。,因此,（2.18）,式中 hc 为受压面积 GBADH 的形心 C 在水面以下的深度。,2.5.1 平面壁上的总压力,就平面壁GBADH来说，其左、右两侧都

35、承受p0的作用，互相抵消其影响。因此 P=hcA （2.19） 上式表明：静止液体作用于任意形状平面壁上的总压力等于形心处液体静压强与受压面积的乘积，其方向为受压面的内法线方向。 2.5.2 总压力的作用点 设总压力的作用点为D，其坐标为zD，在液面以下的深度为hD。由理论力学知，合力对任一轴的力矩等于其分力对同一轴的力矩之和，即,（2.20）,2.5.1 平面壁上的总压力,2.5.2 总压力的作用点,式中Az2dA = Ix为受压面积 GBADH 对 x 轴的惯性矩，总压力P=hcA ，因此,根据惯性矩移轴定理得Ix= Ic+zc2A，Ic 为受压面积对通过其形心C且与x轴平行的轴的惯性矩，

36、所以,即,（2.21）,由上式看出，总压力P的作用点 D 总是低于受压面形心 C点的。,实际工程中的受压壁面大都是轴对称面（此轴与z轴平行），总压力P的作用点D必然位于此对称轴上。因此，运用式（2.21）完全可以确定D点位置。如果受压壁面是垂直的，则zC、zD分别为受压面积形心 C 及总压力作用点 D 在水面下的垂直深度hC 及 hD。如果受压面水平放置，则其总压力的作用点与受压面的形心重合。 几种常见平面图形的面积 A、形心坐标 zC和惯性矩IC 见表2.2。,2.5.2 总压力的作用点,例题2.7 图2.21为一水池的闸门。已知宽B=2m，水深h=1.5m。求作用于闸门上总压力的大小及作用

37、点位置。 解 已知 zC=hC=1/2h，A= Bh 由式（2.19）得 P=hCA=1/2hBh =98001/21.521.5 =22050N=22.05kN,由表2.2可知，此矩形闸门 Ic=1/12Bh 。由式（2.21）得总压力的作用点,图2.21 水池闸门,2.5 静止流体对平面壁的作用力,例题2.8 如图2.22所示，倾斜闸门AB，宽度B为1m（垂直于图面），A处为铰链轴，整个闸门可绕此轴转动。已知水深H=3m，h=1m，闸门自重及铰链中的摩擦力可略去不计。求升起此闸门时所需垂直向上的力。 解 由式（2.19）得闸门受液体的总压力为,图2.22 倾斜闸门,2.5 静止流体对平面壁

38、的作用力,由式（2.21）得总压力的作用D点到铰链轴A的距离为,2.5 静止流体对平面壁的作用力,由图可看出,根据力矩平衡：当闸门刚刚转动时，力P、T对铰链A的力矩代数和应为零，即,故,2.5 静止流体对平面壁的作用力,2.6 静止流体对曲面壁的作用力,2.6.1 总压力的大小、方向、作用点 设有二向曲面壁左边承受水压，如图2.23（a）所示。现确定此曲面壁上的ABCD部分所承受的总压力。 此曲面在xoz平面上的投影如图2.23（b）所示。在此面上取微元面积dA，其形心在水面以下的深度为h，则此微元面积上所承受的压力为 dP=h dA,图2.23 二向曲面壁上的总压力,2.6.1 总压力的大小、方向、作用点,此压力垂直于微元面积dA，并指向右下方，与水平面成角。可将其分解为水平分力和垂直分力,（2.22）,由图2.23（c）可知，dAcos为dA在垂直面yoz面上的投影面积dAx；dAsin为dA在水