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文档简介
1、贝叶斯估计Bayes Estimation,例子:,某人打靶,打了5枪,枪枪中靶, 问:此人枪法如何? 某人打靶,打了500枪,枪枪中靶, 问:此人枪法如何? 经典方法:极大似然估计:100% 但是: ,几个学派(1),经典学派:频率学派,抽样学派 带头人:Pearson、Fisher、Neyman 观点:概率就是频率 参数就是参数 联合分布密度:p(x1,x2,.xn ; ),几个学派(2),Bayesian学派: 带头人:Bayes,Laplace,Jeffreys,Robbins 观点:频率不只是概率 存在主观概率,和实体概率可转化 参数作为随机变量 条件分布: p(x1,x2,.xn
2、| ),几个学派(3),信念学派: 带头人:Fisher 观点:概率是频率 主观不是概率,而是信念度 参数不是随机变量,仅是普通变量 似然函数: L( | x1,x2,.xn),批评1:置信区间,置信区间: 解释:区间u1,u2覆盖u的概率 不是u位于区间的概率 缺点:u不是变量,批评2:评价方法,假设检验、参数估计等都是多次重复的结果; 想知道: 一次实验发生的可能性,Bayesian方法,Bayesian公式,先验分布密度:q(y) 条件分布密度:p(x|y) 似然度 后验分布密度:h(y|x) 后验综合先验与样本信息,思路:,1、未知参数视为随机变量: 数据的不可设计性与经验的不能穷尽性
3、? 2、取样本x1xn,求联合分布密度 p(x1,x2,.xn ; ), 是参数 3、联合分布密度条件分布密度 p(x1,x2,.xn | ), 是随机变量 4、确定的先验分布() 5、利用Bayesian公式求后验分布密度 6、使用后验分布做推断(参数估计、假设检验),例1:两点分布b(1,p)的,1. 联合分布: 2. 先验分布: 3. 后验分布: 4. 后验期望估计:,2、先验分布的共轭分布选取法,后验分布和先验分布是同一个类型 优点:易于解释、继续试验 已知: ,选 使得 与先验分布同类型 若p(x|)服从正态分布,选正态分布 若p(x|)服从两点分布,选Beta分布 若p(x|)服从
4、指数分布,选逆Gamma分布,Bayes统计推断问题,参数估计: 点估计 区间估计,估计的损失,损失函数: 风险:平均损失 一致最小风险: 对于任意产生的样本x1xn, 都是最小分析估计。 Bayesian平均风险:,后验风险:,Bayesian风险与后验风险 后验分析最小Bayesian风险最小,两种常用损失函数:,平方损失: 最小Bayesian风险估计:后验期望 点损失: 最大后验密度估计,例子:正态分布,X1Xn服从正态分布N(,2) , 2已知, 的先验分布是N(,2) 求的Bayes估计. 求得后验分布还是正态分布 求得 例:某圆形产品内径X(单位:mm)服从正态分布N( ,0.4
5、), 有先验分布N(2,0.22),现在测量X=1.8,n=5 MLE=1.8 bayes=(1.8*5/0.4+2*0.2(-2)/(5/0.4+0.2(-2)=1.93,置信区间估计:,方法: 是随机变量,可求其后验分布 步骤: 1.积分求后验分布 2.根据后验分布求置信区间,例子:两点分布,X1Xn服从两点分布,概率, 则 服从二项分布 求的估计 设先验分布是beta(a,b) 求得后验分布: 求得E(|r)=(a+r)/(a+b+n) 2.Neyman-Pearson范式 不用贝叶斯方法 规避了先验概率的决定 对两个假设区别对待,一个成为原假设H0(null hypotheses),另一个成为备择假设H1(alternative hypotheses) 由此导致在有些场合下选择原假设的困难 Neyman-Pearson引理(lemma) 方差已知的正态置信区间和假设检验的对偶关系:引理置信区间和假设检验的对偶关系:引理B 广义似然比检验:方差未知正态总体的均值检验多项分布的广义似然比检验Pearson卡方统计量和似然比Handy-Weinberg均衡 在参数估计的例子中引入了Handy-Weinberg均衡
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