第6章--空间问题解答

1、第六章 空间问题的解答,主要内容： 按位移求解空间问题 半空间体受重力及均布压力 半空间体在边界上受法向集中力 按应力求解空间问题 等截面直杆的扭转 扭转问题的薄膜比拟 椭圆截面杆的扭转 矩形截面杆的扭转,6.1 按位移求解空间问题,按位移求解空间问题，是取位移分量为基本未函数。 将几何方程代入物理方程得：,(6-1),将式(6-1)代入空间问题平衡微分方程得, 6.1 按应力求解空间问题,(6-2),对于轴对称问题，同样可以得到：,(6-3),6.2 半空间体受重力及均布压力,由于对称，任一铅直面均为对称面，则：,由此知基本微分方程6-2前两式自动满足，第三式成为：,问题描述： 设一半空间体

2、，容重为p=g，在水平边界上受均布压力q，如右图所示，体力分量为X=0，Y=0，Z=g。,(a),整理上式并积分得：,(b),将上式代入6-1得：,(c),由边界条件可得gA=q,则：,又有位移边界条件：,由此解出B代入得：, 6.2 半空间体受重力和均布压力,6.3 半空间体受法向集中力,问题描述： 设有半空间体，体力不计，在水平面上受法向集中力P。 由于是轴对称问题，则平衡方程简化成如下形式：,应力边界条件为：,由应力边界条件转化来的平衡方程为：,解上面平衡方程和边界条件得：,由此得水平边界上任一点的沉降为：,特征：(1) R无穷大时，各应力分量均趋近为0，R趋近为0 时，各应力分量为无穷

3、大 (2) 水平截面上的应力与弹性常数无关。 (3) 水平截面的全应力均指向作用点。, 6.3 半空间体受集中力作用,6.4 按应力求解空间问题,按照应力求解问题，是取应力分量为基本未知函数。 对几何方程求2次导可得：,以上为一组相容方程，同样的方法可以得到另外一组相容方程：,将物理方程代入上述相容方程得：, 6.4 按应力求解空间问题,将平衡方程简化上式得：, 6.4 按应力求解空间问题,同时得到：, 6.4 按应力求解空间问题,满足上述两个相容方程，并满足平衡方程即可求解空间问题的应力解。,6.5 等截面直杆的扭转,柱体扭转 横截面翘曲 自由扭转翘曲不受限制 约束扭转翘曲受到限制 弹性力学

4、讨论自由扭转,柱体自由扭转计算模型 自由扭转假设 1. 刚截面假设 2.翘曲假设 位移解法基本方程, 6.5 等截面直杆扭转,单位长度相对扭转角,调和方程,柱体扭转边界条件,侧面边界条件,翘曲函数表达端面边界条件困难,端面边界条件,T=GDj, 6.5 等截面直杆扭转,柱体扭转应力解法 扭转应力函数 y(x, y)普朗特（Prandtl）扭转应力函数, 6.5 等截面直杆扭转,yc=const,边界条件,侧面,端面,单连域取为0,6.6 薄膜比拟,德国力学家普朗特（Prandtl） 基本思想： 作用均匀压力的薄膜与柱体扭转有着相似的微分方程和边界条件 通过测试薄膜弯曲的情况，分析柱体扭转时横截

5、面的应力分布 薄膜比拟,薄膜边界垂度 Z=0,薄膜垂度微分方程,薄膜所围的体积 调整薄膜的高度， 使2V=T，则 Z=y 薄膜垂度Z与扭转应力具有相同的函数形式,yc=0, 6.6 薄膜比拟,薄膜曲面可以形象地描述柱体横截面的扭转应力分布 薄膜的等高线, 6.6 薄膜比拟,切应力方向沿薄膜等高线切线 切应力与等高线法线方向导数成正比 切应力与等高线相切 切应力线,6.7 椭圆截面杆件扭转,椭圆截面杆件 扭转应力函数,最大切应力 横截面翘曲, 6.7 椭圆截面杆件,扭转应力,6.8 矩形截面杆件扭转,矩形截面杆件 扭转应力函数构造困难 应力解法基本方程为泊松方程,任何泊松方程，只要找到它的一个特解，都可以化成拉普拉斯方程。,协调方程 特解,协调方程 侧面边界条件, 6.8 矩形截面杆件,协调方程 侧面边界条件,设, 6.8 矩形截面杆件,根据薄膜比拟，应力函数为x和y的偶函数，所以,协调方程的特解 线性迭加就是方程通解,根据边界条件,所以, 6.8 矩形截面杆件,根据边界条件,则,两边同时乘以,并在（-b，b）区间积分，可