第七章-振动和波

1、1,第七章 振动和波,2,振动与波无所不在,振动与波是横跨物理学各分支学科的 最基本的运动形式。 尽管在各学科里振动与波的具体内容不同， 但在形式上却有很大的相似性。,3,7.1 简谐振动的运动学描述,7.1.1 运动方程,简谐振动：匀速圆周运动在任意直径方向的分运动,振动：物体在平衡位置附近的往返运动,4,简谐振动的运动方程,周期,频率,角频率,振幅,相位,初相位,5,7.1.2 同方向同频率简谐振动的合成,合振动,一个质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动,合振动的振幅与相位差有关,6,7.1.3 同方向不同频率简谐振动的合成,考虑下列两个频率不同、但振幅和初相位相同的振动,合振动,包含

2、一个随 t变化较慢的余弦因子和一个随 t变化较快的余弦因子,当两个振动的频率非常接近时,7,合成的振动相当于振幅随时间缓慢变化的简谐振动,振动的强弱与振幅的平方相关，这种周期变化的现象称为拍。,拍是一个重要的现象，有许多应用。,拍频-只与振幅的大小有关， 例如从零再变到零。,8,7.1.4 方向互相垂直、同频率简谐振动的合成,如果两个振动频率相同，但一个沿x方向、一个沿y方向,这是以t为参量的轨道方程；消去t，可得显式的轨道方程,为椭圆轨道方程（包括圆，直线段）-椭圆振动,9,特例1,特例2,特例3,其它情况为斜椭圆,10,7.1.5 方向互相垂直、不同频率简谐振动的合成,当两个互相垂直的简谐

3、振动频率不同时， 合成的轨道与频率之比和两者的相位都有关系， 图形一般较为复杂，很难用数学式子表达。,当两者的频率之比是有理数时 合运动是周期运动，轨道是闭合的曲线或有限的曲线段 这种图形称为李萨如图形（Lissajous figure）,11,x、y两垂直方向的简谐振动,时，对应不同初相位差的李萨如图形,相邻的李萨如图形初相位差为12,12,相邻的李萨如图形初相位差为12,13,相邻的李萨如图形初相位差为12,14,7.1.6 非简谐振动的简谐分解,非简谐振动分为周期性的和非周期性的 第一类可以用傅里叶（Fourier）展开 第二类可以作傅里叶（Fourier）变换 因而非简谐振动都可分解为

4、简谐振动,设振动的周期为T，周期函数满足,引入,称为基频率，简称基频,n次谐频（n = 2为二次谐频，其它依此类推）,15,傅里叶级数：,它们都具有周期 T，且有正交性和完备性,正交性,16,一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开,x(t) 被分解为（除常数项A0/2之 外）频率为 n的一系列简谐振动,，2，3，构成离散的傅里叶频谱 An，Bn为相应简谐振动的振幅,17,例6 方波,18,19,例7 锯齿波,20,21,简谐振动的复数表示法,傅里叶变换,构成连续的傅里叶频谱,非周期性振动的傅里叶分解,非周期性的振动，可理解成T 的周期振动，基频0， 分解出的简谐振动频率间距0 ，对应的振动频谱

5、是连续谱。,22,例8 函数,定义,另一种形式的函数,性质,23,24,简谐振动的矢量图象法,7.1.7 简谐振动的矢量表述和复数表述,简谐振动用旋转矢量表示,25,简谐振动的复数表示,复数表示的优越之处：求导、积分很方便。,复数的实部对应真实的振动量,26,例 已知简谐振动的角频率，并且已测得在某时刻的振动量和振动速度 试求振幅和初相位。,简谐振动一般表述,代入已知条件,解得,考虑到,27,第七章作业题 A组 1、6、7、9、10、12、 15、18、21、25、28、33、 37、39、45、46、47 B组 48、52、55,28,7.2 简谐振动的动力学性质,7.2.1 动力学方程,匀

6、速圆周运动的质点在直径 x 方向上的分运动是简谐振动,向心力,x 方向上的分力,线性回复力：力的大小与偏离平衡位置的位移大小成正比， 方向指向平衡位置。,动力学方程,29,例1,两个相同的固定点电荷Q之间有一个同性的点电荷q,为线性回复力,30,例2,两个相同弹簧拉一个小球，求横向小位移时小球的受力,不是线性回复力,31,线性回复力,水平弹簧振子,x,k,动力学方程,32,竖直弹簧振子,O,y,合力：,动力学方程,平衡位置,33,复摆（刚体摆）,刚体定轴转动定理,小角度近似,34,动力学方程 （二阶常系数线性齐次微分方程）,虽然振动的物理量不同，但它们都满足相同的微分方程,35,动力学方程及其

7、解,x 的通解形式为,通解中包含两个待定的积分常量， 它们取决于振动的初始运动状态，,描述简谐振动的三个特征参量：振幅、初相位和频率,36,振幅 A 和初相位0 的确定,由振动的初始条件,0所在的象限则由sin0 或cos0 的符号确定,37,固有频率0,弹簧振子,单摆,复摆,任一振动系统的固有频率 由振子的固有参量决定，与初始条件无关。,38,例 圆柱形冰块轻轻按入海水中，让它竖直方向上自由运动，略去所有阻力，求冰块运动周期。,第一阶段：冰块顶部匀加速上升至水面,水中冰块所受合力,上升的加速度,冰块顶部到达水面的时间和速度,39,平衡位置,第二阶段：简谐振动,平衡位置,冰块受力,冰块作简谐振

8、动,由振动的初始条件确定振幅和初相位,40,冰块顶部上升到平衡位置上方y = A处，速度降为零，所用时间满足,竖直向上运动时间,冰块运动周期,41,例 小球A，B，B在光滑的水平面上沿一直线静止放置。 B，B质量相同，中间用轻弹簧连接，弹簧处于自由长度状态。让A对准B匀速运动，弹性碰撞后，接着又观测到A和B两球发生一次相遇不相碰事件，试求A和B两球的质量比。,设B的质量为m， A的质量便是m,第一阶段是弹性碰撞,第二阶段：A做匀速直线运动；B，B 的质心做匀速直线运动， B，B 相对质心作简谐振动。,弹性碰撞,42,B的直线运动=匀速运动+简谐振动,B，B的质心做匀速直线运动,B相对质心的初速

9、度,简谐振动的频率,简谐振动的初始条件,B相对质心的简谐振动,43,B的运动,A做匀速直线运动,在某时刻，A和B相遇不相碰的条件：,整理后得到,数值计算,44,例 复摆,小角度近似,复摆的等时摆长,45,的点O 保持周期不变，称为O的倒逆点,过C的任一直线上存在四个点周期相同,在C点下方，满足,保持等时摆长不变，rC有两个解,46,动能,势能,机械能,振子的动能和势能都随时间周期性地变化，且幅值相同 振子的机械能则保持不变,7.2.2 谐振子的能量,47,例,平衡位置,U形管截面面积 S，管中流体的质量 m、密度，求液体振荡周期 T,设偏离平衡位置的液柱高度 y,液柱作简谐振动,机械能守恒,两

10、边求导,分析受力,48,例4,半径为 r 的小球在半径为R的半球形大碗内作纯滚动，这种运动是简谐振动吗？如果是，求出它的周期。,设小球质心速度vC，角速度,机械能守恒,两边对t求导,其中,小角度时的周期,49,思考题 在小角度近似下，求半圆环在水平面上的摆动周期，（a）摩擦力足够大；（b）无摩擦力。,R,答案：,50,7.3 保守系的振动,7.3.1 一个自由度保守系的振动,机械振动 （例如，弹簧振子、单摆）,非机械振动 （交流电路中的电压、电流）,物理量的振动：物理量在其基准值附近的往返变化。,51,振动的分类,受迫振动：回复性保守力+阻尼力+周期性策动力,自激振动: 回复性保守力+阻尼力+

11、单向策动力,52,无阻尼振动：无能量耗散，亦无能量补充,从能量的角度分析各类振动,阻尼振动：有能量耗散，但无能量补充,受迫振动：有能量耗散，但也有能量补充,自激振动：有能量耗散，但也有能量补充,保守系统,非保守系统,53,一个自由度保守系的振动,将空间位置参量抽象地记作,广义的保守力,不稳定平衡：P1、P3,稳定平衡：P2、P4,随遇平衡：P5,54,系统处于稳定平衡位置附近时，可形成振动。,能量E,能量,能量,形成振动，一个平衡点,形成振动，两个平衡点,不形成振动,55,稳定平衡位置,A左：左振幅 A右：右振幅,单一稳定平衡位置附近的振动,振动周期,动力学方程,机械能守恒,56,以 = 0为

12、力平衡点，回复性保守力的定性分析,保守力一般是非线性的， 但在平衡点附近的小范围内，一般可作线性展开。,例如,57,将保守力 F在力平衡点附近展开为泰勒级数,58,小量展开公式：,59,7.3.2 多自由度保守系的振动,在小角度近似下，耦合摆的动力学方程为,1,2,用轻弹簧连在一起的耦合摆,分别以悬挂点为参考点，根据角动量定理,60,小角度耦合摆的振动是两个简谐振动的叠加,简正模 normal node,引入两个新的参量,方程变换为,61,两个自由度,三个自由度,四个自由度,多自由度的简正模,62,苯基的简正振动,苯的简正振动,前六个基态,前六个激发态,63,7.4 阻尼振动 受迫振动,7.4

13、.1 阻尼振动,当没有外界的能量补充时， 实际振动系统的振幅都要随时间逐渐衰减。,振幅衰减的原因，一是存在阻尼力 二是振动能量以波的形式向周围传播,64,保守力,引入阻尼力,阻尼因子,阻尼振动的微分方程,固有频率,65,n阶线性微分方程,n阶线性微分方程解的存在唯一性定理,66,n阶齐线性微分方程,齐线性微分方程解的性质与结构,齐线性方程的解满足叠加原理,n阶齐线性方程一定存在n个线性无关的解,n阶齐线性方程的通解可表为这n个线性无关解的线性叠加,n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间,n阶齐线性方程的n个线性无关解不是唯一的,67,二阶常系数线性齐微分方程的解,猜测解,r待定,r的两个根

14、,方程的解：,系数由振动的初始条件确定,68,（1）过阻尼,69,（2）低阻尼,初始条件决定,新的线性无关解,通解,70,对数减缩：相隔一个周期前后两振幅之比的自然对数,吸引子(attractor),振子机械能的耗散,机械能的减少是由于阻尼力提供了负的功率,71,品质因数,t 时刻振子能量为E，经过一个周期振子损失的能量为E,在低阻尼情况下,在阻尼很小的情况下 描述阻尼能耗的品质因数与固有频率成正比，与阻尼系数成反比,72,（3）临界阻尼,临界阻尼,过阻尼,低阻尼,在临界阻尼条件下，振动系统回到平衡位置用时最短。,73,7.4.2 受迫振动,没有外部不断供给能量，耗散系统的振动是不能持久的,激

15、励振动的方式主要有两种：周期力和单向力。,受迫振动：用周期力驱动的振动。,周期力中简谐策动力最重要： （1）简谐策动力最简单，也最普遍 （2）非简谐策动力都可以看作简谐策动力的线性叠加,74,保守力,阻尼力,简谐策动力,其中,75,方程的通解可分解为下列两个方程的通解与特解之和,方程的通解= 齐次方程的通解 + 方程的特解,76,受迫振动的微分方程的求解问题就转化为寻找方程的特解,猜测,代入方程,两边对应项的系数相等,77,受迫振动的微分方程的通解,第一项即阻尼振动，随时间衰减，故称暂态解 第二项不随时间衰减，称为稳态解,思考题：策动力换为 试求受迫振动方程的特解,78,暂态解与稳态解,79,

16、从静止开始的受迫振动,黑线代表策动力，蓝线代表从静止开始的受迫振动,80,振幅随的变化,根据,共振振幅,共振频率,81,0.01,2,82,速度随的变化,根据,共振速度,共振频率,我们周围的世界充满了各种振动,83,84,从能量的角度分析受迫振动,稳定受迫振动的速度,策动力的功率,阻尼力耗散的功率,速度共振时,瞬时功率相等,85,一个周期中策动力和阻尼力的平均功率,平均功率,86,7.5 波的运动学描述,7.5.1 波动现象,波的产生需要两个条件：波源和介质,波源在介质中振动，与介质发生相互作用，这种影响由近及远， 以波的形式向周围传播波是振动状态的传播。,波的产生、波在弹性介质中的传播,87

17、,辐射的方向性,单极辐射,辐射的相位,88,偶极辐射,辐射的方向性,辐射的相位,简谐振动,89,平面四极辐射,辐射的方向性,辐射的相位,90,线性四极辐射,辐射的方向性,辐射的相位,音叉,近场,远场,91,横波：波的传播方向与振动方向垂直,纵波：波的传播方向与振动方向平行,一维空间传播的波：弦波,二维空间传播的波：水面的波,三维空间传播的波：声波、电磁波,92,平面波：波阵面为平面 球面波：波阵面为球面 柱面波：波阵面为柱面,波阵面（波前）：振动状态相同的点组成的面,波线：波的传播方向线,93,7.5.2 平面简谐波,空间每一点都作简谐振动，不同点之间有确定的相位差 相位以一定的速度传播，此即

18、波的相速，简称波速 u。,对于波包来说，波包中心前进的速度称为群速 ug。,94,先假设波向右传播，波速 u，考虑 x = 0 点的振动,x 点、t 时刻的振动，是 x = 0 在 t - x/u 时刻的振动传播而得到的,95,相的传播速度,相位保持不变，上式两边对时间求导,向左传播的简谐波的表达式,96,波长：空间周期,平面简谐波,波数,97,三维空间的平面简谐波,其中,球面简谐波,98,7.5.3 波的干涉,两列相同性质、同频率、同振动方向的波的叠加,99,100,假设,相长干涉,相消干涉,101,相长和相消干涉都形成双曲线,102,7.5.4 波的衍射、反射、折射和驻波,波通过小孔或遇到障碍物时会发生衍射现象,在波的传播过程中，波前上的每一点都可以看作是一个子波源，这些子波源发出子波（球面波），经过一定时间后它们的包络面即为该时刻的波前。,惠更斯原理,用惠更斯原理可以导出反射和折射定律，解释衍射现象,波从一种介质传到另一种介质时， 在两种介质的分