立体几何证明方法汇总

1、最新资料推荐 中位线定理例题：已知如图：平行四边形abcd 中， bc 6，正方形 adefef所在平面与平面 abcd 垂直， g， h 分别是 df ， be 的中点（）求证： gh 平面 cde ；（）若 cd 2, db 42 ，求四棱锥 f-abcd的体积hgadcb练习： 1、如下图所示：在直三棱柱abc a1 b1c1 中， ac=3，bc=4，ab=5，aa1=4，点 d 是 ab的中点。求证： ac1平面 cdb1；d 1c 1a 1b 1dceab2.如图， abcda1 b1c1 d1 是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，e 是棱 bc 的中点。（ 1）求证：bd1 /

2、平面 c1 de ；（ 2）求三棱锥dd1 bc 的体积 .pecbda3p abcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd， pd 4, dc3 ，e是pc的、如图，在四棱锥中点。（ 1）证明： pa / 平面 bde ；（ 2）求pad 以 pa 为轴旋转所围成的几何体体积。1最新资料推荐例 2、如图 , 在矩形 abcd 中, ab 2bc , p,q 分别为线段 ab, cd 的中点 , ep 平面 abcd . 求证 : aq 平面 cep ；（利用平行四边形）练习： 如图， pa 垂直于矩形abcd 所在的平面， e 、f 分别是 ab 、 pd 的中点。求证：af 平面

3、pce ；pfgadebc如图，已知 p 是矩形 abcd所在平面外一点， pd平面 abcd ，m，n 分别是 ab，pc 中点。求证：mn / 平面 padpndcabm 如图，已知ab平面 acd ， de/ab ， acd 是正三角形，ad = de = 2ab ，且 f 是 cd 的中点 .求证： af/ 平面 bce ；ebacfd、已知正方体abcd- a1 b1c1 d1 ， o 是底 abcd 对角线的交点 . 求证： c1o / 面 ab1 d1 2最新资料推荐d1c1b1a1比例关系dco上的点，且 bmbn例题 3、 p 是平行四边形abcd 平面外一点，m 、 n 分

4、别ab 是pb、bcpm,nc求证： mn/ 平面 pcd( 利用比例关系)练习：如图，四边形 abcd 为正方形， ea平面 abcd ， ef/ab ， ab = 4, ae = 2, ef =1 .（） 若点 m 在线段 ac上，且满足 cm1 ca , 求证： em/ 平面 fbc ；4efadmbc面面平行 - 线面平行例题 4、如图 ,矩形 abcd 和梯形 befc 所在平面互相垂直，be/cf ，bcf=cef= 90 ,ad=3 ,ef=2 。（）求证：平面 abe/ 平面 cdf（ ii ）求证： ae/ 平面 dcf ；（利用面面平行- 线面平行）dacbfe练习： 1、

5、如图所示，四棱锥pabcd 中，底面 abcd 为正方形，pd平面 abcd ， pdab2 ， e ， f ，g 分别为 pc 、 pd 、 bc 的中点3最新资料推荐（ 1）求证：； pa / 面 efg ；（ 2）求三棱锥 p efg 的体积2、如图 ,在直三棱柱 abc a1 b1c1 中 ,acb 900c1，e, f , g分别是aa1, ac , bb1的中点，且cg c1ga1b1.( )求证： cg / 平面 bef ；egcfab3、如图所示 ,正方形 adef 与梯形 abcd 所在的平面互相垂直 , ad cd , ab / cd ,cd2ab 2ad . 在 ec 上

6、找一点 m ,使得 bm / 平面 adef ,请确定 m 点的位置 ,并给出证明efmdncab4、（ 2012 山东文）如图，几何体eabcd 是四棱锥，abd 为正三角形，cbcd , ecbd .( ) 求证： bede ；( ) 若 bcd120 ， m为线段 ae的中点，求证： dm 平面 bec .4最新资料推荐例题 ： 如图，已知四棱锥 pabcd 。 若底面 abcd 为平行四边形， e 为 pc 的中点，在 de 上取点 f ，过 ap和点 f 的平面与平面 bde 的交线为fg ，求证： ap/ fg 。证明：连 ac与 bd，设交点为 o，连 oe。练习： 1、如图，

7、在四棱锥 pabcd 中，侧面 pad 是正三角形， 且与底面 abcd 垂直，底面 abcd 是边长为 2 的菱形，bad60 ， n 是 pb 中点，过a、 n、 d 三点的平面交pc 于 m 求证：ad / mn ；pmdcnab、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥1 11 1 中 ，ad bc，ad ab， ab= 2。2abcd-a bc dad=2 ， bc=4,aa 1=2， e 是 dd 1 的中点， f 是平面b1c1e 与直线 aa 1的交点。（ 1）证明： ef a1d 1；5最新资料推荐3.如图，四边形 abcd 是矩形，平面 abcd平面 bce ，

8、be ec.（ 1） 求证：平面 aec 平面 abe ； (面面垂直性质 )（ 2） 点 f 在 be 上，若 de/ 平面 acf ，求 bf 的值。（线面平行的性质1 ）be2例、 如图，在正方体abcda1b1c1 d1 中， e 、 f 、 g 分别是 ab 、 ad 、 c1d1 的中点 .求证：平面d1ef 平面 bdg .练习：如图所示，在正方体abcd- a1 b1 c1 d1 中， e、f、 g、 h 分别是 bc、 cc1、 c1d1、 a1a 的中点 .求证：（1）eg平面 bb1d1d；（ 2）平面 bdf平面 b1d1h.例题： 已知 在正方体 abcd- a1 b

9、1 c1 d1中， e,f 分别是 c d 和d a 上的点，点 p 在正方体外，平面pef与正方体1111相交于 ac，求证： ef / /平面 abcdd1c1a1b16dcab最新资料推荐菱形的对角线互相垂直：例题。已知e， f 分别是正方形abcd 边 ad ， ab 的中点， ef 交 ac 于 m ， gc 垂直于 abcd 所在平面。求证：ef 平面 gmc gdcemafb练习：如图 abcd- a1b1c1d1 是底面为正方形的长方体，求证：（1） bd平面 acc1 a（ 2） bdac1dcbadcab等腰三角形底边的中线垂直底边p例1、 如 图 ， 在 三 棱 锥 pa

10、bc 中 ， acbc 2 ，acb 90 ，ap bp ab ， pcac 求证： pcab ；abcp7dabc最新资料推荐练习： 1、在三棱锥 a-bcd 中， ab=ac,bd=dc, 求证： bcad圆的直径所对的圆周角为直角例题 3、如图ab 是圆 o 的直径， c 是圆周上异于a、 b 的任意一点，pa平面 abc ，（ 1）图中共有多少个直角三角形？（ 2）若 ahpc ,且 ah 与 pc 交于 h ，求证： ah平面 pbc.pho利用勾股定理ab例 4、在长方体 abcda1 b1c1 d1 中，底面 abcd 是边长为1 的正方形，侧棱caa12 ，e 是侧棱 bb1

11、的中点。求证： ae平面 a1d1e ；d1c1证明：abcd a1 b1c1 d1 为长方体，a1b1edc练 习 ： 如 图 ， 四 棱 锥 p-abcd 的 底 面 是 边 长 为1 的 正 方 形 ，pa cd , pa 1, pd2 ,求证：（ 1） pa 平面 abcdab（2）求四棱锥 p-abcd 的体积 .padbc8最新资料推荐间接法，用线面垂直的性质定理（l b, blb ）p例题： 如图，四棱锥 p-abcd 中，底面 abcd 为平行四边形，dab60 ，ab 2 ad, pd 底面 abcd ，证明： pa bd ;dcaa2ab练习 1：abca1 b1c1 中，

12、ac=3， bc=4，ab=5 ，aa14 ，如图，在直三棱柱点 d 是 ab 的中点。（）求证：ac bc1 ；练习 2：如图，四边形 abcd 为矩形， bc平面 abe ， f 为 ce 上的点，且bf平面 ace .求证： aebe ；证明：因为bc平面 abe ， ae平面 abe ，dcfabe例 1 如图， ab是 o的直径， pa垂直 o所在的平面， c是圆上不同于a，b 的任意一点，求证：平面pac平面 pbc.练习 1：如图，棱柱abca1 b1c1 的侧面 bcc1 b1 是菱形， b1ca1b9最新资料推荐2、如图，在直三棱柱 abc a1b1c1 中， e 、 f 分

13、别是 a1 b 、 a1c 的中点，点 d 在 b1c1 上， a1d b1c 。求证：（1） ef平面 abc；（ 2）平面 a1fd 平面 bb1c1c .3、如图， abcd是正方形， sa平面 abcd， bksc于 k，连结 dk，sk求证（ 1）平面 sbc平面 kbdcda例 1：如图，在四棱锥p abcd 中，侧面pad底面 abcd ，侧棱 pa pd , o 为 ad 中点 .，求证 :po平面 abcd ；例 2：如图，在四棱锥 p abcd 中，底面 abcd 是 dab600 且边长为 a 的菱形，侧面pad 是等边三角形，且平面 pad 垂直于底面 abcd （ 1

14、）若 g 为 ad 的中点，求证： bg平面 pad ；（ 2）求证： adpb ；练习： 1、如图 ab 是圆 o 的直径， c 是圆周上异于a、 b 的任意一点，pa平面 abc ，（ 1）图中共有多少个直角三角形？（ 2）若 ahpc ,且 ah 与 pc 交于 h ，求证：平面 pac平面 pbc.(3)ah平面 pbcho10最新资料推荐ab2、在四棱锥pabcd 中，平面 pad 平面 abcd ，cab=ad ， bad=60 ， e、 f 分别是 ap、 ad 的中点 .求证：平面bef平面 padpedafcb3、如图，正方形 abcd所在平面与以 ab 为直径的半圆 o所在

15、平面 abef互相垂直， p 为半圆周上异于 a，b 两点的任一点，求证：1 直线 ap平面 pbc。平面 pbc平面 apc4、 如图，三角形 abc 中，ac=bc=2 ab ，abed2abed 底面 abc ，且，若 g、f 分别是 ec、 bd 的中点，（）求证：（）求几何体 adebc 的体积 v。e是边长为 a 的正方形，平面gf/ 底面 abc ；dfgbac5、 如图， a，b，c，d 为空间四点在 abc 中，ab2， acbc2 等边三角形adb 以 ab 为轴运动（）当平面 adb平面 abc 时，求 cd ；d11ab最新资料推荐五、体积问题1. 如图， abcda1

16、 b1c1 d1 是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为 2，e 是棱 bc 的中点。（1）求证： bd1/ 平面 c1 de ；（2）求三棱锥 dd1 bc 的体积d 1c 1.a 1b 1dcaeb三棱锥 pabc 中， pac 和 pbc 都是边长为2 的等边三角形，ab2，o、d 分别是 ab、 pb练习 1：的中点p（1）求证： od / / 平面 pac （2）求证：平面 pab 平面 abc ；（ ）求三棱锥 apbc 的体积3dacob2、如图 ,长方体 abcda1 b1c1d1 中， abaa1 1,ad 2 , e 是 bc 的中点 .(i) 求证：平面 a1 ae平面 d1

17、de ； (ii)求三棱锥 aa1de 的体积 .12最新资料推荐a1d1b1c1adbecpedcab、如图，在四棱锥 p-abcd中， pd垂直于底面 abcd ，底面 abcd是直角梯形，dc/ab,bad90o ,且3ab2 ad2dc2pd4 （单位： cm ），为的中点。（）如图，若主视方向与平行，请作出该几何体的左视图并求出左视图面积；（）证明： de / 平面 pbc ；4、已知某几何体的直观图( 图 1) 与它的三视图( 图 2) ，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形. 已知 d 是这个几何体的棱a1 c1 上的中点。c1（）求出该几何体的体积；（ 33 ）da 1b

18、1（）求证：直线bc1 / /平面 ab1 d ；( ) 求证 : 平面 ab1 d平面 aa1 d .cab3313最新资料推荐5、已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，（）求这个组合体的体积；（）若组合体的底部几何体记为abcda1 b1c1d1 ，其中 a1 b1 ba 为正方形 .（ i）求证： a1 b平面 ab1c1 d ；（ ii ）求证： p 为棱 a1 b1 上一点，求appc1 的最小值 .六: 等体积法求高（距离） ： h如：三棱锥 v f bec1= v b efc 11sbec 1h =1 sefc1 be33例题（ 2010 广东文数

19、）如图，弧aec是半径为 a 的半圆， ac为直径，点e 为弧 ac的中点，点b 和点 c 为线段 ad的三等分点，平面aec外一点 f 满足 fc平面 bed,fb=5a（ 1）证明： ebfd（2）求点 b 到平面 fed的距离 .14最新资料推荐练习 1：已知 abc a1 b1 c1 是正三棱柱，棱长均为5 ， e、 f 分别是 ac、 a1 c1 的中点，（ 1）求证：平面ab f平面 bec11（ 2）求点 a 到平面 bec1 间的距离a1fc1b1aeca2、如图，在四棱锥 pabcd 中， pdb平面 abcd ；四边形 abcd 是菱形，边长为作与 pd 平行的平面交pb

20、与点 e ， abcd 的两对角线交点为 f （）求证： ac点 d 到平面 pbc 的距离3、如图 4，在四棱锥pabcd 中，平面 pad平面 abcd ， ab dc ， pad 是等边三角形，已知bd2 ad4 ， ab2dc2 5 （ 1）求证： bd平面 pad ；（ 2）求三棱锥apcd 的体积a4如图，己知 bcd 中， bcd900 ， bc cd1, ab 平面 bcd ，adb 600 , e, f 分别是 ac,ad 上的动点， 且 ae =af = ,(0 1)acad（ 1）求证：不论为何值，总有ef 平面 abc;（ 2）若= 1 , 求三棱锥 a-bef 的体积2pedc fb例题2，bcd60 ，经过 acde ；（）若 ef3 ，求pdcb15最新资料推荐5、(2012 广东