控制系统的稳定性分析

1、MATLAB与控制系统仿真实践,第2章 控制系统的稳定性分析,本章主要内容,原理要点 2.1 系统稳定性的MATLAB直接判定 2.1.1 MATLAB直接判定的相关函数 2.1.2 MATLAB直接判定实例 2.2 系统稳定性的MATLAB图解判定 2.2.1 MATLAB图解判定的相关函数 2.2.2 MATLAB图解判定实例 2.3 MATLAB LTI Viewer稳定性判定实例,原理要点系统稳定的概念,经典控制分析中，关于线性定常系统稳定性的概念是：若控制系统在初始条件和扰动作用下，其瞬态响应随时间的推移而逐渐衰减并趋于原点(原平衡工作点)，则称该系统是稳定的。反之，如果控制系统受到

2、扰动作用后，其瞬态响应随时间的推移而发散，输出呈持续振荡过程，或者输出无限制地偏离平衡状态，则称该系统是不稳定的。,原理要点系统稳定的意义,系统稳定性是系统设计与运行的首要条件。只有稳定的系统，才有价值分析与研究系统自动控制的其它问题，例如只有稳定的系统，才会进一步计算稳态误差。所以控制系统的稳定性分析是系统时域分析、稳态误差分析、根轨迹分析与频率分析的前提。 对一个稳定的系统，还可以用相对稳定性进一步衡量系统的稳定程度。,系统的相对稳定性越低，系统的灵敏性和快速性越强，系统的振荡也越激烈。,原理要点系统特征多项式,设线性定常系统闭环传递为： 式中， 称为系统特征多项式。,为系统特征方程。,原

3、理要点系统稳定的判定,对于线性连续系统，如果系统的所有特征根(极点)的实部为负，则系统是稳定的；如果有实部为零的根，则系统是临界稳定的（在实际工程中视临界稳定系统为不稳定系统）；反之，如有正实部的根，则系统不稳定。 线性连续系统稳定的充分必要条件是：描述该系统的微分方程的特征方程的根全具有负实部，即,全部根在左半复平面内。或者说系统的闭环传递函数的极点均位于左半s平面内。 线性离散系统稳定的充分必要条件是：如果闭环线性离散系统的特征方程根或者闭环脉冲传递函数的极点为则当所有特征根的模都小于1时，即 该线性离散系统是稳定的：如果模的值大于1时，则该线性离散系统是不稳定的。,原理要点其它稳定性判据

4、,除上述判据之外，还有很多其它判据（其它分析方法中，后面各章将阐述）从各个不同的角度对系统的稳定性加以判别，说明系统稳定性是系统能够成立与运行的首要条件。,2.1 系统稳定性的 MATLAB直接判定,本节主要内容,2.1.1 MATLAB直接判定的相关函数 2.1.2 MATLAB直接判定实例,由系统的稳定判据可知，实际上是判定系统闭环特征方程的根的位置。其前提需要求出特征方程的根。MATLAB提供了与之相关的函数，见表2.1：,表2.1 判定系统稳定的MATLAB函数,2.1.2MATLAB直接判定实例,例1：已知系统闭环传递函数为 用MATLAB判定 稳定性。 num=1 0 2 1; d

5、en=1 2 8 12 20 16 16; G=tf(num,den) %得到系统模型,Transfer function: s3 + 2 s + 1 - s6 + 2 s5 + 8 s4 + 12 s3 + 20 s2 + 16 s + 16 p=eig(G) %求系统的特征根 p = 0.0000 + 2.0000i 0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i p1=pole(G) %求系统的极点,p1 = 0.0000 + 2.0000i 0.0000 - 2

6、.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i r=roots(den) %求系统特征方程的根 r = 0.0000 + 2.0000i 0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i,系统特征根有2个是位于s左半平面的，而4个位于虚轴上。由于有位于虚轴的根，系统是临界稳定的。在实际工程应用上看，系统可认为是不稳定的。 分析： 由不同MATLAB函数求得的系统特征方

7、程根是一致的。在需要时根据情况选择使用。,例2：给定系统如图2.1，给出MATLAB程序判定系统是否稳定，要求程序给出适当提 示。,num=1 3; den=2 4 5 8 10; G=tf(num,den); Gc=feedback(G,1); num,den=tfdata(Gc,v); r=roots(den); disp(系统闭环极点：); disp(r) a=find(real(r)0); b=length(a); if b0 disp(系统不稳定.); else disp(系统稳定.); end,程序运行结果： 系统闭环极点： 0.0682 + 2.1811i 0.0682 - 2.

8、1811i -1.1469 + 0.7535i -1.1469 - 0.7535i 0.0786 + 1.4147i 0.0786 - 1.4147i 系统不稳定. 例3：某控制系统的方框图如图2.2所示。试用MATLAB确定当系统稳定时，参数K的取值范围（假设 ）。,图2.2 例3系统框图,由题，闭环系统的特征方程为：,整理得：,当特征方程的根均为负实根或实部为负的共轭复根时，系统稳定。先假设K的大致范围，利用roots()函数计算这些K值下特征方程的根，然后判断根的位置以确定系统稳定时K的取值范围。 程序如下： k=0:0.01:100; for index=1:10000, p=2 15

9、 27 k(index)+12 k(index)+1; r=roots(p); if max(real(r)0,break; end end sprintf(系统临界稳定时K值为:K=%7.4fn,k(index) 程序运行结果为： ans = 系统临界稳定时K值为:K= 90.1200,2.2系统稳定性的 MATLAB图解判定,本节主要内容,2.2.1MATLAB图解判定的相关函数 2.2.2MATLAB图解判定实例,2.2.1MATLAB图解判定的相关函数,对于给定系统G，pzmap(G)函数在无返回参数列表使用时，直接以图形化的方式绘制出系统所有特征根在S复平面上的位置，所以判定系统是否

10、稳定只需看一下系统所有极点在S复平面上是否均位于虚轴左侧即可。这种图形化的方式更直观。,2.2.2MATLAB图解判定实例,例4：已知一控制系统框图，如图2.3所示，试 判断系统的稳定性。, G1=tf(1 1,2 1); G2=tf(5,2 3 1); H1=tf(1,2 1); Gc=feedback(G2*G1,H1) %得到闭环系统传递函数 Transfer function: 10 s2 + 15 s + 5 - 8 s4 + 20 s3 + 18 s2 + 12 s + 6 pzmap(Gc),分析：由于特征根全部在S-平面的左半平面， 所以此负反馈系统是稳定的。,例5：给定离散系

11、统闭环传递函数分别为： 和 采样周期均为0.1秒。分别绘制系统零极点分 布图，并判定各系统稳定性。, num=1 4.2 5.43; den=1 -2.7 2.5 2.43 -0.56; Gc=tf(num,den,0.1) Transfer function: z2 + 4.2 z + 5.43 - z4 - 2.7 z3 + 2.5 z2 + 2.43 z - 0.56 Sampling time: unspecified pzmap(Gc),图2.5 例5运行结果,由上图可知，系统G在单位圆外有极点存 在，系统是不稳定的。 num=0.68 5.43; den=1 -1.35 0.4 0

12、.08 0.002; G2=tf(num,den,0.1) Transfer function: 0.68 z + 5.43 - z4 - 1.35 z3 + 0.4 z2 + 0.08 z + 0.002 Sampling time: 0.1 pzmap(G2),图2.6 例5运行结果,由图可知，系统G2闭环传递函数的所有极点都位于单位圆内部，据此可知此闭环系统是稳定的。,2.3MATLAB LTI Viewer稳定性判定实例,MATLAB LTI Viewer是MATLAB为LTI（Linear Time Invariant）系统的分析提供的一个图形化工具。用它来可以很直观简便地分析控制系

13、统的时域和频域响应。 用MATLAB LTI Viewer来观察闭环系统的零极点分布情况，需要首先在MATLAB中建立系统的闭环系统传递函数模型,例6：已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 用MATLAB LTI Viewer观察闭环系统的零极点分布情况，并判断此闭环系统的稳定性。,1.建立系统模型。 z=-3; p=0 -2 -5; k=3; G=zpk(z,p,k) Zero/pole/gain: 3 (s+3) - s (s+2) (s+5) Gc=feedback(G,1) Zero/pole/gain: 3 (s+3) - (s+4.599) (s2 + 2.401s + 1.957),2.打开LTI Viewer。在命令窗口输入： ltiview 即进入LTI Viewer窗口，如图2.6。 图2.6 LTI Viewer窗口图2.7 LTI Viewer导入系统模型窗口,3.导入在MATLAB中建立好的系统模型。在LTI