浙江师范大学《高等数学》d91基本概念

1、第九章 多元函数微分法及其应用,推广,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,一、平面点集,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,第一节多元函数的基本概念,一、平面点集,坐标平面：,把这种建立了直角坐标系的平面,直角坐标平面上的点,有序实数组,二元有序实数组 的全体，即,就表示坐标平面.,如果，以点P表示(x , y)，|OP|表示点P到原点O的距离，那么集合也可表示成：,=,如：平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是,坐标平面上具有某种性质p的点的集合称为平面点集，记作,邻域：,xoy平面上以P0为中心，0为半径的圆内部的点P(x,y

2、)的全体.,点集,称为点 P0 的 邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,平面点集,设,为坐标平面,上的一点，,只有下面三种关系.,下面用领域来描述点和点集之间的关系.,内点、外点、边界点,设有点集 E 及一点 P :, 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E,则称 P 为 E 的内点；,则称 P 为 E 的外点 ;,则称 P 为 E 的边界点 .,的外点 ,显然, E 的内点必属于 E ,E 的外点必

3、不属于 E ,E 的,边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .,(1)满足,的点都是E的内点;,(2)满足,的点都是E的边界点,都不属于E;,满足,的点都是E的边界点,都属于E;,聚点,若对任意给定的0 ,点P 的去心,邻域,内总有E 中的点 ,则,称 P 是 E 的聚点.,聚点可以属于 E , 也可以不属于 E,(因为聚点可以为,E 的边界点 ),说明,E的内点一定是E的聚点，E的边界点 可能是E的聚点，也可能不是E的聚点,例,存在:点,是,的聚点，,但,圆周,上的点都是,的聚点，,也属于,.,开区域及闭区域, 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；, 若点集 E E , 则称 E

4、为闭集；, 若集 E 中任意两点都可用一完全属于 E 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 E 是连通集 ;, 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;,。 。, E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;,例如，在平面上,开区域,闭区域, 整个平面, 点集,是开集，,是最大的开域 ,也是最大的闭域 ;,但非区域 .,有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得 ，其中O是坐标原点，则称E为有界集.,无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集.,连通的开集称为区域,二、多元函数的概念,引例:, 圆柱体的体积, 定量理想气体的压强, 三角形面积的海伦公式,当r和

5、h在集合内取定一对值时，V的对应值就随之确定.,定义1 设D是 的一个非空子集，称映射f： 为定义在D上的二元函数，通常记为 或,点集D 称为该函数的定义域，x、y 称为自变量，z 称为因变量，点集f(D)称为该函数的值域。,二元函数的定义,与一元函数类似，,记号f 与 f (x,y) 的意义,但是，习惯上常用记号,来表示D上的二元函数 f .,是不同的，,或,表示二元函数的记号f 可以任意选取.,推广定义1. 设非空点集,点集 D 称为函数的定义域 ;,数集,称为函数的值域 .,特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数,当 n = 3 时, 有三元函数,映射,称为定义,在 D 上的 n

6、元函数 , 记作,在上述函数概念中，关键的两点为: (1) 点(x,y)的变化范围，称为定义域； (2) 对应法则，即函数关系.,关于函数概念，我们主要研究下面三个问题：,(1)求函数的定义域；,(2)建立函数关系；,(3)求函数值.,例4,要使ln(y2x)有意义，,解：,即 y2x,所以，定义域：,须使 y2x 0,例5 求函数,的定义域.,解：,有意义，,须使,二元函数的几何意义,设二元函数z=f(x,y)的定义域为xoy面上 的某一区域D，对于D上的每一点P(x,y)， 在空间可以作出一点M(x,y,f(x,y)与它对应；,当点P(x,y)在D中变动时，点M(x,y,f(x,y) 就在

7、空间作相应地变动，它的轨迹是一个曲面.,例如, 二元函数,定义域为,圆域,说明:,二元函数 z = f (x, y), (x, y) D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面 .,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,三、多元函数的极限,定义2. 设二元函数,点 ,则称常数A 为函数,(也称为 二重极限),定义域为D,P0 是 D 的聚,若存在常数 A ,使得当点,记作,都有,对任意正数 , 总存在正数 ,例1. 设,求证:,证:,故,总有,要证,例2. 设,求证：,证：,故,总有,要证, 若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解: 设 P(x , y) 沿直线

8、 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.,则可以断定函数极限,则有,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,以不同方式趋于,不存在 .,例3. 讨论函数,函数,例4. 求,解: 因,而,此函数定义域 不包括 x , y 轴,则,故,P0(0,2)为D的聚点.则由积的运算法则：,例5. 求,解: 这个函数的定义域D=(x,y)|x0,y R,多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则.,仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.,注. 二重极限,不同.,如果它们都存在, 则三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存

9、在 .,例3,四、 多元函数的连续性,定义3 . 设 二 元函数,的定义域为 D，,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续，,为D的聚点，且,则称 函数,或称f(x,y)是D 上的连续函数.,连续,如果,定义4. 设 二 元函数,的定义域为 D，,为D的聚点，且,此时,称为函数f(x,y)的间断点 .,在点P0不连续，,如果函数f(x,y),例如, 函数,在点(0 , 0) 极限不存在,又如, 函数,上间断.,故 ( 0, 0 )为其间断点.,在圆周,结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.,例6. 设f(x,y)=sinx，证明f(x,y)是R2上的连续函数.,证:,由

10、于sinx在x0处连续，,故存在0，当,时，有,以上述做P0的领域U(P0,),则当,从而，,即sinx在点P0处连续，,由P0的任意性知，sinx作为x,y的二元函数在R2上连续.,解:,例7.求,该函数是初等函数，它的定义域为：,P0(1,2)为D的内点，故有U(P0)是f(x,y)的一个定义域，因此：,一般地，求极限,如果f(P)是初等函数，,且P0是f(P)定义域的内点，那么f(P)在P0处连续，有：,定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则,* (4) f (P) 必在D 上一致连续 .,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 对任意,(有界性定理),(最值定

11、理),(介值定理),(一致连续性定理),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,(证明略),解: 原式,例8.求,例9. 求函数,的连续域.,解:,内容小结,1. 区域,邻域 :,区域,连通的开集,2. 多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,有,3. 多元函数的极限,4. 多元函数的连续性,1) 函数,2) 闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函数在定义区域内连续,P64 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8 P133 题 3; *4,思考与练习,解答提示:,P64 题 2.,称为二次齐次函数 .,P65 题 4.,P65 题 5(3).,定义域,P65 题 5(5).,定义域,P65 题 8.,间断点集,P13