2012届高三数学第一轮复习第2编3函数的基本性质课件新人教B版.ppt

1、学案3 函数的基本性质,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点7,返回目录,考 纲 解 读,理解函数的单调性、最大（小）值及其 几何意义；了解函数奇偶性的含义.,返回目录,1.函数的单调性与最值在高考中常以选择、填空题形式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性，因此本部分内容在高考中占有十分重要的地位. 2.函数的奇偶性常与函数的单调性、最值等结合考查，是高考考查的热点. 3.函数的奇偶性,以选择、填空题居多，且是高考考查的热点，预测明年仍将是考查的热点.,考 向 预 测,返回目录,1.单调性 (1)单调性的定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间MA.如果

2、取区间M中的任意两个值x1，x2,改变量x=x2-x10,则当y=f(x2)-f(x1)0时,就称函数y=f(x)在区间M上是 .当y=f(x2)-f(x1)0时,就称函数y=f(x)在区间M上是 . (2)函数f(x)在区间D上单调递增 0 . (3)函数f(x)在区间D上单调递减,增函数,减函数,(x1-x2)f(x1)-f(x2),(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 ,返回目录,(4)从图象上看函数的单调性，从左向右单调递减,图象呈现 趋势，单调递增,图象呈现 趋势. (5)单调递增函数图象上任意两点连线的斜率恒 零，单调递减函数图象上任意两点连线的斜率恒 零. 2.奇偶性 (1)奇

3、偶性的定义 设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-xD，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做 . 设函数y=g(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x，都有-xD,且g(-x)=g(x)，则这个函数叫做 .,小于,下降,上升,大于,奇函数,偶函数,返回目录,函数为奇函数或偶函数的必要条件是 . 若函数y=f(x)既为奇函数又为偶函数，则 ;反之并不一定成立. f(-x)=-f(x) ， f(-x)=f(x) f(-x)-f(x)=0. (2)奇函数与偶函数的性质 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之，如果一个函数的图象是

4、以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.,定义域关于原点对称,f(x)=0,f(-x)+f(x)=0,返回目录,如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和仍是 ，两个偶函数（或奇函数）的积仍是 ，一个偶函数与一个奇函数的积仍是 . 奇偶数在对称区间上的 相同，偶函数在对称区间上的 相反.,增减性,偶函数（或奇函数）,偶函数,奇函数,增减性,返回目录,考点1 函数单调性的判定及证明,试讨论函数f(x)= ,x(-1,1)的单调性(其中a0).,【分析】可根据定

5、义,先设-1x1x21,然后作差、变形、定号、判断；也可以求f(x)的导函数，然后判断f(x)与零的大小关系.,返回目录,【解析】解法一:任取x1,x2(-1,1),且x10, 则y=f(x2)-f(x1) -10, 0时,y=f(x2)-f(x1)0, 此时函数f(x)在(-1,1)上为增函数.,返回目录,解法二: a0时,f(x)0,函数f(x)在(-1,1)上为增函数.,对于给出具体解析式的函数,判断或证明其在某区间上的单调性问题,可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函数则可以利用导数解之.,返回目录,讨论函数f(x)=x+ (a0)的单调性.,解法一:显然f

6、(x)为奇函数,所以先讨论函数f(x)在(0,+)上的单调性,设x1x20,则 当01, 则f(x1)-f(x2)x2 时，00, 即f(x1)f(x2),故f(x)在 ,+)上是增函数. f(x)是奇函数， f(x)分别在(-,- , ,+)上为增函数； f(x)分别在- ,0),(0, 上为减函数.,返回目录,f(x1)-f(x2)=,返回目录,解法二:由f(x)=1- =0可得x= . 当x 时或x0, f(x)分别在 ,+),(-,- 上是增函数. 同理0x 或- x0时,f(x)0, 即f(x)分别在(0, ,- ,0)上是减函数.,考点2 复合函数的单调性,判断函数f(x)= 在定

7、义域上的单调性.,【分析】此题f(x)是由f(x)= ,u(x)=x2-1 两个函数复合而成,只需判断这两个函数的单调性.,返回目录,【解析】函数的定义域为x|x-1或x1, 则f(x)= , 可分解成两个简单函数: f(x)= ,u(x)=x2-1的形式. 当x1时，u(x)为增函数， 为增函数. f(x)= 在1,+)上为增函数. 当x-1时，u(x)为减函数， 为减函数. f(x)= 在(-,-1上为减函数.,返回目录,返回目录,(1)复合函数是指由若干个函数复合而成的 函 数,它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u) 的单调性密切 相关,其单调性的规律为“同增异减”，即f(u

8、)与g(x)有相同的 单调性，则 fg (x) 必为增函数，若具有不同的单调性， 则 fg(x)必为减函数. (2)讨论复合函数单调性的步骤是: 求出复合函数的定义域; 把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其单调性; 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围; 根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性.,返回目录,求函数 的单调区间.,【解析】由4x-x20,得函数的定义域是(0,4). 令t=4x-x2,则y= . t=4x-x2=-(x-2)2+4, t=4x-x2的单调减区间是2,4),增区间是(0,2. 又y= 在(0,+)上是减函数, 函数y= 的单调减区间是(0,2,单调增

9、 区间是2,4).,返回目录,考点3 抽象函数的单调性,函数f(x)对任意的a,bR,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并 且当x0时,f(x)1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.,【分析】 (1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单 调性的定义. (2)将函数不等式中抽象的函数符号 “ f ” 运用单调 性“去掉”，为此,需将右边常数 3 看成某个变量的函数 值.,【解析】 (1)证明:设x1,x2R,且x10, f(x2-x1)1. f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1) =f(x2-x1)+f(x

10、1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10. f(x2)f(x1). 即f(x)是R上的增函数.,返回目录,返回目录,(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, f(2)=3, 原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2), f(x)是R上的增函数, 3m2-m-22, 解得-1m . 故解集为 .,返回目录,返回目录,已知函数f(x)的定义域是(0,+)，当x1时，f(x)0， 且f(xy)=f(x)+f(y). （1）求f(1); （2）证明f(x)在定义域上是增函数； （3）如果f（ ）=-1，求满足不等式f(x)- 2 的x的取值范围.,【解析】 （1）令x=y=1，

11、得f(1)=2f(1)，故f(1)=0. （2）证明:令y= ,得f(1）=f(x)+f（ ）=0，故f（ ） =-f(x).任取x1,x2(0,+)，且x11,故f 0，从而f(x2)f(x1). f(x)在(0,+)上是增函数.,返回目录,（3）由于f =-1，而f =-f(3)，故f(3)=1. 在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=3,得 f(9)=f(3)+f(3)=2. 又-f（ ） =f(x-2)，故所给不等式可化为 f(x)+f(x-2)f(9)，即fx(x-2)f(9). x0, x-20, x(x-2)9. x的取值范围是1+ ,+).,返回目录,解得x1+ .,返

12、回目录,2010年高考广东卷若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则 ( ) A.f(x)与g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C.f(x)与g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数,考点4 判断函数的奇偶性,B,【分析】判断函数奇偶性应分两步: (1)定义域是否关于原点对称; (2)判断f(-x)与f(x)的关系. 【解析】f(x)=3x+3-x，f(-x)=3-x+3x. f(x)=f(-x)，即f(x)是偶函数. 又g(x)=3x-3-x,g(-x)=3-x-3x. g(x)=-g(-x)，即函数g(x)是奇函数.

13、故应选B.,返回目录,返回目录,返回目录,判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)= ； （2）f(x)=log2(x+ )(xR)； x2+x(x0)； （4）f(x)= lg|x-2|.,【分析】判断函数奇偶性应分两步: （1）定义域是否关于原点对称; （2）判断f(-x)与f(x)的关系.,（3）f(x)=,返回目录,【解析】（1）x2-10且1-x20, x=1，即f(x)的定义域是-1,1. f(1)=0,f(-1)=0, f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1)， 故f(x)既是奇函数又是偶函数. （2）已知f(x)的定义域为R， f(-x)=log2-x+ =log2 =-lo

14、g2(x+ )=-f(x), f(x)是奇函数.,返回目录,（3）当x0，则 f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)； 当x0时,-x0，得x2. f(x)的定义域 x|x2 关于原点不对称， 故 f(x) 既 不是奇函数也不是偶函数.,返回目录,2010年高考江苏卷设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a的值为 .,【分析】利用f(x)=f(-x)对任意xR恒成立,解a的值.,【解析】因为f(x)是偶函数，所以恒有f(-x)=f(x)，即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化简得x(e-x+ex)(a+1)=0. 因为上式对任意实数x都成立，所以

15、a=-1.,考点5 函数奇偶性的应用,返回目录,对任意x恒成立与解关于x的方程是不一样的,注意区别.,返回目录,设函数f(x)=x3+bx2+cx(xR),已知g(x)=f(x)-f(x)是奇函数. (1)求b,c的值; (2)求g(x)的单调区间与极值.,【解析】 (1)f(x)=x3+bx2+cx, f(x)=3x2+2bx+c, 从而g(x)=f(x)-f(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c) =x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数, g(0)=0得c=0,由奇函数定义得b=3. (2)由(1)知g(x)=x3-6x,从而g(x)=3x2-6,由此可知,(-,

16、- )和( ,+)是函数g(x)的单调递增区间;(- , )是函数g(x)的单调递减区间; g(x)在x=- 时,取得极大值,极大值为4 ; g(x) 在x=2时,取得极小值,极小值为-4 .,返回目录,返回目录,考点6 函数单调性与奇偶性的综合应用,函数f(x)的定义域为D=x|x0,且满足对于任意x1,x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)3,且f(x)在(0,+)上是增 函数,求x的取值范围.,【分析】 (1)依题设可令x1=x2=1,则可求f(1)的值

17、; (2)令x1=-1,x2=x,即可找到f(-x)与f(x)间的关系,但需求f(-1)的值; (3)充分利用奇、偶函数在其对称区间上的单调性求解.,返回目录,【解析】(1)对于任意x1,x2D, 有f(x1x2)=f(x1)+f(x2), 令x1=x2=1,得f(1)=2f(1), f(1)=0. (2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1), f(-1)= f(1)=0. 令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x), f(-x)=f(x), f(x)为偶函数.,返回目录,(3)依题设有f(44)=f(4)+f(4)=2, f(164)=f(16)+f(4)=

18、3. f(3x+1)+f(2x-6)3, 即f(3x+1)(2x-6)f(64).(*) 解法一:f(x)为偶函数, f|(3x+1)(2x-6)|f(64). 又 f(x)在(0,+)上是增函数, 0|(3x+1)(2x-6)|64. 解上式得3x5或 x-或 x3. x的取值范围为 x x 或 x3或3x5.,返回目录,解法二:f(x)在(0,+)上是增函数, ( * )等价于不等式组 (3x+1)(2x-6)0 (3x+1)(2x-6)64 或 (3x+1)(2x-6)3或x x5 或 x3 xR. 3x5或 x 或 x3. x的取值范围为 x x 或 x3或3x5.,返回目录,(1)对

19、抽象函数解不等式问题,应充分利用函数的单调性,将“f”脱掉，转化为我们会求的不等式； (2)奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.,返回目录,已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x0时,f(x)0恒成立,f(3)= - 3. (1) 证明:函数y=f(x)是R上的减函数; (2) 证明:函数y=f(x)是奇函数; (3) 试求函数y=f(x)在m,n(m,nZ)上的值域.,【解析】(1) 证明:设x1,x2R,且x10,f(x2-x1)0. f(x2)=

20、f(x1)+f(x2-x1)f(x1). 故f(x)是R上的减函数. (2) 证明:f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立, 可令a=-b=x,则有f(x)+f(-x)=f(0), 又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0. 从而xR,f(x)+f(-x)=0, f(-x)=-f(x).故y=f(x)是奇函数.,返回目录,返回目录,(3) 由于y=f(x)是R上的单调递减函数, y=f(x)在m,n上也是减函数,故f(x)在m,n 上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n). 由于f(n)=f(1+(n-1)=f(1)+f(n-1)=nf(1),

21、同理f(m)=mf(1). 又f(3)=3f(1)=-3,f(1)=-1, f(m)=-m,f(n)=-n. 函数y=f(x)在m,n上的值域为-n,-m.,返回目录,考点7 函数的周期性,已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x). （1）求证：f(x)是周期函数； （2）若f(x)为奇函数，且当0 x1时，f(x)= x，求使f(x)=- 在0,2 009上的所有x的个数.,【分析】 (1)只需证明f(x+T)=f(x),则f(x)即是以T为周期的周期函数;(2)由第(1)问可知只需求 一 个周期中f(x)=- 的x的个数便可知在0,2 009 上的x的个数.,返回目录,

22、【解析】 (1)证明:f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=-f(x)=f(x), f(x)是以4为周期的周期函数. (2)当0 x1时,f(x)= x, 设-1x0,则0-x1, f(-x)= (-x)=- x.f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x), -f(x)=- x,即f(x)= x.故f(x)= x(-1x1). 又设1x3,则-1x-21,f(x-2)= (x-2).,返回目录,又f(x-2)=-f(2-x)=-f(-x)+2)=-f(-x)=-f(x), -f(x)= (x-2),f(x)=- (x-2)(1x3). x (-1x1) - (x-2) (1x

23、3), 由f(x)=- ,解得x=-1. f(x)是以4为周期的周期函数, 故f(x)=- 的所有x=4n-1(nZ). 令04n-12 009,则 n , 又nZ,1n502(nZ), 在0,2 009上共有502个x使f(x)=- .,f(x)=,返回目录,判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题.,返回目录,对函数f(x)在(-,+)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间0,7上,只有f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;

24、 (2)试求方程f(x)=0在闭区间-2 005,2 005上的根的 个数.,f(2-x)=f(2+x) f(7-x)=f(7+x) f(x)=f(4-x) f(x)=f(14-x) f(4-x)=f(14-x) f(x)=f(x+10), 从而知函数y=f(x)的周期为T=10. 又f(3)=f(1)=0,而f(7)0,故f(-3)0. 故函数y=f(x)是非奇非偶函数.,返回目录,(1)由,返回目录,(2)由(1)知y=f(x)的周期为10. 又f(3)=f(1)=0, f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0, 故f(x)在0,10和-10,0上均有两个解 , 从而可知函数y=f(x)在0,2 005上有402个解,在-2 005,0上有 400个解,所以函数y = f(x) 在 -2 005,2 005上有802个解.,返回目录,1. (1)单调性首先要求函数的定义域,单调区间是定义域的子区间. (2)根据函数的单调性的定义,证明(判定)函数f(x)在其区间上的单调性,其步骤是 设x1,x2是该区间上的