浙江专用2020版高考数学专题8立体几何8.4直线平面垂直的判定和性质课件.pptx

1、高考数学（浙江专用）,8.4直线、平面垂直的判定和性质,考点垂直的判定和性质,考点清单,考向基础 一、线面、面面垂直的判定 1.直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条 直线都垂直,则称这条直线和这个平面互相垂直. (2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;用数学符号表示为:已知m,n,mn=B,lm,ln,则l.,2.点到平面的距离、线到面的距离 (1)从平面外一点引平面的一条垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个点到这个平面的距离. (2)一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫

2、做这条直线和这个平面的距离. 3.斜线在平面内的射影 (1)从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足与斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影,垂足与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段在这个平面内的射影. (2)斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上. 4.垂线段和斜线段长定理,在空间内,从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:(1)垂线段最短;(2)射影相等的两条斜线段相等,两条斜线段相等,它们的射影也相等;(3)射影较长的斜线段也较长,较长的斜线段的射影也较长.这就是 垂线段和斜线段长定理,应当注意:定理中涉及的垂线段和斜线段都是从平面外同一点引出的,缺少这个条件,结论不成立

3、. 5.平面与平面垂直 (1)定义:一般地,平面和相交,如果它们所成的二面角是直二面角, 就说这两个平面互相垂直.记作. (2)判定定理:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.符号表示为.,二、线面、面面垂直的性质 1.直线与平面垂直的性质定理 同垂直于一个平面的两直线平行. 2.直线与平面所成的角(设为) (1)斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)当一条直线垂直于平面时,规定它们所成的角是直角;当一条直线和平面平行或在平面内时,规定它们所成的角为0的角.,(3)最小角定理:斜线和平面所成的角是这条

4、斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角. 3.平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号表示为a. 4.二面角的概念及计算 (1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这 条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 棱为AB,面分别为、的二面角记作二面角-AB-,如果棱为l,那么这个,二面角记作-l-. (2)在二面角-l-的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角. 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二

5、面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.,考向突破,考向一空间垂直关系的判定,例1(2018浙江宁波模拟(5月),3)已知直线l、m与平面、,l,m,则下列命题中正确的是() A.若lm,则必有 B.若lm,则必有 C.若l,则必有 D.若,则必有m,解析对于选项A,可能平行,也可能相交; 对于选项B,可能垂直,可能相交不垂直,也可能平行; 对于选项D,m,可能垂直,可能平行,还可能m在平面内; 对于选项C,由面面垂直的判定定理可知,结论正确.,答案C,考向二直线与平面所成的角的求法,例2(2018浙江金华十校第一学期期末调研,19,15分)如图,在四棱锥S-ABCD中,ABCD,BC

6、CD,AB=2,BC=CD=SD=1,侧面SAB为等边三角形. (1)证明:ABSD; (2)求直线SC与平面SAB所成角的正弦值.,解析(1)证明:如图,取AB的中点E,连接ED,DB,SE,可得正方形DEBC,AD=,DB=,DEAB. 又侧面SAB为等边三角形,SEAB. SEDE=E,AB平面SDE, ABSD.,(2)解法一:空间向量法. 如图,由(1)知,DEDC,过D作DF平面ABCD,则DE,DC,DF两两垂直,分别以DE,DC,DF所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系D-xyz, 则D(0,0,0),A(1,-1,0),B(1,1,0),C(0,1,0),可求得S.(

7、10分),则=,=(0,2,0),=,设平面SAB的法向量是n= (x,y,z),由得取x=1,则n=(1,0,).(12分) 设直线SC与平面SAB所成的角为,则sin =. 故直线SC与平面SAB所成的角的正弦值为.(15分) 解法二:等体积法. 连接AC,AB平面SDE,AB平面ABCD,平面ABCD平面SDE,过S作DE的垂线SF,则SF平面ABCD,在等腰SDE中,易得SF=,(9分),VS-ABC=SABCSF=, 设点C到平面SAB的距离为h, 则VC-SAB=SSABh=h, 由VS-ABC=VC-SAB得h=.(12分) 又ABSD,ABCD,CDSD. 设SC与平面SAB所

8、成角为, 则sin =, 故直线SC与平面SAB所成角的正弦值为.(15分) 解法三:传统找角法.,如图,过S作SFCD,且SF=CD,连接FB,FC, 易证平面BCF平面SDE,AB平面BCF, 平面ABFS平面BCF.(9分) 过C作CGFB于G,连接SG,则CG平面ABFS, 故CSG即为直线SC与平面SAB所成的角,(12分),又ABSD,ABCD,CDSD. 在等腰BCF中,易得CG=, 故sinCSG=, 故直线SC与平面SAB所成角的正弦值为.(15分) 解法四:距离转移法. CDAB,CD平面ABS,AB平面ABS,CD平面ABS, 故C、D到平面ABS的距离相等. AB平面S

9、DE,平面ABS平面SDE,(9分) 过D作DHSE于H,则DH平面SAB,在等腰SDE中,易得DH=,(12分) 又ABSD,ABCD,CDSD. 设SC与平面SAB所成的角为, 则sin =, 故直线SC与平面SAB所成角的正弦值为.(15分),考向三二面角的求法,例3(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),19,15分)已知矩形ABCD,MB平面ABCD,NC平面ABCD,且MB=NC=,BC=2,PAD为边长 为2的正三角形,且平面PAD平面ABCD. (1)求证:平面PAD平面PMN; (2)若AB=4,求平面PBC与平面PMN所成锐二面角的余弦值.,解析(1)证明:取AD的中点O

10、,连接PO,OB,OC,PAD为正三角形,POAD,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面ABCD,POMB,PO=MB=,故四边形OPMB为矩形,PO PM,同理,POPN,PO平面PMN,又PO平面PAD,平面PAD平面PMN.,(2)根据(1)知,所求的二面角与二面角P-BC-A相等,过O向BC作垂线交BC于H,连接PH,则PHO为二面角的平面角,PO=,OH=4,PH= =.故cosPHO=.,方法1线面垂直判定的方法 1.线面垂直的定义. 2.线面垂直的判定定理(ab,ac,b,c,bc=Ma). 3.平行线垂直平面的传递性(ab,ba). 4.面面垂直的性质

11、(,=l,a,ala). 5.面面平行的性质(a,a). 6.面面垂直的性质(=l,l). 7.向量法:证明直线的方向向量为平面的法向量.,方法技巧,例1(2018浙江台州高三期末质检,19)如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别为BA,BC的中点,将ADE,DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A,连接AB,EF,BD. (1)求证:EF平面ABD; (2)求AD与平面BEDF所成角的正弦值.,解析(1)证明:ADAE,ADAF,AEAF=A, AD平面AEF, 又EF平面AEF,ADEF, 由已知可得EFBD,又BDAD=D,EF平面ABD.(7分) (2)由(1)可得平面

12、ABD平面BEDF,则ADB为AD与平面BEDF所成的角, 设BD,EF交于点M,连接AM,则AM=BM=,DM=3, 又AD平面AEF,AM平面AEF,ADAM,(12分) 在RtADM中,sinADB=, AD与平面BEDF所成角的正弦值为.(15分),方法2面面垂直判定的方法 1.面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,计算其平面角为90). 2.面面垂直的判定定理:a,a. 3.向量法:证明两个平面的法向量垂直.,例2(2017浙江嘉兴基础测试,18)如图,在三棱锥P-ABC中,ABC是等边三角形,D是AC的中点,PA=PC,二面角P-AC-B的平面角的大小为60. (1)求证:平面PBD平面PAC; (2)求AB与平面PAC所成角的正弦值.,解题导引 (1) (2),解析(1)证明:由题意得BDAC,PDAC,又BDPD=D,所以AC平面PBD,又AC平面PA