电磁学-习题与讨论课

1、电场能是以体密度定域分布在空间内的静电能。,思考: 半径为R、带电量为Q的均匀带电球面，其静电能与球体的静电能相 比，哪个大？,求真空中一半径为a、带电量为 Q的均匀球体的静电场能。,解：,作高斯面如图，,由高斯定理得,球内,球外,有一外半径R1、内半径R2的金属球壳, 其中放一半径为R3的金属球，球壳和球均带有电量10-8C的正电荷。问：(1) 两球电荷分布。(2) 球心的电势。(3) 球壳电势。,解：,电荷分布如图所示球面q, 壳内表 面-q,壳外表面2q,由高斯定律可得：,(2),(3),求半径为R 、带电量为q的均匀带电细圆环轴线上的电场。,解：在圆环上取电荷元dq,各电荷元在P点 方

2、向不同，分布于 一个圆锥面上。,由对称性可知,讨论：1、环心处,2、,3、令,处E有极大值,均匀带电圆平面的电场(电荷面密度)。,O,x,r,P,叠加原理思想： 圆盘 由许多均匀带电圆环组成。,解：任取半径为r的圆环,由上题结果,得：,讨论：1、,x0，或 R时，,无限大带电平面的电场,2、 x R时，想一想, 简化为点电荷,真空中高斯定理(Gauss law),真空中静电场内，通过任意封闭曲面(高斯面)的电通量等于该封闭曲面所包围的电量代数和的 倍：,讨论：,1. 式中各项的含义,S：封闭曲面高斯面；,：总场, S内外所有电荷均有贡献；,真空电容率（介电常数）,S内的净电荷；,只有S内电荷有

3、贡献。,2. 揭示了静电场中“场”和“源” 的关系,电场线有头有尾,静电场的重要性质之一： 静电场是有源场,3.利用高斯定理可方便求解具有某些 对称分布的静电场,成立条件：静电场,求解条件：电场分布具有某些对称性,选择恰当的高斯面，使,中的,以标量形式提到积分号外，,从而,简便地求出 分布。,中的 能以标量,当场源电荷分布具有某种对称性时， 应用高斯定律，选取适当的高斯面， 使面积分,形式提出来，,均匀带电球壳,均匀带电无限大平板,均匀带电细棒,即可求出场强。,常见类型：场源电荷分布,球对称性 轴对称性 面对称性,例题 求电量为Q 、半径为R的均匀 带电球面的场强分布。,选高斯面,求均匀带电球

4、体(Q、R)的电场分 布。,解：对称性分析,作以O为中心, r为半径的球形面S，,S面上各点彼此等价，,大小相等，,方向沿径向。,以S为高斯面：,由高斯定理：,令,体电荷密度,练习,1. 求均匀带电球面( )的电场分布，并画出 曲线。,0,2. 如何理解带电球面 处 值突变？,带电面上场强 E 突变是采用面模型的结果，实际问题中计算带电层内及其附近的准确场强时，应放弃面模型而还其体密度分布的本来面目。,3、计算带电球层(R1, R2, )的电场分布。,解：选一半径为r 的球形高斯面S,由高斯定理,例2求无限长均匀带电直线( )的电场。,对称性分析：,P点处合场强垂直于带电直线,与P 地位等价的

5、点的集合为以带电,直线为轴的圆柱面。,高斯面：,取长 L 的圆柱面，加上,底、下底构成高斯面S。,=,0,=,0,由高斯定理,1. 无限长均匀带电柱面的电场分布？,练习,对称性分析:,视为无限长均匀带电直线的集合。,选同轴圆柱型高斯面，,由高斯定理计算：,当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时， 能否用高斯定理求电场分布？,例3.求无限大均匀带电平面的电场 (电荷面密度)。,对称性分析：,方向垂直于带电平面，离带电平面 距离相等的场点彼此等价。,选择圆柱体表面为高斯面，如图：,=,0,根据高斯定理,得,均匀电场 其方向由的符号决定,1. 电势(electric potential),单位：伏特

6、（V）,静电场中某点电势等于单位正电荷 在该点具有的电势能，或将单位正电 荷由该点移至零势点过程中静电力所 做的功。,2. 电势差(electric potential difference),点电荷q在静电场中a沿任意路径移至b过程中静电力做的功：,电势和电势差,讨论：,（1） U 为空间标量函数；,（2）U 具有相对意义，其值与零势 点选取有关， 但Uab与零势点 选取无关。,（3）电势遵从叠加原理：,即：点电荷系场中任一点的电势等于 各点电荷单独存在时在该点产生 的电势的代数和。,(零势点相同),（4）由保守力与其相关势能的关系：,3. 静电力做的功,常选无穷远或地球电势为零。电势差与电

7、势的零点选取无关。,(3) 由电势定义计算,电势的计算(两种基本方法),1.场强积分法(由定义求),(1) 首先确定 分布;,(2) 选零势点和便于计算的积分路径;,2.利用电势叠加原理,点电荷系,连续分布的带电体,例1. 一半径为R的均匀带电球体， 带电量为q。求其电势分布。,解：由电荷分布可知，电场沿径向.,选择同心球面为高斯面，,S,根据,高斯定律得,例2. 求无限大均匀带电平面()场 中电势分布。,解：,电场分布,因为电荷无限分布，故在有限远 处选零势点.令O点电势为零。,沿X 轴方向积分：,区域：,区域：,Ux曲线如图,例1. 求无限长载流圆柱形导体的磁场分布。,解：,磁场分布分析,

8、横截面图,作半径为r 的圆环为积分回路L,L,根据安培环路定理,安培环路定理的应用,例2. 求长直螺线管内的磁感强度(I, n已知)。,解：,分析磁场分布,管内中央部分，轴向B均匀，管外B近 似为零。,作安培回路abcd如图：,根据安培环路定理,例3. 求载流螺绕环的磁场分布(R1、R2、N、I已知)。,解：,分析磁场分布对称性,相等 点的集合,同心圆环,以中心O,半径 r 的圆环为安培环路L,根据安培环路定理,例4.为了测试某种材料的相对磁导率,常将材料做成横截面为圆形的螺绕环芯子, 设环上绕有线圈200匝, 平均围长0.1m, 横截面积为510-5m2, 当线圈内通有电流0.1A时用磁通计

9、测得穿过横截面积的磁通量为610-5 Wb, 试计算该材料的相对磁导率。,截面磁场近似均匀,解：选如图所示的安培环路,例5. 导线ab弯成如图形状，半径,r=0.10m，B=0.50T,转速n=3600转/分。,电路总电阻为1000。求感应电动势,和感应电流以及最大感应电动势和最,大感应电流。,解：,依题意,根据法拉第电磁感应定律得,最大感应电动势和最大感应电流为：,例5. 一长直导线通以电流 (I0为常数)。旁边有一个边长分别为l1和l2 的矩形线圈abcd与长直电流共面，ab边 距长直电流r。求线圈中的感应电动势。,解：,建立坐标系Ox如图,x处的磁感应强度为：,如图取dS=l2dx,方向

10、,时,根据法拉第电磁感应定律得,根据楞次定律可知,x,根据动生电动势公式得：,方向：c至d。,例6：一直导线cd在一无限长直电流磁场中作切割磁力线运动，cd长为L。求 ：动生电动势。,1. 感生电场,电磁场的基本方程之一,可见：,(1) 变化的磁场能够激发电场。,(2) “-”的含义：,负右手螺旋,(3)感生电场的性质：,无源、非保守(涡旋)场,(4) 对场中电荷的作用力：,2. 感生电动势的计算,1. 定义求解：,若导体不闭合，则,该方法只能用于E感为已知或可求 解的情况。,2. 法拉第电磁感应定律求解：,感生电场 感生电动势的计算,若导体不闭合，需作辅助线。,例1. 已知半径为R的长直螺线

11、管中的 电流随时间变化，若管内磁感应强度 随时间增大，即 =恒量0，求感生 电场分布。,解：选择一回路L, 逆时针绕行,感生电场的方向如图：,例2. 在上题长直螺线管一截面内放置长 为2R的金属棒(图示)，ab=bc=R，求棒中 感生电动势。,解一：定义法,感生电场分布：,解二：法拉第电磁感应定律求解,连接 , 形成闭合回路,半径,通过 的磁通量:,例3. 某空间区域存在垂直向里且随时间变化的非均匀磁场B=kxcost。其中有一弯成角的金属框COD，OD与x轴重合。一导体棒沿x方向以速度v匀速运动。设t=0时x=0，求框内的感应电动势。,解：设某时刻导体棒位于l处,l,任取,根据法拉第电磁感应定律：,例1. 长为l的螺线管，横断面为S，线圈总匝数为N，管中磁介质的磁导率为。求自感系数。,解：,线圈体积：,例2. 一电缆由两个“无限长”的同轴圆桶状导体组成，其间充满磁导率为的磁介质，电流I从内桶流进，外桶流出。设内、外桶半径分别为R1和R2 ，求：单位长度的一段导线的自感系数。,解：两圆柱面间磁场为,dr,自感和互感,1. 磁能密度：磁场单位体积内的能量,2. 磁场能量,例3. 长直同轴电缆，由半径为R1和R2的两同心圆柱组成，电缆中有稳恒电流I，经内层流进，外层流出形成回路。试计算长为l的一段电缆内的磁