数列与递推关系.ppt

1、数列与递推关系,第三节,数列是定义在自然数集上的函数.数列的有,关问题往往围绕通项与求和问题展开, 数列问,题涉及数列的通项、求和、数列的性质 (如单,调性、周期性、整除性、取值范围等等);另外,还常与函数迭代、 集合分拆、 初等数论等其,它知识交织成综合题. 由于其中不少问题可以,转化归结为递推数列问题, 因此这里主要介绍,递推数列.,一.递推数列的通项公式,已知,求,的表达式.,解一,(辅助数列法),令,则,是,首项,且公比为2的等比数列,故,叠加得,因此,解二,(特征方程法),解特征方程,得,可设,有,由,得,解得,所以,解三,(母函数法),设,的母函数为,则,三式相加,并注意到,得,即

2、,由于,故,因此,设函数,记,则,(2003年,“希望杯”高一第1试),解,(不动点法),令,得不动点,于是,相比得,即,由,及等比数列通项公式得,所以,分析,对非齐次递推式,有时可采用齐次化方法,简化递推关系,达到解决问题的目的.,解,两式相加,并整理得,令,上式说明,的奇数项相等,偶数,项也相等.,而,故,即,解特征方程,得,可设,由,得,解得,于是,解,显然,于是,由,易见,及归纳法,从而,因此,“九连环”是中国先人创造的智力游戏. 在2002 年北京世界数学家大会期间, 这个古老的游戏引起了与会数学家们的浓厚兴趣.该游戏依赖以下两个原则: (1)第1个环任何情况下,可下也可上; (2)

3、如果某一环在上,而它前面所有环都在下, 则这个环的后一个环可上也可下.,记上“ 连环”总共需要 步；,当,“ 连环”完成,后接着完成,“ 连环”,所以,新增加的步骤数为,注意第n个环可上也可下,又,解,因为,所以,由等比数列通项公式,有,整理得,整理得,由等比数列通项公式,有,故,注：,时,(次).,若每秒完成次,每天做12小时,则亿多次,需要90.8年.多么惊人的数字！,解,依题意,有,相减得,故,所以,二.利用递推数列的性质解题,1.求值问题,且,解,设实数,满足,求,的值. (第6届美国,数学邀请赛试题改编),记,则,为求,注意到有相邻系数,关系,设,展开并比较系数得,故,所以,解特征方

4、程,得,(三重).,可设,其中,由,得,解得,所以,故,注： 时即为第届美国数学邀请赛试题.,的值都能被9整除,求,南省高中),的最小值. (2002年湖,解一,(先特殊后一般),计算知数列前几项为1,3,9,33,153,873, ,注意到,是9的倍数,由递推关系知,第5项后各项都是9的倍数,故,的最小值为5,解二,(先求通项公式,再考察其规律),由条件得,反复使用此式,可得,于是,注意,时,而计算知前5项只有,倍数,是9的,故 的最小值为5.,已知,求证:对一切非零自,然数,总有,为整数.(1963年,莫斯科),解,两式相减,并整理得,令,上式说明,为常数列.,而,故,即,至此,用数学归纳

5、法不难证明结论成立.,2.考察数列的性质,重新整理递推关系,化为易应用的形式.,分析,证明,由条件可得,平方得,削去常数项,得,所以,或,由此可见,若,是整数,则,也是整数.,由,用数学归纳法不难证明结论成立.,3.证明不等式,分析,用递,推关系简化通项,最后说明,设,解,设,则,变形,得,(构造辅助数列),故,所以,易见,时,得证.,即,附：分组数列,将数列按一定的规律分组,以组为单位的新,数列称为原数列的分组数列(又叫分群数列).,用数列的有关知识考察分组数列,是中学数,学的一种新题型.,删去正整数数列 1,2,3,中的所有完全,平方数,得到一个新数列,这个新数列的第2003,项是( ),

6、(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049,(2003年全国高中),解,(利用平方数特征及选择支提供的信息解决),故待选项之前删去的最大完全平方数是,2003+45=2048知选(C).,由,解,考察各组第1个数构成的数列,记,(差分法),其前n项和为,于是,由,知,2004在第45组.,设2004为第45组的第可k个数,解得k=12.,2004=1982+(k-1)2,所以,2004为第45组的第12个数.,由通项公式得,分析,第(1)小题先确定第1998项在第几组,再,求和就不难了;,第(2)小题先假设存在, 再研究,其性质.,解,(1)将数列分组：第i个1和它后面 个2这,个数称为第i组.,设第1998项在第k组,则k是满足,的最小正整数,即,估算：,故k=11.,将前11组的各组数首项1先换成2,再总,体减去11,得,(2)若存在, 设第n项在第k组, 则同上知2n-k=,2001,故k为奇数.,由(1)知,有,而,