哈尔滨工业大学理论力学第七版第14章 虚位移原理.ppt

1、第 十 四 章,虚位移原理,应用功的概念分析 系统的平衡问题,静力学平衡问题,虚位移原理：虚位移、虚功的概念,虚位移原理和达朗贝尔原理组成动力学普遍方程 分析力学的基础,第十四章 虚位移原理,14-1 约束 虚位移 虚功 14-2 虚位移原理,14-1 约束虚位移虚功,1 约束及其分类,限制质点或质点系运动的条件称为约束， 限制条件的数学方程称为约束方程。,平面单摆,曲柄连杆机构,限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。,（1） 几何约束和运动约束,限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。,几何约束： 运动约束：,（2）定常约束和非定常约束,约束条件随时间变化的称非定常约束，否则

2、称定常约束。,（3） 其它分类,约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分成有限形式 的约束称非完整约束，否则为完整约束。,例如：车轮沿直线轨道作纯滚动， 是微分方程，但经过积分可得到 （常数），该约束仍为完整约束。,几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。,约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束），约束方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束）。,双侧约束的约束方程为等式，单侧约束的约束方程为不等式。,本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束；,n 为质点系数 s 为约束方程数,2 虚位移,在某瞬时，质点系在约束允许的

3、条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移 。,虚功,4 理想约束,如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。,力在虚位移中作的功称虚功。,设质点系处于平衡，有,此方程称虚功方程，其表达的原理称虚位移原理或虚功原理,14-2 虚位移原理,对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零。,解析式为,例14-1 如图所示，在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平面内的力偶( )，其力偶矩 ，螺杆的导程为 h 。,求：机构平衡时加在被压物体上的力。,满足如下关系：,因 是任意的，则有：,例14-2图中所

4、示结构，各杆自重不计，在点作用一铅直向上的力，,求：支座的水平约束力。,解:解除B端水平约束,以力 代替,如图 (b),代入虚功方程,解得,如图在CG间加一弹簧，刚度K，且已有伸长量 仍求 。,在弹簧处也代之 以力，如图（b)，其中,例14-3图所示椭圆规机构中，连杆AB长为L， 滑块，与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。,求：主动力 FA与FB 之间的关系。,解：,(1) 给虚位移,代入虚功方程,有,即,(2) 用解析法。建立坐标系,由,有,得,代入到,由速度投影定理,有,代入上式,得,(3) 虚速度法,例14-4如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构在图示位置平衡时，主

5、动力偶矩与主动力之间的关系。,解： 给虚位移,由图中关系有,代入虚功方程得,用虚速度法：,代入到,用建立坐标，取变分的方法，有,解得,例14-5求图所示无重组合梁支座的约束力。,解：解除A处约束，代之 ，给虚位移，如图（b）,代入虚功方程，得,以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。 若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。,应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步

6、骤和要点：,1、正确选取研究对象：,2、正确进行受力分析： 画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦 力和待求的约束反力。 3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。 4、应用虚位移原理建立方程。 5、解虚功方程求出未知数。,例 滑套D套在光滑直杆AB上，并带动杆CD在铅直滑道上滑动。已知=0o时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为5(kN/m)，求在任意位置（ 角）平衡时，加在AB杆上的力偶矩M ？,解：这是一个已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关系的问题。将弹簧力计入主动力，系统简化为理想约束系统，故可以用虚位移原理求解。,由虚位移原理，得：,解：这是一个具有两个自由度的系统，取角及为广义坐标，现用两种方法求解。,例 均质杆OA及AB在A点用铰连接，并在O点用铰支承，如图所示。两杆各长2a和2b，各重P1及P2，设在B点加水平力 F 以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角及 。,y,应用虚位移原理，,解法一：,代入(a)式，得：,由于 是彼此独立的，所以：,由此解