中考专题复习――矩形菱形正方形

1、中考专题复习第二十一讲 矩形 菱形 正方形【基础知识回顾】一、矩形： 1、定义：有一个角是 角的平行四边形叫做矩形 2、矩形的性质： 矩形的四个角都 矩形的对角线 3、矩形的判定：用定义判定有三个角是直角的 是矩形对角线相等的 是矩形【名师提醒：1、矩形是 对称图形，对称中心是 ，矩形又是 对称图形，对称轴有 条2、矩形被它的对角线分成四个全等的 三角形和两对全等的 三角形 3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】二、菱形：1、定义：有一组邻边 的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：菱形的四条边都 菱形的对角线 且每条对角线 3、菱形

2、的判定：用定义判定对角线互相垂直的 是菱形四条边都相等的 是菱形【名师提醒：1、菱形既是 对称图形，也是 对称图形，它有 条对称轴，分别是 2、菱形被对角线分成四个全等的 三角形和两对全等的 三角形 3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的 来计算 4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】三、正方形： 1、定义：有一组邻边相等的 是正方形，或有一个角是直角的 是正方形2、性质：正方形四个角都 都是 角，正方形四边条都 正方形两对角线 、 且 每条对角线平分一组内角3、判定：先证是矩形，再证 先证是菱形，再证 【名师提醒

3、：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是 对称图形，又是 对称图形，有 条对称轴3、几种特殊四边形的性质和判定都是从 、 、 三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】【重点考点例析】 考点一：与矩形有关的折叠问题例1 （2016泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10cm，且tanEFC=，那么该矩形的周长为（）A72cmB36cmC20cmD16cm对应训练1（2016湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点

4、E处，连接DE若DE：AC=3：5，则的值为（）A BCD考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例2 （2016泉州）如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= 1：2，菱形ABCD的面积S= 16对应训练2（2016凉山州）如图，菱形ABCD中，B=60，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A14B15C1 D17考点三：和正方形有关的证明题例3 （2016湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度

5、，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长思路分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，AOC=DOF=90，然后求出AOD=COF，再利用“边角边”证明AOD和COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DFOE，DG=OG= OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD解：（1）AD=CF理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，AOC=DOF=90，AO

6、C+COD=DOF+COD，即AOD=COF，在AOD和COF中， AODCOF（SAS），AD=CF；（2）与（1）同理求出CF=AD，如图，连接DF交OE于G，则DFOE，DG=OG=OE， 正方形ODEF的边长为，OE=2，DG=OG=OE=2=1，AG=AO+OG=3+1=4，在RtADG中，AD=，CF=AD=点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键对应训练3（2016三明）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，

7、点E在BC的延长线上，且PE=PB（1）求证：BCPDCP；（2）求证：DPE=ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图），若ABC=58，则DPE= 58度3（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，BCP=DCP=45，在BCP和DCP中， BCPDCP（SAS）；（2）证明：由（1）知，BCPDCP，CBP=CDP，PE=PB，CBP=E，DPE=DCE，1=2（对顶角相等），180-1-CDP=180-2-E，即DPE=DCE，ABCD，DCE=ABC，DPE=ABC；（3）解：与（2）同理可得：DPE=ABC，ABC=58，DPE=58故答案为：58考点四：四边形

8、综合性题目例4 （2016资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MNDF于H，交AD于N（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t0）；判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由连结FM、FN，MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由思路分析：（1）证明ADFDNC，即可得到DF=MN；（2

9、）首先证明AFECDE，利用比例式求出时间t=a，进而得到CM=a=CD，所以该命题为真命题；若MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论解：（1）证明：DNC+ADF=90，DNC+DCN=90，ADF=DCN在ADF与DNC中， ADFDNC（ASA），DF=MN（2）解：该命题是真命题理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=AB=CDABCD，AFECDE，=，AE=EC，则AE=AC=a，t=a则CM=1t=a=CD，点M为边CD的三等分点能理由如下：易证AFECDE，=，即，得AF=易证MNDDFA，即，得ND=t ND=CM=t，AN=DM=a-t若MNF为等腰三角形，则可

10、能有三种情形：（I）若FN=MN，则由AN=DM知FANNDM，AF=DM，即=t，得t=0，不合题意此种情形不存在；（II）若FN=FM，由MNDF知，HN=HM，DN=DM=MC，t=a，此时点F与点B重合；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：易得MFCNMD，FC=DM=a-t；又由NDMDCF，即，FC=a-t，t=a，此时点F与点C重合综上所述，当t=a或t=a时，MNF能够成为等腰三角形点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形

11、之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解对应训练4（2016营口）如图1，ABC为等腰直角三角形，ACB=90，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD（1）猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，ACB=90，正方形CDEF改为矩形CDEF，如

12、图4，且AC=4，BC=3，CD= ，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值4解：（1）BF=AD，BFAD；BF=AD，BFAD仍然成立，证明：ABC是等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC，四边形CDEF是正方形，CD=CF，FCD=90，ACB+ACF=FCD+ACF，即BCF=ACD，在BCF和ACD中，BCFACD（SAS），BF=AD，CBF=CAD，又BHC=AHO，CBH+BHC=90，CAD+AHO=90，AOH=90，BFAD；（2）证明：连接DF，四边形CDEF是矩形，FCD=90，又ACB=90，ACB=FCDACB+ACF=F

13、CD+ACF，即BCF=ACD，AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BCFACD，CBF=CAD，又BHC=AHO，CBH+BHC=90CAD+AHO=90，AOH=90，BFAD，BOD=AOB=90，BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，AB2=AC2+BC2=32+42=25，在RtFCD中，FCD=90，CD=，CF=1，DF2=CD2+CF2=()2+12=，BD2+AF2=AB2+DF2=25+=【聚焦山东中考

14、】1（2016威海）如图，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）ABC=ACBCFBFCBD=DFDAC=BF2（2016枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A-1B3-C+1D-13（2016临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，B=60，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，连接EF，则AEF的面积是 4（2016烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EF

15、GB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画 ，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为 45（2016济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：CE=CF；AEB=75；BE+DF=EF；S正方形ABCD=2+其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）6（2016济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AFBE（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MPNQMP与NQ是否相等？并说明理由6（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，BAE=D

16、=90，DAF+BAF=90，AFBE，ABE+BAF=90，ABE=DAF，在ABE和DAF中，ABEDAF（ASA），AF=BE；（2）解：MP与NQ相等理由如下：如图，过点A作AFMP交CD于F，过点B作BENQ交AD于E，则与（1）的情况完全相同7（2016青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点（1）求证：ABMDCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD：AB= 2：1时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）8（2016淄博）矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4（1）如图1，四边

17、形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）8解：（1）正方形的最大面积是16设AM=x（0x4），则MD=4-x四边形MNEF是正方形，MN=MF，AMN+FMD=90AMN+ANM=90，ANM=FMD在ANM和DMF中， ANMDMF（AAS）DM=ANS正方形MNEF=MN2=AM2+AN2，=x2+（4-x）2，=2（x-2）2+8函数 S

18、正方形MNEF=2（x-2）2+8的开口向上，对称轴是x=2，在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大，0x4，当x=0或x=4时，正方形MNEF的面积最大最大值是16（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形9（2016济南）（1）如图1，已知ABC，以AB、AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明

19、理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得ABC=45，CAE=90，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长9解：（1）完成图形，如图所示：证明：ABD和ACE都是等边三角形，AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=60，BAD+BAC=CAE+BAC，即CAD=EAB，在CAD和EAB中， CADEAB（SAS），BE=CD；（2）BE=CD，理由同（1），四边形ABFD和ACGE均为正方形，AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=90，CAD=EAB，在CAD和EAB中， CADEAB（SAS），BE=CD

20、；（3）由（1）、（2）的解题经验可知，如图，过A作等腰直角三角形ABD，BAD=90，则AD=AB=100米，ABD=45，BD=100米，连接CD，则由（2）可得BE=CD，ABC=45，DBC=90，在RtDBC中，BC=100米，BD=100米，根据勾股定理得：CD=米，则BE=CD=100米【备考真题过关】一、选择题1（2016铜仁地区）下列命题中，真命题是（）A对角线相等的四边形是矩形B对角线互相垂直的四边形是菱形C对角线互相平分的四边形是平行四边形D对角线互相垂直平分的四边形是正方形2（2016宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A两组对边分别平行B对角线相等C对角线互相平分D

21、两组对角分别相等3（2013随州）如图，在菱形ABCD中，BAD=120已知ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A25B20C15D104（2016重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A6cmB4cmC2cmD1cm5（2016南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B处，若AE=2，DE=6，EFB=60，则矩形ABCD的面积是（）A12B24C12D166（2016巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长

22、是（）A24B16C4D27（2016茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOD=60，AD=2，则AC的长是（）A2B4C2 D48（2016成都）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C重合，若AB=2，则CD的长为（）A1B2C3D49（2016包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）AS1S2BS1=S2CS1S2D3S1=2S210（2016扬州）如图，在菱形ABCD中，BAD=80，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则CDF等于（）A50B60

23、C70D8011（2016绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DHAB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A cmBcmCcmD cm12（2016雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：BE=DF，DAF=15，AC垂直平分EF，BE+DF=EF，SCEF=2SABE其中正确结论有（）个A2B3C4D5二、填空题13（2016宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋若改变框架的形状，则也随之变化，两条对角线长度也在发生改变当为- 90度时，两条对角线长度相等14（2016淮

24、安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 315（2013无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于 416（2016黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AEBC于E，AFCD于F，B=60，则菱形的面积为 17（2016攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DEAB于点E，cosA=，BE=4，则tanDBE的值是 218（2016南充）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AEAC，AE=1，连接BE，则tanE= 19（2016苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将ADE沿AE折叠后得到AFE，且点F在矩形A

25、BCD内部将AF延长交边BC于点G若，则 用含k的代数式表示）20（2016哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OEAC交AB于E，若BC=4，AOE的面积为5，则sinBOE的值为 21（2016北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为 2022（2016南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，A=120，则EF= cm23（2016舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从

26、点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为 24（2016桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是 25（2016荆州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把ACD沿CA方向平移得到A1C1D1，连结AD1、BC1若ACB=30，AB=1，CC1=x，ACD与A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：A1AD1CC1B；当x=1时

27、，四边形ABC1D1是菱形；当x=2时，BDD1为等边三角形；s=（x-2）2（0x2）；其中正确的是 （填序号）三、解答题26（2016南通）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且BAD=CAE求证：四边形BCDE是矩形26证明：BAD=CAE，BAD-BAC=CAE-BAC，BAE=CAD，在BAE和CAD中 BAECAD（SAS），BEA=CDA，BE=CD， DE=BC，四边形BCDE是平行四边形，AE=AD，AED=ADE，BEA=CDA，BED=CDE，四边形BCDE是平行四边形，BECD，CDE+BED=180，BED=CDE=90，四边形BCDE是矩形27（2016广州）

28、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长27解：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，ACBD，DO=BO，AB=5，AO=4，BO=3，BD=2BO=23=628（2013厦门）如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DEAG，垂足为E，延长DE交AB于点F在线段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH求证：ABH=CDE28证明：如图，在正方形ABCD中，AB=AD，ABG=DAF=90，DEAG，2+EAD=90，又1+EAD=90，1=2，在ABG和DAF中，ABGDAF（ASA），AF=BG，AG=DF，AFD=

29、BGA，AG=DE+HG，AG=DE+EF，EF=HG，在AEF和BHG中，AEFBHG（SAS），1=3，2=3，2+CDE=ADC=90，3+ABH=ABC=90，ABH=CDE29（2013黔东南州）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作MECD交BC于点E，作MFBC交CD于点F求证：AM=EF29证明：过M点作MQAD，垂足为Q，作MP垂足AB，垂足为P，四边形ABCD是正方形，四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，在APM和FME中， APMFME（SAS），AM=EF30（2016铁岭）如图，

30、ABC中，AB=AC，AD是ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由30（1）证明：点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，四边形AEBD是平行四边形，AB=AC，AD是ABC的角平分线，ADBC，ADB=90，平行四边形AEBD是矩形；（2）当BAC=90时，理由：BAC=90，AB=AC，AD是ABC的角平分线，AD=BD=CD，由（1）得四边形AEBD是矩形，矩形AEBD是正方形31（2016南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线

31、，点E、F分别是边BC、AD的中点（1）求证：ABECDF；（2）若B=60，AB=4，求线段AE的长31解：（1）四边形ABCD是菱形，AB=BC=AD=CD，B=D，点E、F分别是边BC、AD的中点，BE=DF，在ABE和CDF中， ABECDF（SAS）；（2）B=60，ABC是等边三角形，点E是边BC的中点，AEBC，在RtAEB中，B=60，AB=4，sin60=，解得AE=232（2016贵阳）已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC（1）求证：AE=EC；（2）当ABC=60，CEF=60时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由32（

32、1）证明：如图，连接AC，BD也是菱形ABCD的对角线，BD垂直平分AC，AE=EC；（2）解：点F是线段BC的中点理由如下：在菱形ABCD中，AB=BC，又ABC=60，ABC是等边三角形，BAC=60，AE=EC，CEF=60，EAC=BAC=30，AF是ABC的角平分线，AF交BC于F，AF是ABC的BC边上的中线，点F是线段BC的中点33（2016曲靖）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CFDE于F，过点A作AGCF交DE于点G（1）求证：DCFADG（2）若点E是AB的中点，设DCF=，求sin的值33（1）证明：在正方形ABCD中，AD=DC，ADC=90，C

33、FDE，CFD=CFG=90，AGCF，AGD=CFG=90，AGD=CFD，又ADG+CDE=ADC=90，DCF+CDE=90，ADG=DCF，在DCF和ADG中，DCFADG（AAS）；（2）设正方形ABCD的边长为2a，点E是AB的中点，AE=2a=a，在RtADE中，DE=，sinADG=，ADG=DCF=，sin=35（2016绥化）已知，在ABC中，BAC=90，ABC=45，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反