8塑性力学基础

1、8-1 引言,8-2 屈服条件,第八章 塑性力学基础,8-3 Drucker公设与加载条件,8-4 塑性本构关系,8-5 简单弹塑性问题,8-1 引言,一. 金属材料的力学试验,不同材料在单向拉压实验中，有不同的应力应变曲线。,1. 单向拉压试验,对于软钢（如低碳钢）:,A,B,在OA段，只要在A前卸载均不会产生残余变形，,e,p,（1）弹性阶段与弹性极限,因此为弹性阶段，,其极限值为e 称为弹性极限；,其中的OA1段为直线段，即线弹性，,A1,其极限值为p 称为比例极限。,其斜率E 称为弹性模量。,（2）屈服阶段与屈服极限,A,B,e,p,A1,过A点，在AB段内应力不增加（d 0），应变继

2、续增加，称为屈服（流动）；,在段内任一点（如B1）卸载，,B1,将沿平行于OA的直线路径回到B2点，,B2,产生塑性应变 p。,该阶段称为屈服阶段（塑性流动阶段），取阶段中最小值s 为特征值，称为初始屈服极限。,因 s 、e 、p 相差不大，工程上三者通用，塑性分析中一般采用s。,（3）强化阶段与后继屈服极限,（或初始屈服点、屈服极限、屈服点）,过B点，BC段应力和应变同时增加，称为强化阶段，段内任一点的斜率E1称为强化模量。,在段内任一点（如D点）卸载，,D,将沿平行于OA的直线路径回到E点，,E,产生塑性应变 p；,再从E点加载，将沿ED直线路径，,到D点后再次屈服。,D点对应的应力值s称

3、为后继屈服极限。,可理解为二次加载的屈服极限，故又称加载应力或加载点。,显然，s s ，屈服极限升高，故称强化。但其升高的程度取决于塑性变形程度（即加载变形历史）。,D点的应变,A,B,D,E,（4）反向加载与鲍辛格效应,对于压缩试验，如果在屈服后无卸载，与拉伸性质相似。,对于无明显屈服阶段的材料（如合金钢），,如果在屈服后（如D点）卸载，并反向加载，,可取 p 0.2% 时的应力值作为初始屈服极限。,对于某些材料，反向屈服极限将有所降低。,（绝对值）,这种现象称为鲍辛格（Bauschinger）效应。,对于均匀材料，一般可忽略。,结论：, 在弹性阶段（ s），应力应变关系一一对应；初始屈服后

4、（ s） ，应力应变关系不再是一一对应关系，而与加载变形历史有关。, 对应关系：,弹性阶段,加载（ d 0）：, E,卸载（ d 0）：, E,屈服阶段,d 0 ;, s ;, d 0,强化阶段,加载（ d 0）：, ( ),卸载（ d 0）：, E, d 0,2. 静水压力试验,Bridgman的静水压力试验表明，对于大多数韧性金属材料及饱和土：,静水压力对材料屈服极限及其后续的力学行为影响甚微。,屈服后，材料的体积变形基本为弹性，服从胡克定律，且体积变形与塑性变形相比远小。,所以，在塑性分析中，可不用考虑球应力和球应变。,所以，在塑性分析中，可认为体积不可压缩（ ）。,（1）,（2）,二.

5、 简化力学模型,一般分为理想塑性和强化塑性，具体为：,1. 理想塑性模型,强化性质不明显，屈服阶段相对较长（如韧性钢），忽略强化阶段。,（1）理想弹塑性模型：考虑弹性,（2）理想刚塑性模型：不考虑弹性,2. 强化塑性模型,强化性质明显，分析中不能忽略。,（1）线性强化弹塑性模型：,（2）线性强化刚塑性模型：,（3）幂强化模型：,式中，0 n 1,当 n 0 时,若 A s，,刚塑性,当 n 1 时,若 A E，,理想弹性,当 0 n 1 时,介于其间,n 1,n 0,由,在原点斜率无穷大，不能描述初始加载。,三. 塑性分析内容概述,从单向拉压试验很容易了解单向应力状态的应力应变行为的规律，再利

6、用静力、几何和物理关系可以比较容易地进行弹塑性分析。,但对于复杂应力状态要了解应力应变行为的规律，再利用静力、几何和物理关系进行弹塑性分析将是很复杂和困难的。,因此参照单向应力状态的行为过程对复杂应力状态进行相应的研究。,1. 屈服条件,用以判断某点的应力状态是否进入塑性状态的准则。,对于单向应力状态只需判断其应力（仅一个分量）是否达到屈服应力s，但对于复杂应力状态（六个分量），其特征值为何？各分量的作用如何？,2. 加载条件,用以判断某点应力状态的变化过程是否是加载过程的准则。,仅判断出某点处于塑性状态不足以判断之后的应力应变关系应选用塑性关系或是弹性关系，需判断其过程是加载还是卸载。对于单

7、向应力状态仅需用 d or 0 判断之。,3. 强化条件,用以判断某点应力状态是否是再次屈服的准则。,对于单向应力状态，后继屈服极限 s 可由试验直接得出，对于复杂应力状态以建立初始屈服与后继屈服的关系来实现。,4. 塑性本构关系,塑性状态下的应力应变关系。,5. 塑性问题的求解方法,在弹性问题求解方法的基础上，基于塑性本构关系的非线性而产生的各种求解方法。,8-2 屈服条件,一. 屈服函数与应力空间,对于单向拉伸，其屈服条件显然是 s 。,1. 屈服函数的一般形式,为便于数学表达可改写为,称为屈服函数，其中 是应力状态（系变量随外荷载变化），k 是控制参数（系常量是材料的固有属性，在此 k

8、s ）。,对于复杂应力状态ij，物体上某点的屈服显然是由六个应力分量共同作用之结果。,其屈服函数仿上可写为,为六元函数，几何上为六维空间中的超曲面。,简化之,各向同性,屈服函数的一般形式,2. 主应力空间与屈服曲面,由物体上某点的应力状态的主方向 l1、l2、l3作为坐标轴方向，由主应力1、2、3 作为坐标刻度构成的空间称为该点的主应力空间。,主应力空间是一正交的三维空间，在其上建立的力学规律可以有直观的几何意义。,其他形式, 主应力空间中的任一点 P(1 , 2 , 3 ) ,P(1 , 2 , 3 ),代表某点的一个应力状态。, 主应力空间中的任一条曲线 ,代表某点的应力状态的变化途径（由

9、荷载变化所致），称为应力路径或应力历史。,P1(1 , 2 , 3 ),（1）主应力空间, 主应力空间中的任一曲面 ,代表某点的应力状态各量间的相互关系。,（2）屈服曲面,由屈服函数,在主应力空间形成的曲面（包围原点），称为屈服曲面。,屈服曲面是弹塑性状态的分界面。系材料固有属性形成，与荷载和物体某点的位置无关。, 当某点应力状态在主应力空间中的点位于屈服曲面之上：,即,某点处于屈服状态, 当某点应力状态在主应力空间中的点位于屈服曲面之内：,即,某点处于弹性状态, 因系初始屈服函数，应力状态在主应力空间中的点不可能位于屈服曲面之外，只可能在另一个屈服曲面（后继屈服曲面或加载曲面）之上。,3.

10、主应力空间的力学意义,（1）等倾线,在主应力空间中，过O点以,为方向余弦的直线,ON，称为等倾线。,等倾线线上任一点（如A 点）所代表的应力状态为,A,应力球张量,应力偏张量为零,故等倾线线上任一点代表一个应力球张量,（即静水压力状态）。,(m , m , m),（2） 平面,过O点以等倾线ON为法线作平面，称为 平面。,因 平面的方程为,N,所以 平面上任一点代表一应力偏张量。,（3） 应力状态的分解,主应力空间中任一点（应力状态） P 向 ON 和 平面分解,P,Q,R,因静水压力（球张量）与屈服无关，所以屈服函数仅与 P 点在 平面上的投影有关。,即一个应力状态是否屈服取决于该应力状态矢

11、量在 平面上的投影（偏张量）。,4. 屈服曲面的几何特征,由主应力空间和屈服曲面的力学意义,(s1,s2,s3),(m ,m ,m),(1 ,2 ,3),即等倾线上的球张量和 平面上的偏张量。,设 P 点是屈服曲面上的一点，,P 点向 平面的投影为 R 点，,则主应力空间中所有向 平面投影落在R点的各点P1、P2、，均应是屈服曲面上的点，,显然这些点均在直线 上，,所以屈服曲面是以平行于等倾线的直线为母线的柱面。,其导线（屈服曲面与 平面的交线）则称为屈服曲线。,为便于直观研究屈服曲线，采用斜视平面，,（1） 屈服曲线是包围原点的封闭曲线,原点：无应力状态；,开口：通过开口从原点引出的矢端可逃

12、逸至无穷远而不屈服。,不包围原点？,5. 屈服曲线的性质,即 方向视图。,由初始屈服条件的唯一性所致。,（3）屈服曲线在 平面上关于原点、三轴及其垂线对称。,由各向同性可证三轴对称；,由忽略鲍辛格效应可证三轴的垂线对称。,屈服曲线被六条对称轴平分。仅需确定30范围内的屈服曲线，便可确定完整屈服曲线。,（4）屈服曲线对坐标原点外凸。,由Drucker公设可证。,初始屈服曲线的性质可总结为封闭性、唯一性、对称性和外凸性。,（2）从原点引出的射线与屈服曲线必相交一次，且仅一次。,二. 常用屈服条件,1. Tresca屈服条件,1864 年法国工程师 Tresca 通过金属（铅）作了一系列挤压实验，结

13、果提出当最大剪应力达到一定数值时（k），材料进入塑性状态。,即,其中k由试验确定,（1）当主应力大小顺序已知时，如,则,屈服条件（函数）可写成,若由拉伸试验确定 k ：,若由纯剪试验确定 k ：,由两个试验结果都可得到 k，若要求两个 k 值相同，则必须：,对大多数金属,（2）当主应力大小顺序未知时，,在主应力空间中为平面并平行于由等倾线与 2 轴决定的平面；在 平面上为平行于2 轴的直线。,屈服条件（函数）可写成,如前各代表一对平行平面，所以屈服曲面在主应力空间中形成一正六棱柱。,屈服曲线则为一正六边形。,屈服曲面与坐标面的交线则为斜六边形。,注：三式等号不可能同时出现，只一个等号出现即屈服

14、。,屈服曲面与坐标面的交线,屈服曲面与 平面的交线,（平面问题的屈服曲线）,（空间问题的屈服曲线）,（3）Tresca屈服条件的特点, 表达式简单：适宜作屈服判断；, 曲面非正则：在数学上对下一步的强化分析造成困难；, 未考虑中间主应力的影响。,2. Mises屈服条件,1913年德国力学家Mises对Tresca屈服条件从数学上进行修正。,建议用一个圆柱面代替Tresca的正六棱柱面。,k 值由试验确定。,在平面上，以原点为圆心，以Tresca正六边形的边长为半径建立圆的方程，再转换到主应力空间中。得到,Mises屈服条件的各种物理解释：, 八面体切应力准则, 应力强度准则, 畸变能准则,

15、偏应力第二不变量准则,（Nadai 1933）,（Ilyushin 1934）,（Hencky 1924）,（Schmitd 1932）,若由拉伸试验确定k ：,若由纯剪试验确定k ：,若要求两个试验确定的 k 值相同，则必须：,这一更符合实际的结果Mises未曾料想！,3. 两个屈服条件的比较,当使用不同的试验来确定控制参数k时，两个屈服条件将产生较大的差异，通过屈服曲线进行比较。,由屈服条件的原始形式,对拉伸试验,设Mises圆的半径为,说明Mises圆为Tresca正六边形的外接圆。,设Tresca正六边形的边长为,在顶点两屈服条件重合；在边中点，,h,，Tresca屈服条件小15.5%

16、,偏于安全。,对纯剪试验,h,说明Mises圆为Tresca正六边形的内接圆。,在边中点两屈服条件重合；在顶点，,Tresca屈服条件大13.4%,例：薄壁圆管内径为 a , 厚度为 。受拉力P和扭矩M共同作用，材料 s 为单向拉伸屈服极限，试写Tresca和Mises屈服条件表达式。,解：,主应力,Tresca屈服条件,Mises屈服条件,4. 其他屈服条件,（1）莫尔-库伦（Mohr-Coulomb）屈服条件,Tresca 和 Mises 屈服条件未考虑静水压力对屈服的影响，在屈服函数中仅考虑 J2 的作用。在静水压力不太大的情况下，对金属和饱和土适用。,但如混凝土、岩土等材料，其屈服极限

17、或破坏应力将随静水压力的增大而变化（增大）。,因此应在屈服函数中增加静水压力 I1 的影响，且控制参数也相应增加。即,涉及此类屈服条件主要：,来源于库伦（1773年）关于土的剪切破坏准则，其控制参数为土的黏聚力和内摩擦角。,经莫尔等的研究发展成为土力学中的经典准则。但经大量试验表明，若在三向应力状态下，以拉伸和压缩屈服极限作为控制参数，该准则更适合拉压屈服极限差异较大的材料，如混凝土材料。,当,莫尔-库伦屈服条件屈服曲面为不等角的六棱锥，屈服曲线为等边不等角的六边形。,莫尔-库伦屈服条件可写成如下形式：,式中，,（内摩擦），,（黏聚力）。,拉压屈服极限（或破坏极限）为,当 0 时退化为Tres

18、ca 屈服条件。,对其他五种主应力大小顺序，可仿上写出。,（2）德鲁克-普拉格（Drucker-Prager）屈服条件,德鲁克-普拉格屈服条件是在Mises屈服条件基础上增加静水压力 I1 因子而得，适用于岩土类材料。,屈服条件可写为：,式中，,、c 分别为材料的内摩擦角和黏性系数。,屈服曲面为圆锥面，屈服曲线为圆，,当 0 时退化为Mises 屈服条件。,8-3 Drucker公设与加载条件,当一点的应力状态屈服后继续加载以及反复加载卸载，如何判断加载卸载（加载准则）及其应力应变关系（塑性本构关系）如何，均有赖于Drucker公设。,一. Drucker公设,1. 材料稳定性的概念,考察拉伸

19、曲线, 0,在某一应力点，给一个应力增量 0，, 0,若其在相应应变增量上,称材料是稳定的；,所作的功 0 （应乘二分之一 ），,若在相应应变增量上作的功 0 ，, 0,称材料是非稳定的；,2. 单向拉伸时的应力循环及其塑性功,研究在一个跨弹塑性状态的应力循环中，应力增量和附加应力所作的塑性功。,设从弹性阶段某一应力点 0开始，,现给一个应力增量d 至 d ，,产生塑性应变增量d p ；,然后缓慢卸载至 0，完成一个应力循环。,d p,缓慢加载至某个加载点 ；,考察应力增量 d 和附加应力 0 所作的塑性功：,3. Drucker公设,Drucker把上述结论直接推广到复杂应力状态：,“考虑某

20、应力循环，开始应力 ij0 在加载（屈服）面内，,然后到达ij ，刚好在加载（屈服）面上，,再继续在加载（屈服）面上加载到 ij dij ，,在这一阶段，将产生塑性应变 ijp。,最后将应力又卸回ij0。,若在整个应力循环过程中，附加应力 ij ij0 所作的净功不小于零，则这种材料就是稳定的。”,即,由,因BC段的dijp由dij产生,所以,当 时,当 时,称为德鲁克不等式,由德鲁克不等式可推出两个重要结论：,（1）塑性应变增量一定指向加载曲面外法线方向。,将应力空间和塑性应变增量空间重合，并以矢量形式表示各量。,作B点的切（超）平面及外法线 n，,因dij需产生塑性应变，则dij须指向加载

21、曲面的外侧，即 2。,设dij与n的夹角为 。,设 dij与 dijp 的夹角为 ，,由,由 dij的任意性， dijp 的必须与n重合，否则，可出现 。,所以 dijp 一定指向加载曲面的外法线方向。,（2）加载曲面一定处处外凸。,设ij ij0与dijp 的夹角为 ，,由,若内凹，,且二次通过加载曲面。,则可出现 ，,所以加载曲面一定处处外凸。,（屈服曲面是加载曲面之一）,即与加载面正交。,二. 加载、卸载准则,由Drucker公设， dijp 与加载面正交。,若将加载面的外法线方向用加载（屈服）函数 f (ij) 0 的梯度表示，则,式中，d 0为比例常数，用以记录加载历史。,由,d 0

22、,故应力状态在发生变化过程中（即dij 0）：,（1）若,产生dijp,加载,（2）若,不产生dijp,中性变载,（理想塑性不存在此情形）,（3）若,dij反向,卸载,例：薄设一点的应力状态为：,当其变为：,和,则,是加载还是卸载？,解：（1）Tresca条件,卸载；,加载；,卸载。,（2）Mises条件,卸载；,加载；,卸载。,8-4 塑性本构关系,在塑性变形阶段，应力与应变关系没有一一对应关系，应变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关，,但在某一给定状态下有一个应力增量，相应地必有唯一的应变增量。,因此，在一般塑性变形条件下，只能建立应力与应变增量之间的关系。,这种用增量形式表示的材料

23、的本构关系称为增量理论（或流动理论） 。只有在特定条件下，才能建立应力与应变之间的关系（称为全量理论）。,二. 增量理论,由,取,则,（Mises屈服函数）,dijp与sij成正比。,St.Venant-Levy之前在作假设的基础上亦得此结论。,由,Prandtl-Reuss方程,表明塑性应变增量依赖于该瞬时的应力偏量，而非应力增量。,现讨论参数 d ：,由,由应力强度定义,仿应变强度定义,塑性应变强度,则,d 是在屈服时引入的常数，仅当屈服时不为零，可通过屈服条件来求。,所以， Prandtl-Reuss方程又可写成,如果忽略弹性变形（刚塑性）， Prandtl-Reuss方程又可写成,称为

24、Levy-Mises方程,注意：以上各组方程仅五个独立，均应补充体积应力应变关系,说明：,（1）,方程,d已知,可求dijp的值,d未知,可求dijp的比值,（2）,若需,必须给出应力途径或变形途径,然后将途径分段逐步迭代（一般不可积）计算。,二. 全量理论,（1）,1. 问题提出,由增量理论，若想了解塑性状态下某一时刻应力应变间关系，必须了解应力和应变的历史，然后用增量理论方程沿路径积分才能得到全量间的关系，计算量很大。,（2）,一般塑性应变是与加载变形路径有关，而全量理论则企图直接建立用全量表示的本构关系，因此只有在某些特殊的加载变形历史条件下才有可能。简单加载便能实现这样的设想。,2. 简单加载,所谓简单加载是指某点应力状态各分量之间的比值在加载过程中保持不变。否则称为复杂加载。,亦即加载路径为（超）直线，以某