高中数学 2.3.3.5有关直线系问题教案 新人教A版必修

1、课题：2.3.3.5直线系问题学习目标1.直线系概念：一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。它的方程称直线系方程，直线系方程中除含变量x 、y以外，还有可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数。2.几种常见的直线系方程： （1）过已知点P（x0，y0）的直线系方程：yy0k（xx0）（k为参数）或x=x0(k不存在时）（2） 斜率为k的直线系方程ykxb（b是参数）()（3） 与已知直线AxByC0平行的直线系方程AxBy0（为参数） （4） 与已知直线AxByC0垂直的直线系方程BxAy0（为参数）（5） 过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的

2、交点的直线系方程：A1xB1yC1（A2xB2yC2）0（为参数）不含l2。确定平面上一条直线，需要两个独立且相容的几何条件，如果只给定一个条件，直线的位置不能完全确定。另一方面，如果只给定一个几何条件时，二元一次方程的两个独立的系数中，只有一个被确定，那个未被确定的系数是参数。利用直线系方程求直线，可以简化计算过程，欲求适合某两个几何条件的直线的方程，可先用其中一个条件写出直线系方程，再用另一个条件来确定参数值。用直线系方程求适合某一条件的直线时，应注意不能被该方程表示的直线(例如，过定点(x1，y1)的直线系方程，不能表示直线x-x1=0)，若它符合已知条件，应收入；过两直线交点的直线系方

3、程有两种形式。其中A1xB1yC1（A2xB2yC2）0 较简单些，但它不能包含直线l2：A2xB2yC20本身。而方程m(A1xB1yC1)n(A2xB2yC2)0，(m，n不同时为零的实数)，可以避免这个缺陷。例1：求与直线3x4y7=0垂直，且在x轴上的截距为-2 的直线。解法一：利用“垂直”写出直线系方程，再用“在x轴上截距为-2”这个条件确定参数。和直线3x+4y7=0垂直的直线系方程是4x3ym=0(其中m是参数)。直线方程是4x3y+8=0解法二：利用“在x轴上截距为-2”这个条件写出直线系，再用“垂直”这个条件确定参数。此直线过点(-2，0)用点斜式写出直线系y0=k(x2)，

4、即y=k(x2)，(斜率k是参数)。k1k=-1所以直线方程为例2：求和直线3x4y+2=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。解法一：先用“平行”这个条件写出直线系方程，再用“面积”这个条件确定参数。与直线3x+4y2=0平行的直线系方程是3x4y+m=0,令x=0,得y轴的载距 , 令y=0,得x轴的载距,因为直线与坐标轴围面的面积为24，所以|，所以m=所求直线l的方程为3x4y24=0解法二：先用“面积”这个条件写出直线系方程，再用“平行”这个条件确定参数。设所求直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则由画草图可知a、b同号，因为S= 所以ab=48, 又因为直

5、线=1与直线3x4y+2=0平行，所以所求直线为3x4y24=0 例3：已知两直线l1x20， l24x3y50及定点A(-1，2)求：直线l，它过l1、l2的交点且与点A的距离等于1。解法一：先利用“过l1、l2的交点”写出直线系方程，再根据“l与A点距离等于1”来确定参数。过l1、l2交点的直线系方程是(x2)(4x3y5)0，是参数。化为(1+4)x+3y(25)0得=0。代入方程，得x2=0。因为直线系方程中不包含l2，所以应检查l2是否也符合所求l的条件。l2也符合要求。答：所求直线l的方程是x+2=0和4x+3y+5=0解法二：l1、l2的交点为(2，1)，过这点的直线系方程为y1

6、=k(x2)，斜率k是参数。即kxy(2k1)0，再根据方程的直线与点A(-1，-2)的距离为1，来确定参数k。得所求直线l的方程为4x3y5=0。因为直线系方程不包括与y轴平行的直线，所以应检查过点(2，1)且与y轴平行的直线x=2是否符合所求直线l的条件。点A(-1，-2)到直线x=-2的距离为1，所以直线x=-2即x+2=0也符合l的要求，应该补上，答：所求直线l的方程是x2=0和4x3y5=0例4：在ABC中，AB边所在直线方程为4xy12=0，高BH所在直线方程为5x-4y15=0，高AH所在直线方程为2x+2y-9=0。求：第三条高CH所在直线方程与AC边所在直线方程。解：(1)H

7、为垂心，CH过BH与AH的交点，且与AB垂直，过BH与AH交点的直线系方程为(5x-4y-15)+(2x+2y-9)=0，即(52)x(-42)y(-159)0 与AB垂直，(即CHAB)，代入，得CH所在直线方程是3x-12y-10(2)直线AC是过AB与AH的交点且与BH垂直的直线，可设AC方程是过AB与AH交点的直线系方程(4x+y-12)+(2x2y9)=0，即(42)x+(1+2)y(-12-9)=0，ACBH，5(42)(-4)(12)0，得=-8。代入得直线AC的方程是4x+5y-200。例5：已知2a-3b1(a，bR)，求证：直线axby-5=0必过一个定点，并求出此定点。代

8、入axby-50，得(x-10)b(3x2y)=0b是实数，方程可看作过两相交直线交点的直线系方程，这两条直线分别是l1x100，l23x+2y0，这两条直线的交点坐标为P(10，-15)。P点坐标代入直线axby-50的左边得a10b(-15)-5=5(2a-3b)-5=51-50(注意2a-3b1是已知条件)，直线axby5=0过定点P(10，15)。例6：已知直线l12x-3y-10，l2：3xy-2=0，l3：7x-7y-2009=0；求过l1、l2交点且与l3垂直的直线方程。分析：过两直线l1，l2的交点的直线系方程为l1l20(R)，根据已知条件，用待定系数法求出即可。解：设为待定系数，则所求直线系方程是(2x-3y-1)+(3xy-2)=0，整理为(23)x(-3-)y(-1-2)=0方程与直线l3垂直，其系数关系为7(23)-7(-3-)=0=-5/4 式代入，所求直线为7x7y6=0。例7：长度为1的线段AB(B在A的右边)在x轴上移动，点P(0，