10-2振动自由度.ppt

1、振动：通过中心位置做往复运动,强迫振动：在振动过程中，还不断受到外部 干扰力作用。,10.2 弹性体系的振动自由度,几 个概念,自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动， 而在以后的振动过程中不再受外部 干扰力作用。,一、 自由度的定义 确定弹性体系振动过程中任一时刻全部质量的位置所需独立几何参数数目。 应注意：自由度数和质量点个数有关，但没有确定关系。,二、实际结构自由度的简化方法 1) 集中质量法确定计算简图 将实际结构的质量集中为几个质点（质点无大小、几何点，但有质量），除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。,思考题,几何分析自由度与动力计算自由度区别？,

2、弹性体系的振动自由度,多自由度体系,弹性体系的振动自由度,三. 自由度的确定-定义法,W=2,W=2,弹性支座不减少动力自由度,为减少动力自由度，梁与刚架不 计轴向变形。,W=1,5),W=2,自由度数与质点个数无关，但 不大于质点个数的2倍。,W=2,W=1,三. 自由度的确定-附加支杆法,自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。,结构较复杂时，采用附加链杆法来确定，将刚结点、固定端及质点处均视为铰结点，在质点处加链杆，使所有质点不能运动而增设的最少的链杆数目即为原体系的动力自由度。（可用几何组成规则判定）,W=3

3、,对具有集中质点的结构，自由度的数目并不完 全取决于质点的数目，（即：质点数目越多，自 由度数也应多，但没有对应关系,主要决定位移)。 自由度与结构是静定或超静定的无关 。 自由度数目与计算精度有关。如果考虑质点转 动，自由度增加。,小结,弹性体系的振动自由度,对集中质量而言，自由度并不难理解，但如果错误判断了自由度个数，象超静定问题基本未知量个数一样，由于它的错误，后面再算是无意义的。因此，必须熟练地掌握自由度的确定。,一、运动微分方程定义,为了研究结构质量的运动规律，以质点的动力位移作为基本未知量，列出描述动力位移的数学方程，称为结构的运动方程。,结构振动运动方程的建立,达朗伯（dAlem

4、bert)原理 质点在运动的任一瞬时，作用在质点上的 力（包括荷载、约束力和惯性力）相平衡。 即：,基本方法,内涵：将动力学问题转化为静力学问题动静法,将惯性力假想地加在振动体系的质点上，在运动的每一瞬时，作用于体系上的所有力构成平衡力系，利用列静力平衡方程的方法建立运动方程。,结构振动运动方程的建立,说 明,惯性力不是真正作用在质点上的力，因而体系不处于平衡状态,动静法只是在形式上把动力问题转化为静力问题来处理，简化了列运动方程的方法，它没有也不可能把动力问题真正转化为静力问题。,引起自由振动的原因：受到初始时刻的干扰：,10.3单自由度体系的自由振动,如图所示，若拉离平衡位置，突然放松，即

5、为初始位移y0引起的自由振动；若对质点施加瞬时冲击作用，在极短时间内使其获得一定的初速度，当它来不及发生显著位移时，外力又突然消失，即为初速度引起的自由振动。,一、运动微分方程的建立,（一）动力平衡方程法（刚度法）,如右图所示悬臂立柱顶部一重物质量为m ,设柱本身质量远小于重物，可以忽略不计，但有弯曲刚度，属于单自由度体系。,单自由度体系的自由振动,建立运动方程时考虑质点所受的力有：,（1）弹性恢复力,k为刚度系数，使质量沿其运动方向产生单位位移时，弹簧（结构）所产生的弹性恢复力。,（2）惯性力,方向与加速度方向相反,与位移方向相同。,方向与位移指向相反。,刚度法：以运动质量或整个体系为研究对

6、象， 使用刚度系数，从力系平衡角度建立自由振动微分方程的方法。有时（如超静定结构）可以设置附加链杆，按静力学中位移法的步骤列动平衡方程。,为柔度系数，即单位力在质点运动方向所产生的位移。,（2）惯性力,方向与加速度方向相反,与位移方向相同。,思路：质量m在运动过程中任一时刻的位移等于在当时惯性力 和荷载作用 下的振动方向上的静力位移。,m,柔度法：以结构整体为研究对象，在任一时刻，利用柔度系数，求出将作用在结构上的力（惯性力、动荷载等）作为静力荷载所产生的位移，与 质点的位移相协调。,（二）位移方程法（柔度法）,思考,柔度系数,柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引

7、起的位移； 3.令该位移等于体系位移。,运动微分方程的建立,柔度法,柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性；2求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。,三、列运动方程例题-柔度法,例1.,例2.,刚度法,刚度法的三种形式： 切开切取质点为隔离体。 整体考虑结构整体平衡。 添加添加附加约束。,运动微分方程的建立,方法一：取质点为隔离体，列动力平衡方程,刚度法,刚度法的三种形式： 切开切取质点为隔离体。 整体考虑结构整体平衡。 添加添加附加约束。,运动微分方程的建立,方法二：以整体为研究对象，发生位移y所需施加之力等于全部外力（包括 惯性力和阻尼力。,运动微分方程的建立刚度法,方

8、法三：添加附加约束。其概念与位移法相似，仅在外力中须引入惯性力， 同时所有反力均假设为正。考虑到在真正的动平衡位置上体系必然 恢复自然的运动状态，因而附加约束反力R应等于零。,（a)仅由y引起的支反力,（b)由外力引起的支反力,在柱顶设置附加链杆，以y作为基本 未知量，用位移法列动平衡方程,三、列运动方程例题-刚度法,例3.,建立运动微分方程小结：,1）判断动力自由度数目，标出质量未知位移正向。 2）沿所设位移正向加惯性力、阻尼力和弹性恢复力，注意三者计算中与位移的方向。 3）根据柔度系数及刚度系数求解的方便，确定建立方程的方法。对于单自由度体系，两者难易相同，互为倒数；对于多自由度体系，若是

9、静定结构，一般情况下柔度系数易求，而对于超静定结构，就要根据情况具体判断。 4）刚度方程几种写法的选择： （a）当结构作用于质点的反力即弹性恢复力易求时，宜以质点为脱离体建立方程（方法一）；否则以结构为对象列方程（方法二）。 （b） 当以上方法有困难时，选择方法三列方程。,列运动方程时可不考虑重力影响,思考题,-P(t)引起的动位移,-重力引起的位移,质点的总位移为,加速度为,重力对建立运动方程是否有影响？,单自由度体系无阻尼自由振动的运动微分方程：,它是二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为：,常数C1，C2由初始条件确定,设 t=0,质点位移方程：,（一）单自由度体系自由振动微分方程的解,单

10、自由度体系的自由振动,可知，单自由度体系自由振动是复合简谐振动，由两部分组成：一部分是由初始位移 y引起，按余弦规律振动；另一部分是初始速度 v 引起，按正弦规律振动。,令,可得：,表示合成运动仍为简谐运动，其中A和为：,振幅,初相位,y,t,（二）自振周期与频率,由运动方程可知自由振动是简谐周期运动,周期,自振频率,1）结构的周期、频率只与结构自身的质量、刚度（柔度）系数有关，与外 因无关，是结构自身的固有的特性，称为固有周期、固有频率；,2）结构的频率与质量的平方根成反比，与结构刚度系数的平方根成正比；,3）结构的固有周期和频率是结构动力性能的重要标志，与外因无关。,例1 计算结构的频率和

11、周期（EI为常数）,1）结构的周期、频率只与结构自身的质量、刚度（柔度）系数有关，与外 因无关，是结构自身的固有的特性，称为固有周期、固有频率；,2）结构的频率与质量的平方根成反比，与结构刚度系数的平方根成正比；,3）结构的固有周期和频率是结构动力性能的重要标志，与外因无关。,例1 计算结构的频率和周期（EI为常数）,二.振动分析,单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动.,自振周期,自振园频率(自振频率),例2 计算结构的频率和周期,（三）质点的振动规律,质点的位移、速度、加速度和惯性力分别为：,例： 求图示梁频率,此梁为一个自由度体系，振动达到幅值时，两质点的振幅为 A1 A2,惯性力幅

12、值为,由平衡方程,即,设单自由度体系在质点上作用简谐荷载为：,振动微分方程：,10.4单自由度体系的受迫振动,体系在振动过程中有动力荷载P(t) 干扰作用时，其振动称为受迫（或强迫）振动。,由质点的平衡可得：,一、运动微分方程,（一）质点的位移方程,齐次解：,特解：,将特解及其二阶导数代入振动微分方程中可确定：,频比，扰力频率与自振频率比,质点位移方程为齐次解和特解之和：,设零初始条件，即,最后,质点的位移方程,由上式可以看出，振动是由两部分合成的；式右第一项是按荷载频率的振动。第二项是按自振频率的振动。后一部分是由荷载作用引起的称为伴生自由振动。实际上由于存在阻尼，伴生自由振动在短时间内即行

13、消失，最后剩下的仅按荷载频率变化的振动，称为纯强迫振动。在振动开始两种振动共存阶段，称作过渡阶段，以后的纯强迫振动称为平稳阶段或稳态强迫震动。,（二）稳态强迫振动的动力反应,质点的位移方程：,振动频率和荷载频率相同，二者完全同步,振幅,动力系数：最大动力位移与相应静力位移的比值，是衡量动力反应大小的重要指标,当 0时, 1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理 当01，并且随的增大而增大 当 =1时, = 。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振” 当 1时, 为负值，质点的位移和扰力的指向相反,的绝对值随的增大而减小，,（三）计算步骤,（1）自振频率 （2）干扰频率 （3）动力

14、系数 （4）动位移幅值 1）求最大“静”位移 2）求动位移幅值 （5）最大位移,（三）计算步骤,（6）最大内力,方法一：动力系数法,仅当P(t）直接作用在质点上时，将 作为静力作用在体系上， 按静力法计算。(见a图）,求最大内力的两种方法,方法二：幅值法,由达朗伯原理，把位移达到最大值时，所有力的幅值加上去。 1）当 为正时，F沿质点位移方向一致施加 (见b图） 2）当 为负时，F沿质点位移方向反向施加(见c图）,求最大内力的两种方法,方法一：动力系数法,（1）单自由度体系 （2）受简谐荷载作用 （3）荷载位于质点上,体系满足上述的条件时，两种方法得出相同的结果,讨论,1）当 为正时，F与质点

15、位移方向一致,2）当 为负时，F与质点位移方向相反,由此可见，当采用动力系数法求结构的最大动力反应时，无论 正负，均可用乘以动力系数的扰力幅值代替扰力幅值F与惯性力幅值 作用，用静力方法计算。,例1 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知:,解.,振幅,动弯矩幅值,跨中最大弯矩,跨中最大位移,例2：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 ，求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。,解：1)求,2)求,3)求 ymax， Mmax,动荷载不作用于质点时的计算,令,仍是位移动力系数,运动方程,稳态解,振幅,解:,例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图

16、.已知,动弯矩幅值图,解:,例:求图示体系右端的质点振幅,o,列幅值方程求解,小结,情况1：干扰力直接作用在质点上,情况2：干扰力不作用在质点上,例1： 图示简支梁跨中有一集中质量m，支座A处受动力矩Msint 作用，求质点的动位移和A的动转角的幅值。,解：体系的动力荷载Msint 不是作用在质点，因而不能直接利用 求动位移，可由建立体系的振动方程来求解。,2）质点的动位移是惯性力 I (t) 和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理表示为,将柔度系数代入上式，并整理得,式中：,自振频率,等效荷载幅值,运用图乘法可得：,由质点位移方程可得，受迫振动的稳态解为：,3) 支座A 处的动转角也是由惯性

17、力I (t)和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理表示为：,将y(t)求二阶导数代入上式，可得：,将柔度系数和 代入可得：,质点的动位移幅值为,其中,为动荷载,幅值M所引起的质点静位移yjp, 为动力系数。,上例表明，动荷载不作用在质量上时，质点的位移的动力系数和支座处动转角的动力系数是不同的，即体系不能用统一的动力系数表示,一.阻尼与阻尼力,阻尼:使振动衰减的作用.,阻尼产生原因:,材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等.,c-阻尼系数,阻尼力：,在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。,粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。,二.计阻尼自由振动,1.

18、运动方程及其解,令,运动方程,设,特征方程,10.5阻尼对振动的影响,根为,令,方程的通解为,由初始条件,不振动,-临界阻尼系数,-阻尼比,不振动,小阻尼情况,临界阻尼情况,超阻尼情况,2.振动分析,周期延长,计算频率和周期可不计阻尼,振动是衰减的,对数衰减率,利用此式,通过实验可确定 体系的阻尼比.上式也可写成,例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 力16.4kN,将绳突然切断,开始作 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅 降为1cm.求,1.阻尼比 2.刚度系数 3.无阻尼周期 4.重量 5.阻尼系数,6.若质量增加800kg体系 的周期和阻尼比为多少,解:,1.阻尼比,2.刚度系数,3.无阻尼周期,4.重量,5.阻尼系数,6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比 为多少,由质点的平衡可得：,或：,单自由度体系有阻尼强迫振动微分方程,二、阻尼对受迫振动的影响,振动微分方程：,齐次解：,特解：,全解：,上式右第一大项是按自振频率r的振动，由于存在阻尼，这部分很快消失。余下的第二大项是按