高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 2 一般形式的柯西不等式学案 新人教A版选修

1、二一般形式的柯西不等式1掌握三维形式和多维形式的柯西不等式(重点)2会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题(重点、难点)基础初探教材整理1三维形式的柯西不等式阅读教材P37P38“探究”以上部分，完成下列问题设a1，a2，a3，b1，b2，b3R，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.当且仅当b1b2b30或存在一个数k，使得aikbi(i1,2,3)时，等号成立我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式已知x，y，zR且xyz1，则x2y2z2的最小值是()A1B.C.D2【解析】根据柯西不等式，x2y2z2(121212)(x2y2z2)(1x1y1z)2(xyz)2.【答案】

2、B教材整理2一般形式的柯西不等式阅读教材P38P40，完成下列问题设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值是()A1 B2C3D.4【解析】(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111，当且仅当1时取等号，a1x1a2x2anxn的最大值是1.【答案】A质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

3、小组合作型利用柯西不等式求最值已知a，b，c(0，)，2，求a2b3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值【精彩点拨】由于2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解【自主解答】a，b，c(0，)，(a2b3c)()2()2()2(123)236.又2，a2b3c18，当且仅当abc3时等号成立，综上，当abc3时，a2b3c取得最小值18.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件再练一题1已知x4y9z1，求x2y2z2的最小值【解】由柯西不等式，知(x4y9z)2(124292)(x2y2z2)98(x2y2z2)又x4

4、y9z1，x2y2z2，(*)当且仅当x时，等号成立，x，y，z时，(*)取等号因此，x2y2z2的最小值为.运用柯西不等式求参数的取值范围已知正数x，y，z满足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范围【精彩点拨】“恒成立”问题需求的最大值，设法应用柯西不等式求最值【自主解答】x0，y0，z0.且xyzxyz.1.又，当且仅当xyz，即xyz时等号成立的最大值为.故恒成立时，应有.因此的取值范围是.应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理再练一题2已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，试求a的取值范围. 【导学号：】【解

5、】由abcd3，得bcd3a，由a22b23c26d25，得2b23c26d25a2，(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2.由条件可得，5a2(3a)2，解得1a2，所以实数a的取值范围是1,2探究共研型利用柯西不等式证明不等式探究在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为aikbi(i1,2,3，n)，可以吗？【提示】不可以若bi0而ai0，则k不存在已知a，b，cR，求证：9.【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，a1，a2，a3，b1，b2，b3，而a1b1a2b2a3b31，因而得证【自主解答】a，b，cR，由柯西不等式，知(111)29，9.1当ai

6、，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1a2an)(b1b2bn)()2.2本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组再练一题3已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.【解】(1)因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明：由(1)知1.又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)9.构建体系一般形式的柯西

7、不等式1设a(2,1,2)，|b|6，则ab的最小值为()A18B6C18D.12【解析】|ab|a|b|，|ab|18.18ab18，当a，b反向时，ab最小，最小值为18.【答案】C2若aaa1，bbb4，则a1b1a2b2anbn的取值范围是()A(，2) B2,2C(，2D.1,1【解析】(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，(a1b1a2b2anbn)24，|a1b1a2b2anbn|2，即2a1b1a2b2anbn2，当且仅当aibi(i1,2，n)时，右边等号成立；当且仅当aibi(i1,2，n)时，左边等号成立，故选B.【答案】B3(2014陕西高考)设a，b，m

8、，nR，且a2b25，manb5，则 的最小值为_【解析】根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值为.【答案】4设a，b，c为正数，则(abc)的最小值为_. 【导学号：】【解析】由a，b，c为正数，(abc)()2()2()22121，当且仅当k(k0)时等号成立故(abc)的最小值是121.【答案】1215已知实数x，y，z满足x2yz1，求tx24y2z2的最小值【解】由柯西不等式得(x24y2z2)(111)(x2yz)2.x2yz1，3(x24y2z2)1，即x24y2z2.当且仅当x2yz，即x，y，z时等号成立故x24y2z

9、2的最小值为.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评（十）(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1设a，b，cR，且abc1，则的最大值是()A1B.C3D.9【解析】由柯西不等式得()2()2()2(121212)()2，()2313，当且仅当abc时等号成立的最大值为.故选B.【答案】B2设a，b，c是正实数，且abc9，则的最小值为() 【导学号：】A4 B3C6D.2【解析】(abc)()2()2()2218.2.【答案】D3设a1，a2，an为实数，P，Q，则P与Q的大小关系为()APQ BPQCPQD.不确定【解析】由柯西不等式知a1a2a

10、n，a1a2an，即得，PQ.【答案】B4若实数xyz1，则F2x2y23z2的最小值为()A1B6 C11D.【解析】(2x2y23z2)xy1z(xyz)21，2x2y23z2，即F，当且仅当2xy3z时，取等号【答案】D5已知x，y，z均大于0，且xyz1，则的最小值为()A24B30C36D48【解析】(xyz)236，36.【答案】C二、填空题6已知a，b，cR，且2a2bc8，则(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是_【解析】由柯西不等式得：(441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32，9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8，(a1

11、)2(b2)2(c3)2，(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是.【答案】7已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_【解析】a2b3c6，1a12b13c6.(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2，即a24b29c212.当且仅当，即a2，b1，c时取等号【答案】128设x，y，zR，若(x1)2(y2)2z24，则3xy2z的取值范围是_又3xy2z取最小值时，x的值为_【解析】(x1)2(y2)2z232(1)2(2)2(3x3y22z)2,414(3xy2z5)2，23xy2z52，即523xy2z52.若3xy2z52，又t，3(3t1)(t2)2

12、(2t)52，t，x1.【答案】52，521三、解答题9已知正数x，y，z满足xyz1.(1)求证：；(2)求4x4y4z2的最小值【解】(1)证明：(y2zz2xx2y)1，即31，.(2)由基本不等式，得4x4y4z23，因为xyz1，所以xyz21zz22，故4x4y4z233，当且仅当xy，z时等号成立，所以4x4y4z2的最小值为3.10已知f(x)ax2bxc的所有系数均为正数，且abc1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1x21时，必有f(x1)f(x2)1.【证明】由于f(x)ax2bxc，且a，b，c大于0，f(x1)f(x2)(axbx1c)(axbx2c)(x1x2c)2(ax1x2bc)2f()2f(1)2.又f(1)abc，且abc1，f(x1)f(x2)1.能力提升1若2ab0，则a的最小值为()A1 B3C8D.12【解析】2ab0，2ab0，a33.当且仅当2abb，即ab2时等号成立，当ab2时，a有最小值3.【答案】B2设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则()A. B.C. D.【解析】由柯西不等式得，(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400，当且仅当时取等号，因此有.【答案】C3已知a，b，cR，且abc6，则的最大