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1、1,理论力学总结,2,矢量的绝对导数与相对导数,：动系的角速度,对于标量函数:,对于矢量函数:,3,绕相交轴转动的合成,刚体的角速度:,刚体的角加速度:,刚体的角加速度:,动系为一般运动时点的加速度合成,速度合成：,重合点的加速度,加速度合成：,刚体一般运动的运动微分方程,投影到定系：,投影到动系：,投影到动系：,其中 为动系的角速度。,刚体动力学,动力学普遍定理,动静法,平移刚体惯性力,平移刚体(等同质点),刚体动力学,动力学普遍定理,动静法,平面运动刚体惯性力,平面运动刚体运动方程,条件：刚体有质量对称面，且其平行于运动平面,刚体动力学,动力学普遍定理,动静法,定轴转动刚体惯性力,刚体定轴

2、转动微分方程,刚体动力学,一般运动刚体惯性力,刚体运动微分方程,10,第10章要求,定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一轴经过一次转动来实现。 定点运动刚体有限位移的顺序不可交换. 定点运动刚体无限小位移的顺序可交换. 定点运动刚体的角位移不能用矢量表示，但无穷小角位移可以用矢量表示。 定点运动刚体的角速度角加速度可以用矢量表示。 了解欧拉运动学方程. 了解欧拉动力学方程. 自转进动章动概念.,定性理论,11,定点运动刚体上点的速度和加速度公式应用; 能计算定点运动刚体的动量矩; 能计算定点运动刚体的动能; 能计算陀螺力矩; 能求解与例10-1和例10-2相同题型的问题。 对高速

3、自转的陀螺，其对定点的动量矩近似为,定量方面,第10章要求,12,陀螺近似理论,陀 螺： 满足条件 的定点运动刚体。,一、陀螺规则进动的条件,问题性质：已知运动, 求力 。,即: , 方向沿节线.,陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 力,精确结果,13,即: , 方向沿节线.,陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 力,二、莱沙尔(Henri Resal)定理,在定系中:,定理: 刚体对固定点 o 的动量矩 的端点的速度，等于作用于该刚体的所有外力对同一点的主矩.,精确结果,14,三、陀螺近似理论,如果:,则:,如果：,则也有：,15,四、陀螺近似理论的莱沙尔解释,相对于定系:,则当刚体作规则进动

4、时， 的矢端划出一圆。,16,当刚体作规则进动时， 的矢端划出一圆。,由莱沙尔定理:,与精确解比较:,17,例：如图所示，已知质量为m的定点运动陀螺做规则进动( 0为常量)，其质心C到球铰链O的距离为L，该陀螺对质量对称轴z的转动惯量为 J，且以 绕 z 轴高速旋转，z 轴与 轴的夹角为 . 求：陀螺的进动角速度 、铰链 O 的约束力在铅垂方向的分量 和水平方向的分量 F 的大小。 要求：画出受力图、加速度图；给出解题基本理论和基本步骤。,解: 1. 取陀螺研究;,2. 受力分析:,3. 由动量矩定理:,4. 由动量定理(质心运动定理):,18,例：质量为 m 半径为 R 的均质薄圆盘以匀角速

5、度 绕水平轴 AB 转动，AB 轴通过光滑球铰 A 与铅垂轴 z 相连接，如图示。若 AB 轴的长度为 d=3R 且不计其质量，圆盘作规则进动，求水平轴 AB 绕铅垂轴 z 的进动角速度大小 以及球铰链 A 水平方向的约束力的大小 . =_； =_。,陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 力,精确结果,当：,19,例：确定一个正方体在空间的位置需要_个独立的参数。,A：3；,B：4；,C：5；,D：6 .,例：在光滑水平面上运动的刚性球的自由度是_。,A：3；,B：4；,C：5；,D：6 .,20,例：如图所示，定点运动的圆锥在水平固定圆盘上纯滚动。若圆锥底面中心点 D 作匀速圆周运动，则该圆锥

6、的角速度矢量 与角加速度矢量 的关系是_ 。,A：平行于；,B： 垂直于；,C：为零矢量；,D：为非零矢量。,A：平行于AC；,B： 垂直于AC且平行于AB；,C：垂直于ABC三点确定的平面；,D：不能确定。,例：如图所示，定点运动的圆锥在水平固定圆盘上纯滚动。若圆锥底面中心点 D 作匀速圆周运动，AC 为圆锥与圆盘接触的母线。在图示瞬时， C 点的加速度矢量 的方向_ 。,22,例：如图所示，具有固定点 A 的圆锥在固定的圆盘上纯滚动，圆锥的顶角为90，母线长为 L，已知圆锥底面中心点 D 作匀速圆周运动，其速度为 v，方向垂直平面 ABC 向外。求圆锥的角速度 、角加速度 和圆锥底面上最高

7、点 B 的加速度 的大小。 =_ ， =_， =_。,：自转角速度,：进动角速度,24,例：若定点运动刚体角速度矢量 的大小为非零常量，其方向始终变化，则该刚体的角加速度矢量 可能是_。,D： 为非零常矢量。,A：；,B： ；,C：；,例：图示薄圆盘半径为 R，求M点的速度 、转动加速度 和向轴加速度 的大小。,例：图示薄圆盘半径为 R，求M点的速度 、转动加速度 和向轴加速度 的大小。,27,例：正棱长为 L 的正方体形绕 O 点作定点运动，已知在图示瞬时该刚体的角速度 与角加速度 ，求该瞬时正方体上顶点 A 的转动加速度的大小 和向轴加速度的大小 . =_； =_,28,例：正方形刚体绕

8、O 点作定点运动，已知在图示瞬时其上 A、B两点的速度方向，如图所示，则此时该刚体角速度矢量 平行于_。,A： A、B 两点连线；,B： 平行于 Oz 轴；,C： 平行于 Oy 轴；,D： 平行于 Ox 轴。,29,A： 只能确定其角速度矢量所在平面；,B： 能求角速度的大小和方向；,C： 能求角加速度的大小和方向；,D： 能求刚体对定点的动量矩大小和方向。,例：已知质量为 m 棱长为 L 的正方形刚体绕 O 点作定点运动，已知在图示瞬时其顶点 A、B两点速度矢量满足关系式 (垂直于 OAB 平面)方向，且 . 根据已知条件，能求刚体的哪些物理量？,30,A： 一定能够；,B： 一定不能够；,

9、C： 不一定能够。,例：若刚体绕 O 点作定点转动，已知某瞬时其上 A、B 两点的速度分别为 和 ，且大小均不为零。若 O、A、B 三点均不重合，则_该刚体的角速度。,原因：若 O、A、B 三点共线。,31,例：不论刚体作什么运动，刚体上任意两点的速度在两点连线上的投影_。,A：一定相等；,B：一定不相等；,C：不一定相等。,例：如图所示，圆盘以匀角速度 绕 CD 轴转动，框架以匀角速度 绕铅垂轴转动。则该定点运动圆盘 角速度的大小 =_(方向画在图上)， 角加速度的大小 =_(方向画在图上)。,32,33,例：如图所示，半径为 R 的圆盘以匀角速度 绕框架上的CD 轴转动，框架以匀角速度 绕

10、铅垂轴 AB 转动。求： 圆盘在图示位置的最高点速度的大小 v，该点的向轴加速度的大小 和转动加速度的大小 。 v =_; =_； =_。,34,例：如图所示，圆盘相对正方形框架 ABCD 以匀角速度 绕 BC 轴转动，正方形框架以匀角速度 绕 AB 轴转动。求该圆盘的绝对角速度 的大小和绝对角加速度 的大小。 =_； =_。,35,例：如图所示，圆盘相对正方形框架 ABCD 以匀角速度每分钟绕 BC 轴转动 2 周，正方形框架以匀角速度每分钟绕 AB 轴转动 2 周。求该圆盘的动能及对 B 点的动量矩。,36,例：匀角速度定轴转动刚体在运动过程中，其_等物理量一定为常量。,A： 相对质心的动

11、量矩；,B： 动能；,C： 动量；,D： 对转轴的动量矩。,原因：动量和动量矩是矢量。,37,例：如图所示，定点运动陀螺做规则进动(即该陀螺的自转角速度 和进动角速度 的大小不变，且对称轴 z 与铅垂轴 的夹角 不变)，则该陀螺在运动过程中，其_保持不变。,A： 相对 O 点的动量矩；,B： 动能；,C： 动量；,D： 相对 轴的动量矩。,38,例：质心在转轴上的定轴转动刚体，当其角速度不为零时，该刚体对质心的动量矩矢量_。,A： 一定平行于转轴；,B： 一定不平行于转轴；,C： 不一定平行于转轴。,39,例：如图所示，圆柱固连在水平轴 上，并以匀角速度 绕该轴转动，同时框架以匀角速度 绕铅垂

12、轴 CO 转动。其中：x,y,z 是圆柱上关于 点的三个相互垂直的惯量主轴，且圆柱对这三根轴的转动惯量分别为 . 则该瞬时圆柱对 点的动量矩：,40,例：如图所示，正方形框架以匀角速度 绕水平轴 AB 转动，质量为 m 半径为 R 的均质圆盘 M 以匀角速度 绕正方形框架上的CD 轴转动。且 ，CD 轴到轴承 A、B 的距离皆为 l . 若正方形框架和轴 AB 的质量不计，求框架运动到铅垂平面内时，圆盘产生的陀螺力矩的大小 ；以及作用在轴承上的约束力的大小 =_； =_。,题10-14：,题10-17：,与例10-2类似。,题10-18：求维持图示运动所需的 x = ?,动量矩：,由动量矩定理

13、：,43,第9、11章要求,能够利用拉格朗日方程(含第一类)列写系统的动力学方程； 能计算广义力； 能给出拉格朗日方程的首次积分，并能利用初始条件计算积分常数； 能计算单自由度系统微振动的固有频率，了解共振概念； 能根据初条件计算振动的振幅与初相位； 了解两类拉格朗日方程的应用场合。,6.质量为 m 的质点可在半径为 R 的圆环内运动，圆环以常角速度 绕 AB 轴作定轴转动，如图所示。 为质点的广义坐标，此时质点的动能可表示成 ，其中 (i=0,1,2) 为广义速度的 i 次齐函数。求：,例：质量为m半径为R的均质圆盘在水平地面上纯滚动，长为L质量为m的均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接，系统在铅

14、垂平面内运动，系统的广义坐标如图所示。不计空气阻力和摩擦。求：,用系统的广义坐标和广义速度给出系统的动能 T 和势能 V (杆在铅垂位置时为势能零点)； 若初始时，杆位于铅垂位置。=0，圆盘中心A点的速度为u，杆的角速度为零。试给出系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分常数。,要求：给出解题的基本理论和基本步骤。,例：滑块与均质圆盘用杆 AB 铰接在铅垂平面内运动，系统的广义坐标如图所示，其中 AB 杆长为 l，圆盘半径为 R，各物件质量均为 m . 不计所有摩擦。求：,用系统的广义坐标和广义速度给出系统的动能 T 和势能 V ( 杆在铅垂位置时为势能零点)； 若初始时，杆位于铅垂位置 ，滑块的

15、速度为u，方向水平向右；圆盘的角速度为 ，转向逆时针。试给出系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分常数。,例：AB 杆长 l，圆盘半径 R，各物件质量均为m. 不计所有摩擦。,给出系统的动能 T 和势能 V (杆铅垂时势能取零)；,若初始时，杆位于铅垂位置。=0，滑块的速度为u，方向水平向右；圆盘的角速度为。，转向逆时针。试给出系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分常数。,有首次积分:,确定积分常数:,初始 , 滑块速度 u 向右；圆盘角速度 逆时针。,例：系统在铅垂平面内运动。系统的广义坐标如图所示，其中AB杆长 l，圆盘半径 R，各物件质量均为 m . 不计所有摩擦。求：,用系统的广义坐标和广

16、义速度给出系统的动能 T 和势能 V (杆在铅垂位置时为势能零点)； 若初始时，杆位于铅垂位置 ，滑块的速度为u，方向水平向右；两圆盘的角速度均为 ，转向逆时针。试给出系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分常数。,53,解: (1) 以整体为研究对象；,(2) 受力分析和运动分析,(3) 利用动力学普遍方程:,例: 系质量为 m 长为 L 的均质杆 OA 和质量为 m 长为 2L 的均质杆 AB 用光滑柱铰连接并悬挂于 O 点，AB 杆的 B 端放在光滑水平面上。若系统初始静止， OA 杆铅垂，在铰链 A 上作用一水平推力 P ，求初始时 AB 杆和 OA 杆的角加速度的大小 和 。,54,加惯

17、性力,取虚位移,(3) 利用动力学普遍方程:,例：在同一铅垂面内运动的两个相同的均质杆OA和AB用铰链O和A连接，如图所示。各杆长为l，由水平位置无初速释放，求释放的初瞬时两杆的角加速度。,解：(1) 对初始位置时的系统做受力分析，并加上惯性力，设初始瞬时两杆的角加速度均为顺钟向。,(2) 取两杆的转角 和 为广义坐标。,(3) 取虚位移,(3) 取虚位移,例：初始静止, 求两杆的角加速度。,例：拉格朗日方程的循环积分反映的是质点系的_。,A：某个广义动量守恒；,B：广义能量守恒。,例：二自由度线性振动系统的固有频率与系统的_ 有关。,A：广义质量；,B：广义刚度；,C：初始位置；,D：初始速度。,例：单自由度线性振动系统的振动周期与_有关。,A：广义质量；,B：广义刚度；,C：初始位置；,D：初始速度。,例：图示系统的等效弹簧刚度系数k*=_。,例：图示系统的固有频率 =_。,例：长为 l 质量为 m 的均质杆 O