高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例自主训练北师大版必修

1、2.7 向量应用举例自主广场我夯基 我达标1.过点A（2，3），且垂直于向量a=（2，1）的直线方程为（ ）A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0思路解析：利用轨迹法求直线方程.设所求直线上任一点P（x,y）的坐标，则a，又=(x-2,y-3)，2(x-2)+(y-3)=0，即所求的直线方程为2x+y-7=0.答案：A2.(全国高考卷，理8)已知点A（，1），B（0，0）,C（，0）.设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC=,其中等于（ ）A.2 B. C.-3 D.思路解析：方法一：在ABC中，AC=1,BC=,AB=2.=2，BE=2

2、EC.|=3|.|=3.又与方向相反，0.=-3.方法二：设E(x,0)，则=(,1)，=(x-,-1), =(0,1).AE平分BAC，BAE=BAC.又cos,=,cos,=,=.，解得x=.E(,0).=(,0), =(-,0).=-3.=-3.答案：C3.在ABC中，C=90，=(k,1),=(2,3),则k的值是（ ）A.5 B.-5 C. D.思路解析：由题意，得=-=(2,3)-(k,1)=(2-k,2)，C=90，.=0.2(2-k)+32=0.k=5.答案：A4.一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则（ ）A.|v1|v2| B.|v1|v2

3、| C.|v1|v2| D.|v1|v2|思路解析：速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量v1在水流方向上的分量与向量v2大小相等，方向相反，由此即得|v1|v2|.答案：B5.(福建高考卷，理11)已知|=1,|=,=0，点C在AOC内，且AOC=30.设=m+n(m,nR)，则等于（ ）A. B.3 C. D.思路解析：由已知，不妨设=（1，0），=（0，），=（x0，y0）.AOC=30,y0=x0.=(x0,x0).=m+n.(x0,x0)=(m,).x0=m,x0=.=3.答案：B6.(四川高考卷，理7)如图2-7-8所示,已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大

4、的是（ ）图2-7-8A. B. C. D.思路解析：设边长|=a，则P2P1P3=.|=a, =aa=，P2P1P4=,| |=2a, =a2a=a2, =0,0,数量积中最大的是.答案：A7.(2006东北三校二模，14)已知向量a=(6,2)，b=(-4, )，直线l过点A(3,-1)且与向量a+2b垂直，则直线l的方程为_.思路解析：由题意，得a+2b=(-2,3)，则直线l的方程为(-2)(x-3)+3(y+1)=0，即2x-3y-9=0.答案：2x-3y-9=0我综合 我发展8.(2005上海春季高考卷，5)在ABC中，若C=90，AC=BC=4，则=_.思路解析：由于AC=BC，

5、C=90，则ABC是直角三角形,|=，=45.所以=|cos,=4cos45=16.答案：169.已知三个力F1=（3，4），F2=（2，-5），F3=（x，y）的合力F1+F2+F3=0.求F3的坐标.思路分析：把力看成向量，将F1+F2+F3=0变为坐标的形式就可以得到结论.解：由题设F1+F2+F3=0，得（3，4）+（2，-5）+（x，y）=（0，0），即F3=（-5，1）.10,用向量法证明三角形的三条高线交于一点.思路分析：用向量证明几何问题时，往往要先选择向量基底.我们假设两条高BE、CF交于点H，再证明AH与BC垂直即证明可说明结论成立证明：已知：如图2-7-9所示.AD、BE

6、、CF是ABC的三条高，求证：AD、BE、CF交于一点.图2-7-9证法一：设两条高BE、CF交于点H,设=a，=b,则-a，-b，=b-a.，=0，=0.（-a）b=0，（-b）a=0.（-a）b=（-b）a.化简得（b-a）=0，即=0.AHBC,即AD、BE、CF交于一点.证法二：如图2-7-10所示，以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系，设B(c,0),C(m,n),H(m,y).图2-7-10则有=(m-c,y),=(m,n), =(m-c,n)，=(m,y),=(c,0).，m(m-c)+ny=0.解得y=.AH=(m,).AHBC=m(m-c)+n=m(m-c)+m

7、c-m2=0.AHBC.故AD、BE、CF交于一点.11.如图2-7-11,有两条相交成60的直线xx1、yy1,交点为O.甲、乙分别在Ox、Oy1上,起初甲位于离O点3 km的A处,乙位于离O点1 km的B处.后来两个人同时用每小时4 km的速度,甲沿xx1的方向,乙沿yy1的方向运动.问：(1)起初两个人的距离是多少?(2)什么时候两人的距离最近?图2-7-11思路分析：把距离转化为向量的长度，以甲、乙两人t时刻的位置和O三点形成三角形,通过对三角形有关量的求解便可实现解题的目的.解：(1)起初两人分别在A、B两点,则|=3,|=1.|2=(+)2=2+2+2=|2+|2-2|cos60=9+1-231=7.|=km,即起初两人相距千米.(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，=-，|2=(-)2=|2-2+|OP|2=|2+|2-2|cos,.当0t时，|=1-4t,|=3-4t,=60,|2=(3-4t)2+(1-4t)2-2(3-4t)(1-4t)cos60=48t2-24t+7.当t时，|=|4t-1,| |=3-4t,=120，|2=(4t-1)2+(3-4t)2-2(4t-1)(3-4t)cos120=48t2-24t+7.当t时，|=4t-1,| |=4t-3,=60,|2=(4t-1)2+(4t