高中数学 第三章 不等式本章整合学案 新人教B版必修

1、第三章 不等式本章整合知识网络专题探究专题一用函数的图象解不等式函数是中学数学中的重点内容之一，它贯穿于中学数学教学的始终，而利用函数的图象能直观、准确、迅速地分析研究函数的性质或解决与函数有关的问题，因此，函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及函数图象形象显示了函数的性质，为研究数量关系提供了形的直观性，它是探求解题路径、获得问题结果的重要工具，在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，有时需要画出图象，利用数形结合能起到十分快捷的效果【应用1】 已知函数f(x)若方程f(x)k无实根，则实数k的取值范围是()A(，0)B(，1) C D提示：所给的函数f(x)是分段函数，

2、而方程f(x)k无实数根，可利用数形结合法转化为函数图象无交点解析：在同一坐标系内作出yf(x)与yk的图象，如图，当x时，f(x)lg所以若两函数图象无交点，则klg答案：C【应用2】 已知a，b，c依次是方程2xx0，log2x2x和x的实数根，则a，b，c的大小关系是_提示：构造常见的初等函数利用函数的图象可解决问题解析：由2xx0，得2xx，设函数y12x，y2x，分别作出它们的图象，如图1，两图象交点的横坐标即为a，可得a0，同理，对于方程log2x2x，可得图2，得1b2；对于方程x，可得图3，得0c1，所以acb答案：acb专题二不等式的解法常见的不等式有一元一次不等式，一元二次

3、不等式，简单的高次不等式，分式不等式，含有指数、对数的不等式，其解法为：(1)解一元二次不等式，画出其对应的二次函数图象，来确定解集(2)解高次不等式常用穿根法(3)分式不等式利用不等式的性质将其转化为整式不等式(组)求解(4)解含有指数、对数的不等式利用指数与对数函数的单调性，将指数、对数不等式转化成与之等价的不等式(组)求解【应用1】 求解下列不等式：(1)x22x30；(3)1；(4)log(2x23x)1提示：(1)注意解一元二次不等式的几个步骤(2)穿根法求解(3)转化为整式不等式，注意分母不为0(4)对数不等式，真数大于0解：(1)x22x30又方程x22x30的两根为x11，x2

4、3，不等式的解集为x|x3或x0的解集为x|x1或3x2(4) (2x23x)1，又00提示：二次项系数为a，需对a的正负进行讨论；还要对根的大小进行讨论，两者要同时进行解：(1)当a0时，原不等式化为(x2)(2)0即x20，x2(2)当a0时，原不等式可化为(x2)，解得x0时，原不等式可化为(x2)0，此时两根分别为2，当a1时，2，解得x2当a1时，2，解得x2或x当0a1时，2或x2综上所述，不等式的解集为当a0时，x|x2；当a1时，x|x2；当a1时，；当0a1时，专题三利用均值不等式求最值的常用方法均值不等式是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题对于有些题目，可以直接利

5、用均值不等式求解但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解常见的变形手段为配凑法、整体代换法等下面介绍一些常用的变形方法1凑系数【应用1】 已知0x5，求yx(102x)的最大值提示：由0x0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值注意到2x(102x)10为定值，故只需将yx(102x)凑上一个系数即可解：yx(102x)2x(102x)2，当且仅当2x102x，即x时，等号成立所以当x时，yx(102x)的最大值为2凑项法【应用2】 已知x，求函数f(x)4x2的最大值提示：由题意知4x50，首先要调整符号，又(4x2)不是定值，故需

6、对4x2进行凑项才能得到定值解：x0f(x)4x2323231，当且仅当54x，即x1时等号成立，此时f(x)的最大值为13分离法【应用3】 求f(x)(x1)的值域提示：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x1)的项，再将其分离解：f(x)(x1)5，当x10，即x1时，f(x)259(当且仅当x1时等号成立)；当x10，即xp2x恒成立的x的取值范围提示：在不等式中出现了两个字母：x和p，关键在于该把哪个字母看成是变量本题可将p视作变量，则上述问题即可转化为在2，2内关于p的一次函数大于0恒成立的问题解：原不等式即(x1)px22x10，设f(p)(x1)px22x1，则f

7、(p)在2，2上恒大于0，故有：即解得x32二次函数型【应用2】 设f(x)x22ax2，当x1，)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围提示：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间1，)上恒大于0的问题，就可以利用函数的图象解决了解：设F(x)f(x)ax22ax2a(1)当4a24(2a)4(a1)(a2)0，即2a0的解集为R解：令y，函数f(x)的定义域为R，对任意实数xR，y0恒成立，即mx28xn0恒成立当m0时，不等式化为8xn，不可能恒成立；当m0时，必须有即由y，得(my)x28x(ny)0xR，824(my)(ny)0，即y2(mn)ymn160由题意知f(x)0，2，则y1，9即关于y的不等式的解集为1，9此时满足故所求m5，n5【应用2】 已知在ABC中，三边分别为a，b，c，m为正