树的遍历与生成树.ppt

1、第7章 树Tree,不包含简单回路的连通图称为树， 早在1857年英国数学家亚瑟凯莱就用树去计数某些类型的化合物。随后树已经被用来解决各种学科分支里的问题。,Chap 7 树,7.1 树的概念/Introduction of Trees 7.2 树的应用/Applications of Trees 7.3 树的遍历/Tree Traversal 7.4 生成树和最小生成树/ Spanning Trees and minimum Spanning Trees,有序根树常常用来保存信息，因此掌握访问有序根树的每个顶点以存取数据信息的算法非常必要 系统地访问有序根树每个顶点的过程都称为遍历算法 前序

2、遍历 Preorder traversal 中序遍历 Inorder traversal 后序遍历 Postorder traversal,7.3 树的遍历 Tree Traversal,定义1 设T是带根r的有序根树。若T只包含r，则r是T的前序遍历。否则T1，T2，Tn是T里在r处从左到右的子树。前序遍历首先访问r。接着以前序来遍历T1 ，然后以前序来遍历T2 ，依此类推，直到以前序遍历了Tn为止。,7.3 树的遍历 Tree Traversal,例1 前序遍历是以什么顺序访问图中有序根树里的顶点的？,7.3 树的遍历 Tree Traversal,a b e j k n o p f c

3、d g l m h i,定义2 设T是带根r的有序根树。若T只包含r，则r是T的中序遍历。否则T1，T2，Tn是T里在r处从左到右的子树。中序遍历首先以中序来遍历T1 ，然后访问r，接着以中序遍历T2 ，以中序遍历T3 ，依此类推，直到以中序遍历了Tn为止。,7.3 树的遍历 Tree Traversal,例2 中序遍历是以什么顺序访问图中有序根树里的顶点的？,7.3 树的遍历 Tree Traversal,j e n k o p b f a c l g m d h i,定义3 设T是带根r的有序根树。若T只包含r，则r是T的后序遍历。否则T1，T2，Tn是T里在r处从左到右的子树。后序遍历首

4、先以后序来遍历T1 ，以后序遍历T2 ，然后以后序遍历Tn，最后访问r 。,7.3 树的遍历 Tree Traversal,例3 后序遍历是以什么顺序访问图中有序根树里的顶点的？,7.3 树的遍历 Tree Traversal,j n o p k e f b c l m g h i d a,7.3 树的遍历 Tree Traversal,7.3 树的遍历 Tree Traversal,7.3 树的遍历 Tree Traversal,以前序、中序、后序来列出有序根树的顶点的简易方法： 首先从根开始围绕有序根树画一条曲线，沿着边移动；,7.3 树的遍历 Tree Traversal,前序：当曲线第

5、一次经过一个顶点时，就列出这个顶点,中序：当曲线第一次经过一个树叶时，就列出这个树叶，当曲线第二次经过一个内点时就列出这个内点,后序：当曲线最后一次经过一个顶点而返回这个顶点的父母时，就列出这个顶点,练习 ： 写出该有序根图按照前序、中序、后序遍历访问的顶点顺序,7.3 树的遍历 Tree Traversal,前序：abdefgc 中序：dbfegac 后序：dfgebca,中缀、前缀、后缀记法(Infix, prefix, postfix notation),7.3 树的遍历 Tree Traversal,可用有序树来表示复杂的表达式 包括算术表达式、复合命题、集合的组合等,表示算术表达式时

6、内点表示运算，树叶表示变量或数字，每个运算都作用在它的子树上,例4 表示表达式 (x+y)2)+(x-4)/3) 的 有序根树是什么？,中缀、前缀、后缀记法(Infix, prefix, postfix notation),7.3 树的遍历 Tree Traversal,对表示一个表达式的有序根树的中序遍历，产生原来的表达式,中缀、前缀、后缀记法 (Infix, prefix, postfix notation),7.3 树的遍历 Tree Traversal,对表示一个表达式的二叉树的中序遍历，产生原来的表达式 中序遍历得出的中缀表达式有二义性 为避免二义性，中序遍历时需加括号，这种表达式称

7、为中缀形式,(x+y)/(x+3),(x+(y/x)+3,x+(y/(x+3),中序遍历?,x+y/x+3,中缀、前缀、后缀记法 (Infix, prefix, postfix notation),7.3 树的遍历 Tree Traversal,当以前序来遍历表达式的二叉树时，就获得它的前缀形式，又称波兰记法 前缀记法下的表达式无二义性,前缀形式？,+xy2/-x43,已知前缀形式，如何获得对应的表达式呢？,从右向左地求对应的表达式 当遇到一个运算，就对在这个运算右边紧邻的两个运算对象执行相应的运算 每个运算结果是新的运算对象,例5 前缀表达式+ - *2 3 5 / 2 3 4的值是什么？,

8、7.3 树的遍历 Tree Traversal,中缀、前缀、后缀记法(Infix, prefix, postfix notation),7.3 树的遍历 Tree Traversal,当以后序来遍历表达式的二叉树时，就获得它的后缀形式，又称逆波兰记法 后缀记法下的表达式无二义性,后缀形式？,xy+2x4-3/+,已知后缀形式，如何获得对应的表达式呢？,从左向右地求对应的表达式 当两个运算对象后面接着一个运算时，就执行这个运算 每个运算结果是新的运算对象,例6 后缀表达式7 2 3 * - 4 9 3 / + 的值是什么？,7.3 树的遍历 Tree Traversal,7.3 树的遍历Tree

9、 Traversal,例：求复合命题 的有序根树，然后基于这个根树求这个表达式的前缀、中缀、后缀形式。,中缀形式： 前缀形式： 后缀形式：,三种记法特点总结,中缀记法的顺序与原表达式相同，但容易产生二义性，故需要加括号； 前缀与后缀记法虽然与原表达式顺序不相同，但因无二义性，且不需要来回扫描，所以被广泛用于计算机的编译系统；,作业,P333 ： 针对4题的图写出前序遍历、中序遍历和后序遍历的顶点顺序。 8,11(a),Chap 7 树,7.1 树的概念/Introduction of Trees 7.2 树的应用/Applications of Trees 7.3 树的遍历/Tree Trav

10、ersal 7.4 生成树和最小生成树/ Spanning Trees and minimum Spanning Trees,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,缅因州的道路系统图,高速公路部门怎么扫尽可能少的雪，使得州内任两个乡镇都有干净的道路？,确保任两个乡镇都有通路，且不能有多余的边。,求一个包含该图所有顶点的树（5条边）,定义1生成树：无向简单图G=(V, E) 的生成子图T是树，则称T为G的生成树/spanning tree。 T=(V, E), EE,例1 找出下面简单图的生成树。,7.4 生成树和最小生成

11、树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,证明：必要性：T是生成子图，包含G的所有顶点，T是树，T连通，则G连通。 充分性：若G是连通的, 1) 若G无回路，则G本身是树，即生成树。 2) 若存在回路，去掉回路中任一边，不影响连通性，也不减少顶点. 所有回路都移去一条边，剩下的子图包含所有顶点，又是无回路的连通图，即为生成树。,注：移去边时可随意，故生成树不唯一。,定理1 无向简单图G=(V, E)存在生成树的充要条件是G是连通的。,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,为了

12、从源计算机发送数据到多个接收计算机（一个子网），可以分别发送数据到每个计算机单点广播 但单点广播是无效的，因为网络上存有发送的相同数据的多个副本,生成树的应用IP组播,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,路由 子网 带接收站的子网,有效的方法IP组播 源计算机在网络上发送数据的单一副本，当数据到达中间路由器时，就把数据分发到一个或更多的其他路由器，以便接收计算机都可在它们不同的子网里最终接收到数据,生成树的应用IP组播,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning

13、Trees,路由 子网 带接收站的子网,为了让数据尽可能快地到达接收计算机，在数据穿过网络的通路里不应当存在环路 以组播源、路由器和包含接收计算机的子网作为顶点，以边表示计算机和/或路由器之间的连接，构造IP网络的生成树,生成树的应用IP组播,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,路由 子网 带接收站的子网,思路：首先按照深度优先搜索获得简单图的一个根树，根树对应的无向图即简单图的生成树 DFS： 任选图中一个顶点作为根，通过相继添加边来形成从这个顶点开始的通路，其中每条新边都与通路上的最后一个顶点以及还不在通路上的一个

14、顶点关联。 尽可能地添加边到这条通路，如该通路经了所有顶点，即为生成树，否则退到该通路的倒数第二个顶点，若有可能，则形成从这个顶点上开始的经过还没有访问过的顶点的通路。若不行，则后退到通路的另外一个顶点，再试；直到经过了所有顶点,生成树的建立方法深度优先搜索depth-first search,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,生成树的建立方法深度优先搜索depth-first search,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,例2 用深度优

15、先搜索找出下图的生成树,生成树的建立方法深度优先搜索depth-first search,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,O(e)或O(n2),思路：首先按照宽度优先搜索获得简单图的一个根树，根树对应的无向图即简单图的生成树 BFS： 任选图中一个顶点作为根，然后添加与这个顶点关联的所有边，添加的顶点成为生成树在1层的顶点（任意排序） 按顺序访问1层上的每个顶点：只要不产生回路，就将与这个顶点相关联的每条边添加到树，产生2层的顶点 遵循相同的过程，直到已经添加了所有顶点 因为BFS的结果无回路，且是包含所有顶点的连

16、通图，故是图的生成树,生成树的建立方法宽度优先搜索breadth-first search,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,例3 用宽度优先搜索找出下图的生成树,生成树的建立方法宽度优先搜索breadth-first search,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,O(e)或O(n2),生成树的建立方法宽度优先搜索breadth

17、-first search,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,问题：一个公司建立一个通信网络来连接它的五个计算机中心，可以租用电话线连接这些中心的任何一对，应当建立哪些连接，以便保证任两个计算机中心都有通路，且网络成本最小？,首先要尽可能少的边，只要保证任两个顶点连通,其次边上的权值之和尽可能的小（最小）,顶点：计算机中心 边：可能租用的电话线 边上的权：月租费,求图的生成树,求最小生成树,定义 最小生成树：设连通加权图G=(V, E, W)，T=(V, E)是G的生成树，称w(T) = 为T的权，使权w(T)达到最

18、小值的G的生成树称的G的最小生成树。,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,定义2 最小生成树：连通加权图里的最小生成树是具有最小可能的边的权之和的生成树。,最小生成树的求解算法 普林算法 和 克鲁斯卡尔算法 都是基于贪心思想：添加还没使用的、具有规定性质的、权最小的边进行,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,普林算法 Prims algorithm： 首先选择带最小权的边，把它放进生成树里 相继地向树里添加与已在树里的顶点关联的、并且不与已在树

19、里的边形成简单回路的权最小的边 当已经添加了n-1条边时就停止。,procedure Prim ( G : 带n个顶点的连通无向图) T := 权最小的边 for i:= 1 to n-2 begin e := 与T里顶点关联、且若添加到T里则不形成简单回路的权最小的边 T := 添加e之后的T end T 是G的最小生成树,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,例4 用普林算法求下图的最小生成树,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,例5 用普林算法求下图的最小生成树,7.4 生成树和最小生成树 Spanning Trees and minimum Spanning Trees,克鲁斯卡尔算法 Kruskals algorithm： 添加图中权最小的一条边到生成树 相继添加不与已经选择的边形成简单回路的权最小的边 在已经挑选了n-1条边之后停止,procedure Kruskal(G : 带n个