第十五章 狭义相对论基础.ppt

1、第六篇 近代物理基础,第十五章 狭义相对论基础,第十六章 量子物理,4 德布罗意波,一. 德布罗意假设,光具有二象性: 波动性(,), 粒子性(E, p),实物粒子呢?,德布罗意假设(1924年):,(1) 一个质量为m的实物粒子具有波动性.其波称为物质波.物质波的波长和频率与粒子的能量和动量满足如下关系:,(2)一个沿x轴正向运动, 能量为E, 动量为的自由粒子对应沿x轴正向传播的单色平面波.,波函数为:,对自由运动粒子:,德布罗意波,原子的量子理论,当v c时,而:,所以,例1.电子经电势差为U的电场加速,在v c下, 求此电子的德布罗意波长.,解: 已知,德布罗意波,例1.电子经电势差为

2、U的电场加速,在v c下, 求此电子的德布罗意波长.,如U=200V,则,德布罗意波,如U=200V,则,例2. 试由德布罗意波导出玻尔理论中角动量量子化条件.,解: 一根两端固定而定长的弦上形成稳定驻波的条件为:,l = n/2,若此弦线首尾相连构成一个圆, 则: l = 2 r = n,从波粒二象性看, 原子中核外电子绕核运动有相应的波动图象.,当电子在圆周上形成驻波时，,德布罗意波,满足： 2r = n , n=1,2,3, ,德布罗意波,所以：,角动量量子化,* 物质波的传播速度,由波的频率、波长和波速的关系知： = u,对物质波：,德布罗意波,显然，这里 u c, 且 uv. u 是

3、什么呢?,这里u 表示单色平面物质波的相速度.,实际的自由粒子并非严格的单色平面波,而是由波长接近的波包组成,波包的移动速度称为群速度.群速与相速是不同的概念.,可证明:物质波包的群速度恰好等于粒子的运动速度,它不会超过光速.,相速不是物质运动的速度,数值上是可以超光速的.,德布罗意波,二. 德布罗意波的实验证明,物质波应有干涉、衍射等波的特性, 应由实验来证明.,1. 戴维孙-革末电子衍射实验,电子被镍晶体散射,德布罗意波,实验原理:,电子枪K D 之间有加速电压U,电子束透过D打在镍晶M上,它在晶面被散射进入探测器B.,G检测电子束(电流)的强度.,二. 德布罗意波的实验证明,实验发现:,

4、加速电压U=54V,散射角=50时,探测器B中的电流有极值.,德布罗意波,理论解释,晶体晶面为点阵结构,物质波散射和X射线的衍射完全类似,它也满足布拉格公式.,两反射的电子束, 其相干加强条件,由三角公式得: d sin = k,正是X射线的布拉格公式.,德布罗意波,利用德布罗意公式 = h/mv,得,理论解释,即:,德布罗意波,代 d =0.215nm, U=54V,得 =51,与实验结果相符.,德布罗意波,2、G.P.汤姆孙电子衍射实验,1927年汤姆孙观察了电子束透过多晶薄片的衍射现象.,德布罗意波,1961年,C.约恩孙让电子束通过单缝、多缝的衍射图样.,例3. 试计算温度为25时慢中

5、子的德布罗意波长.,解: 慢中子指处于热平衡下的中子按能均分定理, 慢中子的平均平动动能为:,德布罗意波,代入数据:,中子的质量为,中子的动量,= 4.5410-24kgms-1,m =1.6710-27kg ,德布罗意波,德布罗意波长,与X射线同数量级, 因此穿过晶片可产生衍射图样.,三. 德布罗意波的统计解释,1. 微观粒子的粒子性,作为粒子具有“整体性”，即不可分性.不是经典粒子,没有“轨道”概念.,德布罗意波,2. 微观粒子的波动性,具有“弥散性”“可叠加性” “干涉”“衍射”“偏振”，具有频率和波长，不是经典的波 不代表实在的物理量的波动。,3. 德布罗意的统计解释,因此玻恩认为:

6、在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻近出现的概率成正比.,在电子衍射实验中,电子总是作为整体出现的,它出现的概率与空间波的强度成正比.,德布罗意波,4. 电子双缝衍射实验分析,(1)只开一缝,屏上电子累积成单缝衍射图样波动性.,(2) 在屏上信号接收器,每次只能接收一个完整的电子粒子性.,(3) 打开双缝,屏上呈双缝干涉图样电子的波动性.,德布罗意波,(4) 是否电子与电子之间发生干涉?,让电子发射枪每次只发射一个电子,也出现干涉图样.,结论: 一个电子也能干涉, 说明电子本身是波. 概率波的干涉.,(5) 一个电子如何通过双缝?,要知道电子如何通过双缝,必须观察, 则必然使干涉图样消失.对

7、微观粒子运动状态的有效测量,必将在可观测的意义上使粒子原来的运动产生不可逆的改变.,4. 电子双缝衍射实验分析,德布罗意波,电子的传播行为更像波, 电子与物质相互作用更像粒子.微观粒子不是经典意义上的粒子, 也不是经典意义上的波.,5 不确定关系,一. 力学量的不确定度,微观粒子在某位置总是以概率的方式出现.,即粒子具有位置的不确定性.一维下,不确定度为x,任何实际的粒子不是严格的平面单色波(确定的动量),不确定关系,即其波长有一定范围, 则动量P也有一定的范围p.,当然在某些特定情况下, 有些力学量有确定的值.,二. 不确定关系,1927年,海森伯发现了不确定关系.,一维:,三维:,不确定关

8、系,不确定关系表明:,对于微观粒子,不能同时用确定的位置和确定的动量来描述.,海森伯理想实验,电子单缝衍射实验:电子通过狭缝,在Ox方向坐标不确定范围：x = b,由于衍射,电子主要落在中央条纹区域, 有x方向动量.,0pxpsin,即：px= psin,不确定关系,由单缝衍射条件(取一级极小),b sin = ,则 px= psin,利用,有: b px = h,不确定关系,或者: x px = h,考虑高阶衍射,有 x px h,得出不确定关系.,三.对不确定关系的认识,1.不确定关系是微观粒子波粒子二象性及其统计关系的必然结果.并非仪器对粒子的干扰,也不是仪器精度的缘故,而是粒子的固有属

9、性.,不确定关系,2.对不确定关系的两种理解,一种认为:对单个粒子进行测量时,不可能同时准确测量其位置和动量.因此也称为测不准关系.,另一种认为:测不关系并非对单个粒子测量的结果,而是大量粒子遵守的统计规律. 不存在对单个粒子“测量坐标愈准确,则同时测量动量愈不准确”的说法.,量子测量问题是量子力学中最基础,最前沿的问题.,三.对不确定关系的认识,不确定关系,四. 微观粒子和经典粒子的比较,1.微观粒子的运动原则上无“轨道”可言;,2.微观粒子是不可能静止的;,3.如果粒子的尺寸和动量远大于各自的不确定量,R x, p p,微观粒子的位置和动量近似认为确定.看成经典粒子.,不确定关系,若已知粒

10、子运动范围为L, 而,也可用L代替 R x 作为判断依据.,五.能量与时间的不确定性关系,E为原子能级的自然宽度, t为该能级的平均寿命.,不确定关系,例1.试比较电子和质量为10g的子弹位置的不确定量范围. (设它们的速率为200m/s,动量的不确定范围为0.01%),解: 由 x p = h,对电子,p = (0.01%)p =(0.01%)mv,=110-49.110-31200 =1.810-32kgms-1,不确定关系,对子弹,p =110-40.01200 =2.010-4kgms-1,由于子弹的大小为R =10-2m，Rx 子弹可作经典粒子处理.,不确定关系,例题2.电子在电视显

11、象管中运动时如何处理?,设电子运动速率v=105m/s, 速率的不确定范围v=10m/s,解 已知,p = mv mv = p,而,电子运动范围(显象管尺寸) L0.1m,不确定关系,可见 p p , L x,或 p p , L ,电子可作经典粒子处理.,或如此电子在原子中呢?,电子运动范围(原子的大小) L10-10m，不满足L x ,此时电子只能作微观粒子处理.,例题2.电子在电视显象管中运动时如何处理?,不确定关系,设电子的动能 Ek =10 eV，电子运动速度,速度的不确定度,v v 轨道概念不适用!,例3. 原子中电子运动不存在“轨道”,不确定关系,6氢原子的玻尔理论,一. 氢原子光

12、谱的规律性,1885年,瑞士数学家巴耳末发现氢原子的可见光谱线,可归纳为如下公式：,上式叫巴耳末公式. 这个谱线称为巴耳末系.,n时,H=364.56nm为巴耳末系的极限波长.,氢的巴耳末谱线,里德伯把它改为:,=1/为波数, R为里德伯常量. R = 1.097 373 153 4107m1,氢原子的玻尔理论,氢原子光谱,氢原子光谱除了可见光外,还有红外线和紫外线的谱线.,紫外线部分:,莱曼系(1916年),红外线部分:,帕邢系(1908年),氢原子的玻尔理论,布拉开系(1922年),普丰德系(1924年),以上各谱线系可统一写为:,给定nj (=1,2,3, ),ni取:nj+1,nj+2

13、, ,氢光谱有规律的分立谱线,揭示了原子内部的某种结构.,氢原子光谱,氢原子的玻尔理论,二. 卢瑟福的原子有核模型,1897年J.J汤姆孙发现了电子,原子结构的研究真正开始.,1. 汤姆孙原子结构模型,他假定,原子中的正电荷和原子质量均匀地分布在半径为1010m的球体范围内,而原子中的电子则浸于此球体中,葡萄干蛋糕模型.,氢原子的玻尔理论,2. 粒子散射实验,粒子入射在金箔F上，被散射后打在荧光屏P上，显微镜T观测粒子数.,实验结果:,绝大多数粒子穿透金箔后沿原方向运动,但有八千分之一的粒子的散射角大于90.甚至有散射角接近180的.,氢原子的玻尔理论,汤姆孙模型不能解释偏转角90的情况.,原

14、子的中心有一带正电的原子核，它几乎集中了原子的全部质量，电子围绕这个核旋转,核的尺寸与整个原子相比是很小的。,3.卢瑟福的原子有核模型(1911年 ),原子有核模型能解释大角度散射.,离核较远的粒子,不改变方向离核越近,偏转角越大. 有的甚至偏转180,氢原子的玻尔理论,4. 经典理论的困难,原子有核模型又称原子行星模型。最简单的氢原子模型如图:,原子核外有一个电子,电量-e,核的电荷+e,质量为电子的1837倍.,氢原子的玻尔理论,4. 经典理论的困难,电子以速度v绕核作半径为r的圆运动。原子的线度为10-10m,核的线度为10-14m。,按经典理论氢原子结构是不稳定的，电子作圆运动为加速运

15、动，则要不断地向外辐射能量,能量减少，,氢原子的玻尔理论,绕核旋转频率减小，光谱应为连续；且原子的运动半径减小，最后电子落在原子上。,三. 氢原子的玻尔理论,1. 玻尔的三条假设:,(1)电子在原子中可以在一些特定的圆轨道上运动而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态，并具有一定的能量。,氢原子的玻尔理论,(2)电子以速度在半径为的圆周上绕核运动时，只有电子的角动量L等于h/2的整数倍的那些轨道才是稳定的，即,n=1,2,3, (主量子数),h为普朗克常量。上式为量子化条件.,三. 氢原子的玻尔理论,(3)当原子从高能量的定态跃迁到低能量的定态，亦即电子从高能量Ei的轨道跃迁到低能量Ef 的轨道上

16、时， 要发射频率为的光子，且,氢原子的玻尔理论,2. 玻尔轨道半径,玻尔利用上述假设，结合经典力学和电磁学，解决了氢原子问题.,由库仑定律和牛顿定律:,h = EiEf,频率条件,氢原子的玻尔理论,由第二条假设:,把(2)代入(1)有:,其中,2. 玻尔轨道半径,h = EiEf,氢原子的玻尔理论,为第一玻尔轨道，玻尔半径,电子轨道半径的可能值为: r1, 4r1, 9r1, 16r1, ,3. 氢原子的定态能量,电子绕核运动速率可变为:,叫精细结构常数.,氢原子的玻尔理论,氢原子的能量:,由(1)式:,其中:,氢原子能量是不连续的.,氢原子的玻尔理论,E1称为氢原子基态.也是氢的电离能. E

17、2, E3, 为激发态.,4. 玻尔理论对氢光谱的解释,电子从高能级Ei跃迁到低能级Ef时,氢原子的玻尔理论,正好等于R，理论与实验相符.,4. 玻尔理论对氢光谱的解释,氢原子的玻尔理论,四. 氢原子玻尔的困难,玻尔理论圆满地解释了氢原子光谱的规律;从理论上算出了里德伯常量;并能对类氢离子光谱给予说明.但玻尔理论有局限性:,1.玻尔理论只能说明氢原子光谱,对其它原子并不适用;,2.对谱线宽度,发光强度没有解释;,3.对原子在强磁场中的行为,玻尔理论也没有解释;,4.本质上说, 玻尔理论在逻辑上不自洽.,氢原子的玻尔理论,经典 + 量子 =半量子 (旧量子),玻尔理论是:,经典:牛顿定律; 量子

18、:量子化假设;(人为的)即使如此,玻尔理论对量子论的发展还是起了先导作用.,1913年玻尔理论说明原子有定态能级.1914年弗兰克和赫兹用实验证实了原子中存在分立的能级.,氢原子的玻尔理论,8 量子力学简介,一. 波函数,物质波既然是波, 就要有波函数.,按德布罗意假设:自由粒子为平面单色波,且为复数形式.,已知平面机械波:,若改为复数形式:,对微观粒子,量子力学简介,波函数用 (x,t)表示,或表示为,0为复振幅.,三维:,8 量子力学简介,量子力学简介,波函数的物理意义,波函数(x,t)本身无物理解释. 但| |2= *有物理意义.,| |2为粒子出现在某点附近单位体积元中的概率密度.,故

19、:在空间某处波函数的二次方跟粒子在该处出现的概率成正比,. 波函数的统计意义.,波的振幅的平方正比于波的强度,而波的强度与粒子出现的概率成正比.,量子力学简介,波函数满足：单值、有限和连续,归一化条件:,在整个空间内粒子出现的概率为1.,波函数的物理意义,波函数(x,t)本身无物理解释. 但| |2= *有物理意义.,| |2为粒子出现在某点附近单位体积元中的概率密度.,故:在空间某处波函数的二次方跟粒子在该处出现的概率成正比,. 波函数的统计意义.,波的振幅的平方正比于波的强度,而波的强度与粒子出现的概率成正比.,二 .薛定谔方程,波函数应有运动微分方程.,以自由粒子(非相对论)为例, 建立

20、该方程(一维).,量子力学简介,已知波函数为,上式对x取二阶导数, 对t 取一阶导数.,利用动量与动能的关系 p2= 2mE, 及上两式得,二 .薛定谔方程,量子力学简介,自由粒子含时薛定谔方程,若非自由粒子, 则E = Ek+Ep , 而 Ek= p2/2m，所以,含时薛定谔方程,定态薛定谔方程,若微观粒子的势能Ep 仅是坐标的函数,而与时间无关.,量子力学简介,则波函数可写为 (x, t) = (x) (t),通过分离变量法可求得:,而 (x) 满足方程,或,定态薛定谔方程,量子力学简介,此时系统的能量E为常量.概率密度也不随时间变.,三维情况:引入拉普拉斯算符2,量子力学简介,一维势阱问

21、题,设质量为m 的粒子在如下势场中运动:,由薛定谔方程:,量子力学简介,阱外:,(x) = 0,(0 x a),阱内:,令,上式化为,量子力学简介,为简谐运动方程,通解为:,(x) = Asinkx + Bcoskx,由边界条件,x=0, (0)=0,B = 0.,故解化为： (x) = Asinkx,(0) = Asink0 + Bcosk0 =0,又由: x =a, (a) = 0,即： (a) = Asinka = 0,而A不能为零，只有 sinka = 0 ，得：,量子力学简介,能量量子化:,即:,可见能量量子化是自然结果.,求系数A，,由归一化条件：,所以,由边界条件,量子力学简介,

22、波函数即为,概率密度为,四. 对应原理,在某些极限下,量子规律可转化为经典规律对应原理.,考虑相邻两能级差：,E = En+1En,即:,量子力学简介,可见 E n ,随能级增加，能级差增大,当a,E, 能量量子化显著.,当 n 1时,当n时, E En ,可以认为能量连续经典情况.,所以,经典物理可以看成是量子物理在量子数n时的极限情况.,量子力学简介,五.一维方势垒 隧道效应,其势能分布为:,开始时,若粒子处于x0区域,且其能量E 0区域.,量子力学简介,但从量子力学, 在 x 0区域,波函数不为零,即粒子能穿过势垒遂道效应。,五.一维方势垒 隧道效应,其势能分布为:,开始时,若粒子处于x0区域,且其能量E 0区域.,量子力学简介,六.量子力学对氢原子的处理,1. 处理方法,(1) 假定原子核是静止的,氢原子的状态由核外电子的运动状态来决定;,(2) 用波函数描述处于原子势场中的电子;,(3) 写出波函数满足的薛定谔方程,在球坐标系中求解;,(4) 得出结果(波函数、能