概率论与数理统计-吴赣昌-理工类简明版.ppt

1、连续型随机变量及其概率密度,定义,负可积函数,数，,简称为概率密度或密度函数.,的性质，,由定义及分布函数,(1),(2),存在非,易见概率密度具有下列性质：,注：,上述性质有明显的几何意义.,连续型随机变量及其概率密度,(1),(2),易见概率密度具有下列性质：,注：,上述性质有明显的几何意义.,反之，,可证一个函数若满足上述性质，,则该函数,一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函,数.,完,连续型随机变量分布函数的性质,1.,对一个连续型随机变量,若已知其密度函数,则概据定义，,可求得其分布函数,同时，,2.,连续型随机变量,取任一指定值 的概率,连续型随机变量分布函数的性质,2.,连

2、续型随机变量,取任一指定值 的概率,故对连续型随机变量,有,为0.,3.,则,(1),连续型随机变量分布函数的性质,3.,则,(1),由定义和积分上限函数导数公式即得，,由(1)式得：,(2),可将上式理解为：,上的概率,连续型随机变量分布函数的性质,上的概率,较线密度的定义）.,由(2)式，,若不计高阶无穷小，则有,即，,完,例1,求其分布函数,解,当,当,解,当,当,当,故,完,例2,完,例2,(1),确定常数,解,由,得,解得,解,由,得,解得,其它,.,完,例2,设随机变量,具有概率密度,(2),求,的分布函数,解,的分布函数为,解,.,完,例2,设随机变量,具有概率密度,(3),求,

3、解,例2,设随机变量,具有概率密度,(3),求,解,或,完,例3,求,解,由连续型随机变量分布函数的性质,有,(1),(2),的密度函数为,例3,求,解,(2),的密度函数为,完,均匀分布,定义,其它,易见，,记为,注：,是相同的，,且与子区间的和度成正比.,事实上，,子区间,任取,均匀分布,是相同的，,且与子区间的和度成正比.,事实上，,子区间,任取,完,例4,某公共汽车站从上午 7 时起,每 15 分钟来一,班车,即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达,此站,如果乘客到达此站时间,是 7:00 到 7:30 之,间的均匀随机变量,试求他候车时间少于 5 分钟的,

4、概率.,解,以 7:00 为起点 0,以分为单位,依题意,解,以 7:00 为起点 0,以分为单位,依题意,乘客必须在 7:10 到,7:15 之间,或在 7:25 到 7:30 之间到达车站,故所,求概率为,即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.,完,指数分布,定义,其中,简记为,易见，,的几何图形如图.,注：,指数分布常用来,例如，,乘客在公交,指数分布,注：,指数分布常用来,例如，,乘客在公交,车站等车的时间，,电子元件的寿命等，,其它,有,因而它在可靠,性理论和排队论中有广泛的应用.,函数,即对任意,指数分布,有,即对任意,它总共能使用至少,已知元件,指数分布,它总共能使用至少,已

5、知元件,概率与从开始使用时算起,率相等，,一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.,完,它至少能使用 小时的概,具有这,小时的条件,例5,已知其参数,求 3 个这样的元件使用 1000 小时,至,少已有一个损坏的概率.,解,由题设知,的分布函数为,由此得到,各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的,用,表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数,例5,已知其参数,求 3 个这样的元件使用 1000 小时,至,少已有一个损坏的概率.,解,各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用,表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数,所求概率为,则,完,正态分布,定义,记为,易见，,又利用泊

6、松积分,参见相关知识点,易证，,正态分布,易证，,注：,正态分布是概率论中最重要的连续型分布，,在十九世纪前叶由高斯加以推广，,故又常称为高,斯分布.,一般来说，,一个随机变量如果受到许多随机因素,的影响，,而其中每一个因素都不起主导作用，,正态分布,一般来说，,一个随机变量如果受到许多随机因素,的影响，,而其中每一个因素都不起主导作用，,则它服从正态分布.,例如，,产品的质量指标，,元,件的尺寸，,某地区成年男子的身高、体重，,测量,误差，,射击目标的水平或垂直偏差，,信号噪声，,农作物的产量等等都服从或近似服从正态分布.,正态分布的图形特征,完,正态分布的图形特征,1.,密度曲线关于,对称

7、；,2.,曲线当,时达到最大值,3.,曲线在,处有拐点且以,正态分布的图形特征,3.,曲线在,处有拐点且以,4.,确定了曲线中峰的陡峭程度.,的分布函数：,完,标准正态分布,此时，,标准正态分布的重要性在于，,任何一个一般的正态分,布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,标准正态分布,标准正态分布的重要性在于，,任何一个一般的正态分,布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,定理,设,则,而对标准正态分布的函数,人们利用的近似计算,方法计算求出其近似值，,并编制了标准正态分布表.,完,定理,设,则,证明,的分布函数为,所以,证毕.,完,标准正态分布表的使用,1.,利用正态分布的对称性(如下图

8、)，,易见有,2.,若,则,标准正态分布表的使用,2.,若,则,3.,若,则,完,例6,设,求,解,这里,故,例6,设,求,解,6,.,1,0,X,P,完,准则,设,则,同理，,如图，,准则,如图，,但它的值几乎全部集中在,范围的可能性仅占不到此为0.3%.,这在统计学上称为,准则,(三倍标准差原则).,超出这个,完,例7,设某项竞赛成绩,若按参赛人,数的 10% 发奖,问获奖分数线应定为多少?,解,设获奖分数线为,立的,即,例7,设某项竞赛成绩,若按参赛人,数的 10% 发奖,问获奖分数线应定为多少?,解,设获奖分数线为,立的,即,查表得,解得,定为78分.,故分数线可,完,例8,解,假设某

9、地区成年男性的身高(单位:厘米),求该地区成年男性的身高超过,厘米的概率 .,根据假设,且,表,可得,完,例9,在电源电压不超过 200 伏,在 200240 伏和超,过 240 伏三种情形下,某种电子元件损坏的概率分,别为 0.1, 0.001 和 0.2.,布,试求:,(1),该电子元件损坏的概率,(2),该电子元件损坏时,电源电压在 200240 伏的,概率,解,引入事件,电压不超过 200 伏,电压不超过 200240 伏,解,引入事件,电压不超过 200 伏,电压不超过 200240 伏,电压超过240伏;,电子元件损坏.,由条件知,因此,25,解,25,解,(1),由题设条件,于是

10、由全概率公式,有,(2),由贝叶斯公式,有,完,例10,格品的概率.,根据假设,记,表示螺栓为合格品.,则,解,于是,规定螺,试求螺栓为合,例10,格品的概率.,根据假设,记,表示螺栓为合格品.,则,解,于是,规定螺,试求螺栓为合,即螺栓为合格品的概率等于 0.9544.,完,内容小结,1.,如果对随机变量,的分布函数,存在非,负可积函数,概率密度函数.,连续型随机变量及其概率密度,2.,常用连续型分布,均匀分布,指数分布,正态分布,标准正态分布,内容小结,2.,常用连续型分布,均匀分布,指数分布,正态分布,标准正态分布,其中正态分布应用极为广泛,在本课程中我们一,直要和它打交道.,在第 4

11、章中,还将介绍为什么,这么多随机现象,完,都近似服从正态分布.,连续型随机变量及其概率密度,定义,如果对随机变量,的分布函数,非负可积函数,度函数,简称为概率密度或密度函数.,存在,基本性质:,1.,对一个连续型随机变量,2.,连续型随机变量,率为0.,连续型随机变量及其概率密度,基本性质:,1.,对一个连续型随机变量,2.,连续型随机变量,率为0.,3.,则,(1),4.,落在小区间,上的概率近似等于,即,(2),完,均匀分布,定义,其它,记为,注：,其取值落在,中任意等长度的子区间内的概率,是相同的,且与子区间的长度成正比.,服从均匀分布,服从均匀分布的随机变量,均匀分布,的分布函数,完,

12、注：,其取值落在,中任意等长度的子区间内的概率,是相同的,且与子区间的长度成正比.,服从均匀分布的随机变量,指数分布,定义,简记为,注：,指数分布常用来描述,时间,例如,乘客在公交车站等车的时间,元件的寿命等,的分布函数,因而它在可靠性理论和排队论中,有广泛的应用.,电子,对某一事件发生的等待,指数分布,定义,简记为,的分布函数,服从指数分布的随机变量,具有无记忆性,有,即对,完,任意,正态分布,定义,记为,注：,正态分布是概率论中,在十九世纪前叶由高斯加以推广,故又常称为高,斯分布.,研究表明:,一个随机变量如果受到大量独立因素,的影响,则它一般服从正态分布.,(无主导因素),最重要的连续型

13、分布,正态分布,注：,正态分布是概率论中,在十九世纪前叶由高斯加以推广,故又常称为高,斯分布.,研究表明:,一个随机变量如果受到大量独立因素,的影响,则它一般服从正态分布.,(无主导因素),最重要的连续型分布,例如,产品的质量指标,元件的尺寸,年男子的身高、体重,测量误差,平或垂直偏差,信号噪声等等,从正态分布.,正态分布的图形特征,某地区成,射击目标的水,都服从或近似服,完,正态分布的图形特征,1.,2.,3.,4.,确定了曲线的位置,确定了曲线中峰的陡峭,程度.,的分布函数：,完,标准正态分布,此时，,标准正态分布的重要性在于，,任何一个一般的正态分,布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,标准正态分布,标准正态分布的重要性在于，,任何一个一般的正态分,布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,定理,设,则,而对标准正态分布的函数,人们利用的近似计算,方法计算求出其近似值，,并编制了标准正态分布表.,完,标准正态分布表的使用,1.,2.,若,则,3.,若,则,标准正态分布表的使用,3.,若,则,完,课堂练习,1.,已知,求,2.,已经其寿命在250小