高中数学 三角与二项式系数的性质课件 新人教A版选修2-3.ppt

1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 临猗中学 樊光明,一、新课引入,二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？,下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？,1“杨辉三角”的来历及规律,杨辉三角,展开式中的二项式系数，如下表所示：,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1, ,表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系数先增后减。,上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角),(1)对称

2、性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,(3)增减性与最大值.,增减性的实质是比较 的大小.,(2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.,二项式系数的性质,(3)增减性与最大值.,增减性的实质是比较 的大小.,所以 相对于 的增减情况由 决定,可知，当 时，,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,（3）增减性与最大值,（4）各二项式系数的和,这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：,一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质：,（1）,（2）,（3）当 时，,（4）,当 时，,还可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象

3、，研 究二项式系数的性质,(a+b)n展开式的二项式系数是 可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是0,1,2,n, 对于确定的n,可以画出它的图像。例如：当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点.,课堂练习： 1）已知 ，那么 = ； 2） 的展开式中，二项式系数的最大值是 ； 3）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n= ；,例1 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证：,证明：在展开式 中 令a=1，b=1得,小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予

4、一些特 定的值1，-1等来整体得到所求。,赋值法的应用 解决二项式系数问题.,赋值法,已知 求:(1) ； (2) ； (3) ; (4),例4:求(x+2)10 （x2-1）展开式中含 x 10 项的系数为.,变式：求(1+x+x2)(1-x)10展开式中含x项的系数.,求两个(多个)二项式乘积的展开式的特定项方法： （1）先化简，化成一个二项式的展开式; （2）分析两个（多个）二项式的通项的字母的指数,利用找伙伴的方式解决.,例3：求 展开式中的常数项.,例4： 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项。,变式引申： 1、 的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ） A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项 2、若 展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于( ) A.210 B.120 C.461 D.416 3:(1x )13 的展开式中系数最小的项是 ( ),(1)二项式系数的三个性质,(2) 数学思想：函数思想,a 单调性；,b 图象；,c 最值.,小 结,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能