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文档简介
1、第十章 排列 组合和二项式定理,第一节两个计数原理,知识自主梳理,1.分类计数原理与分步计数原理的概念 (1)完成一件事有几类办法,各类办法相互独立,每类办法中又有多种不同的办法,则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和,这就是 原理 (2)完成一件事,需要分成 步骤,每一步的完成 ,则完成这件事的不同方法种数是 ,这就是分步计数原理,分类计数,几个,有多种不同的方法,各步中不同的方法数的乘积,2分类计数原理与分步计数原理的区别 分类计数原理与分步计数原理,都是涉及 的不同方法的种数它们的区别在于:分类计数原理与 有关,各种方法 ,用其中任一种方法都可以完成这件事;分步计数原理与 有关,
2、各个步骤 ,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成了,完成一件事,相互独立,分步,相互依存,分类,1“分类”与“分步”,应该如何理解? (1)分类:“做一件事,完成它可以有n类办法”,这是对完成这件事的所有办法的一个分类分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次,分类时要注意满足两条基本原则:完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;分别属于不同两类的两种方法是不同的方法,重点 辨析,(2)分步:“做一件事,完成它需要分成n个步骤”,这是说完成这件事的任何一种方法,都要分成n个步骤分步时,首先要根据问题的特点,确定一个可行的分步标准;其次,步骤的设置要满
3、足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后,这件事才算最终完成,2分类计数原理与分步计数原理,如何选用? 两个原理的区别在于一个和分类有关,一个与分步有关如果完成一件事有n类办法,这n类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类计数原理;如果完成一件事需要分成n个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数就用分步计数原理.,方法规律归纳,例1高三(1)班有学生50人,男30人,女20人,高三(2)班有学生60人,男30人,女30人;高三(3)班有学生55
4、人,男35人,女20人 (1)从高三(1)班或(2)班或(3)班选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三(1)班、(2)班男生中,或从高三(3)班女生中选,有多少种不同的选法? 分析具备分类计数原理的条件,解(1)从高三(1)班50人中选一人有50种选法;从高三(2)班60人中选一人有60种选法;从高三(3)班中选一人有55种选法, 共有506055165(种) (2)从高三(1)、(2)班男生中选有303060(种),从高三(3)班女生中选有20种, 共有30302080(种),规律总结运用分类计数原理时,首先要根据问题的特点,确定分类标准,分类应满足:完成一件事的任何一种
5、方法,必属于某一类而且仅属于某一类,即“类”与“类”间有独立性与并列性.,备选例题1 三边长均是正整数,且最大边边长为11的三角形的个数为 () A25B26C36D37,解析:另两边边长用x,y表示,且不妨设1xy11,要构成三角形,必须xy12.分情况讨论: (1)当y取值11时, x1,2,3,11,可构成三角形11个; (2)当y取值10时, x2,3,4,10,可构成三角形9个; (3)当y取值9时,x3,4,5,9,可构成三角形7个;,(4)当y取值8时,x4,5,6,7,8,可构成三角形5个; (5)当y取值7时,x5,6,7,可构成三角形3个; (6)当y取值6时,x6,可构成
6、三角形1个 由分类计数原理得满足条件的三角形个数为 N119753136 答案:C,例2已知集合M3,2,1,0,1,2,P(a,b)表示平面上的点(a,bM),问: (1)P可表示平面上多少个不同的点? (2)P可表示平面上多少个第二象限的点? (3)P可表示多少个不在直线yx上的点? 分析本例实质是分步计数原理的应用这里应该注意两点:一是集合M中的每个元素可作为同一点的横、纵坐标;二是第(3)问用逆向求解的间接法,解(1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成:第一步确定a的值,共有6种确定方法;第二步确定b的值,也有6种确定方法根据分步计数原理,得到平面上的点数是6636. (2)确定第
7、二象限的点,可分两步完成:第一步确定a,由于a0,所以有3种确定方法;第二步确定b,由于b0,所以有2种确定方法由分步计数原理,得到第二象限内点的个数是326.,(3)点P(a,b)在直线yx上的充要条件是ab.因此a和b必须在集合M中取同一元素,共有6种取法,即在直线yx上的点有6个由(1)得不在直线yx上的点共有36630(个),规律总结运用分步计数原理时,需要确定分步的标准分步必须满足;完成一件事必须且只需连续完成这几步,即各个步骤是相互依存的,各个步骤都完成了,这件事才算完成,但要注意“步”与“步”的连续性。,备选例题2用n种不同颜色为广告牌着色(如图1),要求在、4个区域中相邻(有公
8、共边界)的区域不用同一种颜色 (1)当n6时,为图1着色共有多少种不同的着色方法? (2)若为图2着色时共有120种不同的着色方法,求n.,解:(1)为着色有6种方法,为着色有5种方法,为着色有4种方法,为着色也有4种方法 所以共有6544480种着色方法 (2)图2与图1的区别在于与相邻的区域由两块变成了三块,同理,不同的着色方法数是n(n1)(n2)(n3) 由n(n1)(n2)(n3)120 (n23n)(n23n2)1200 (n23n)22(n23n)12100 n23n100或n23n120 n5.,例3中央电视台“开心辞典”节目的现场观众来自四个不同的单位,分别在图中的A、B、C
9、、D四个区域落座现有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同色服装,且相邻区域不能同色,则不同的着装方法共有多少种?,分析可把四个区域分为两种情况:A与C、B与D.先讨论A与C的着装,后讨论B与D的着装,解当A、B、C、D四个区域的观众服装颜色全不相同时,有432124种不同的方法; 当A区与C区同色,B区和D区不同色且不与A、C同色时,或B区、D区同色,A区、C区不同色且不与B、D同色时,有243248种不同的方法; 当A区与C区同色,B区与D区也同色且不与A、C同色时,有4312种不同的方法 由分类计数原理知共有24481284种不同的着装方法,规律总结首先要明确“完成一件事”是需分类还
10、是分步;分类时,类与类之间应避免交叉重复且要互补;分步时,步与步之间应有连续性其次对较复杂的问题,一般是先分类,各类之中再分步,分类时要注意选好分类标准,设计好分类方案,要防止重复和遗漏.,备选例题3标号为A、B、C的三个口袋,A袋中有1个红色小球,B袋中有2个不同的白色小球,C袋中有3个不同的黄色小球,现从中取出2个小球 (1)若取出的两个球颜色不同,有多少种取法? (2)若取出的两个球颜色相同,有多少种取法?,解:(1)若两个球颜色不同,则应在A、B袋中各取一个或A、C袋中各取一个,或B、C袋中各取一个 应有12132311(种) (2)若两个球颜色相同,则应在B或C袋中取出2个,应有134(种).,一、主体选择错误 例13个班分别从5个风景点中选择1处游览,不同的选法有多少种? 解题思路每个班都有5个风景点可选,故不同的选法有53种,错因分析解决问题时使用正确的完成任务的策略至关重要,主体选择错误,使问题无法完成或情况纷杂,自然很难得到正确的完成任务的策略,而误得出35种,二、分类、分步不严密错误 例2甲乙两个自然数的最大公约数为720,问甲乙两
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