高中数学第一章 集合与函数的概念 1.1.3 集合的基本运算 第2课时 补集及综合应用课件.pptx

1、第2课时 补集及综合应用,【知识提炼】 1.全集 (1)概念:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的_,那 么就称这个集合为全集. (2)记法:通常记作_.,所有元素,U,2.补集 (1)文字语言:对于一个集合A,由全集U中_集合A的所有元素组 成的集合称为集合A相对于_的补集,简称为集合A的补集,记作 UA. (2)符号语言:UA=_.,不属于,全集U,x|xU,且xA,(3)图形语言:,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)全集一定包含任何元素吗? 提示:不一定.全集仅包含我们所要研究问题所涉及的全部元素,而非任何元素.,(2)两个不同的集合A,B在同一个全集U中的补集可能相等吗? 提示

2、:不可能相等.因为集合A,B是两个不同的集合,所以必定存在元素在集合A的补集中,但不在集合B的补集中.,2.已知全集U=0,1,2,且UA=2,则A=() A.0B.1C.D.0,1 【解析】选D.因为UA=2,所以2A,又U=0,1,2, 所以A=0,1.,3.设全集为U,M=0,2,4,UM=6,则U等于() A.0,2,4,6B.0,2,4 C.6D. 【解析】选A.U=M(UM)=0,2,46=0,2,4,6.,4.全集U=x|0x10,A=x|2x5,则UA=. 【解析】利用数轴法 可得UA=x|0x2或5x10. 答案:x|0x2或5x10,【知识探究】 知识点 全集与补集 观察图

3、形,回答下列问题: 问题1:一个集合A在不同全集中的补集相同吗? 问题2:全集与补集有什么关系?,【总结提升】 1.全集与补集的关系 (1)全集只是一个相对的概念,只包含所研究问题中所涉及的所有 元素,补集是相对于相应的全集而言.如我们在整数范围内研究问题,则Z为全集,而当问题扩展到实数集时,则R为全集. (2)同一个集合在不同的全集中补集不同;不同的集合在同一个全集中的补集也不同.,2.符号UA包含的三层意思 (1)AU. (2)UA表示一个集合,且UAU. (3)UA是U中不属于A的所有元素组成的集合. 3.补集的相关性质 (1)A(UA)=U,A(UA)=. (2) U(UA)=A,UU

4、=,U=U. (3) U(AB)=(UA)(UB), U(AB)=(UA)(UB).,【题型探究】 类型一补集的简单运算 【典例】1.(2014湖北高考)已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,集合A=1,3,5,6,则UA=() A.1,3,5,6B.2,3,7 C.2,4,7D.2,5,7,2.已知全集为R,集合A=x|x1,或x5,则RA=. 3.已知全集U,集合A=1,3,5,7,UA=2,4,6,UB=1,4,6,则集合B=.,【解题探究】1.典例1全集U中去掉集合A中的元素还剩哪些元素? 提示:全集U中去掉集合A中的元素还剩2,4,7. 2.典例2中求集合A的补集需借助什么工具?

5、提示:可结合数轴利用定义求解. 3.典例3全集U与集合A,UA有什么关系? 提示:U=A(UA).,【解析】1.选C.依题意,UA=2,4,7. 2.在数轴上画出集合A,由数轴得RA=x|1x5. 答案:x|1x5 3.A=1,3,5,7,UA=2,4,6, 所以U=1,2,3,4,5,6,7. 又UB=1,4,6,所以B=2,3,5,7. 答案:2,3,5,7,【方法技巧】补集的求解步骤及方法 (1)步骤:确定全集:在进行补集的简单运算时,应首先明确全集; 紧扣定义求解补集. (2)方法:借助Venn图或数轴求解; 借助补集性质求解.,【变式训练】设全集S=1,2,3,4,且A=xS|x2-

6、5x+m=0,若 SA=2,3,则m=. 【解析】因为S=1,2,3,4,SA=2,3,所以A=1,4,即1,4是方程x2-5x+m=0的两根,由根与系数的关系可得:m=14=4. 答案:4,类型二集合交、并、补的综合运算 【典例】1.设全集U=MN=1,2,3,4,5,MUN=2,4,则 N=() A.1,2,3B.1,3,5 C.1,4,5D.2,3,4 2.(2015福州高一检测)已知全集U=x|x4,集合A= x|-2x3,B=x|-3x2,求AB,(UA)B,A(UB).,【解题探究】1.典例1中由条件MUN=2,4说明什么? 提示:由条件MUN=2,4可说明集合M中一定含有2,4,

7、集合N中不含2,4. 2.典例2中解题的方法是什么? 提示:结合定义,通过数轴分析求解.,【解析】1.选B.画出Venn图,阴影部分为MUN=2,4,所以N=1,3,5.,2.利用数轴,分别表示出全集U及集合A,B,先求出UA及UB,再求解. 则UA=x|x-2,或3x4, UB=x|x-3,或2x4. 所以AB=x|-2x2; (UA)B=x|x2,或3x4; A(UB)=x|2x3.,【延伸探究】本例2条件不变,试求U(AB)和U(AB). 【解析】由例题可知AB=x|-3x3, 所以U(AB)=x|x-3,或3x4. 又AB=x|-2x2, 所以U(AB)=x|x-2,或2x4.,【方法

8、技巧】 1.求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时,画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观,要注意求解时端点的值是否能取到. 2.求解集合混合运算问题的一般顺序 解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分,再计算其他部分,如本例2求(UA)B时,可先求出UA,再求并集.,【变式训练】设U=1,2,3,4,5,6,7,8,A=3,4,5,B=4,7,8,求 UA,UB,(UA)(UB),(UA)(UB). 【解题指南】先计算括号内的部分,再进行其他运算. 【解析】UA=1,2,6,7,8, UB=1,2,3,5,6, (UA)(UB)=1,2

9、,6, (UA)(UB)=1,2,3,5,6,7,8.,【补偿训练】设全集为R,A=x|3x7,B=x|2x10,求R(AB)及(RA)B. 【解析】全集R和集合A,B在数轴上表示如下: 由图知,AB=x|2x10, 所以R(AB)=x|x2或x10, 所以RA=x|x3或x7, 所以(RA)B=x|2x3或7x10.,类型三与补集相关的参数值的求解 【典例】设集合A=x|x+m0,B=x|-2x4,全集U=R,且 (UA)B=,求实数m的取值范围. 【解题探究】本例中条件(UA)B=说明什么? 提示:条件(UA)B=说明两个非空集合UA和B没有公共元素,可以利用数轴分析.,【解析】由已知A=

10、x|x-m, 得UA=x|x-m, 因为B=x|-2x4,(UA)B=, 所以-m-2,即m2, 所以m的取值范围是m2.,【延伸探究】 1.(变换条件)本例将条件“(UA)B=”改为“(UA)B”,其他条件不变,则m的取值范围又是什么? 【解析】由已知得A=x|x-m, 所以UA=x|x-2,解得m2.,2.(变换条件)本例将条件“(UA)B=”改为“(UB)A=R”,其他条件不变,则m的取值范围又是什么? 【解析】由已知A=x|x-m,UB=x|x-2或x4. 又(UB)A=R, 所以-m-2,解得m2.,【方法技巧】由集合的补集求解参数的方法 (1)有限集:由补集求参数问题,若集合中元素

11、个数有限时,可利用补集定义并结合集合知识求解. (2)无限集:与集合交、并、补运算有关的求参数问题,若集合中元素有无限个时,一般利用数轴分析法求解.,【补偿训练】设全集U=R,M=x|3a1, 因为MUP,所以分M=,M两种情况讨论. (1)M=时,应有3a2a+5,所以a5.,(2)M时,如图可得: 所以a- 或 a5, 综上可知,实数a的取值范围为,巧思妙解 数形结合巧解集合运算问题 【典例】设U=x|-5x-2或2x5,xZ,A=x|x2-2x-15=0, B=-3,3,4,则UA=,A(UB)=.,【常规解法】在集合U中, 因为xZ,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5, 所以U=-5,-4,-3,3,4,5. 又A=x|x2-2x-15=0=-3,5, 所以UA=-5,-4,3,4,UB=-5,-4,5. A(UB)=5. 答案:-5,-4,3,45,【巧妙解法】由题意知U=-5,-4,-3,3,4,5,A=-3,5,B=-3,3,4,可用Venn图表示. 则UA=-5,-4,3,4,A(UB)=5. 答案:-5,-4,3,45,【方法指导】图示法巧解集合运算问题 (1