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文档简介
1、1. 近似计算,于是,一、利用导数作近似计算,是用计算方法得到一定精度的计算结果.,y,x,o,这就是利用导数作近似计算的公式. 它表明，当,例1. 如图，加工圆锥台时计算刀架应取角 .,s,因 一般相当小，故,解：,于是,从而,例2. 开方的近似计算.,常用近似公式（ 充分小）：,例3. 计算 的近似值.,解：,查表得 0.4848,误差估计,例如：设计一根轴长度120毫米，加工后量得120.03毫米， 误差为 毫米.,设计一个键销长度12毫米，加工后量得12.03毫米， 误差为 毫米.,称这种误差为绝对误差，表明了一个量与它的近似值之间 的差值，反映了某种近似程度.,是估计近似值与精确值的
2、差,上例中，尽管他们的绝对误差相等，但明显地，轴长 （120毫米）的精度要比键销（12毫米）的精度高。可见， 一个量的近似精度依赖于其绝对误差和这个量本身的大小， 故需计算绝对误差占总长度的百分比. 例如：,轴：,键销：,称这样的百分比为相对误差. 显然，轴长精度比键销 长的精度高得多. 一般地，有定义：,Def :,和相对误差,例4. 多次测量一根圆钢, 测得其直径的平均值为D50毫米， 绝对误差不超过0.05毫米. 试计算其截面积, 并估计其误差.,解：,S的绝对误差：,相对误差：,二、Taylor 公式,简单函数,多项式,复杂的函数,近似,表示,从而,为提高近似精度，可用二次多项式,（二
3、阶近似）,且,一般地，可用 n 次多项式,（n阶近似）,且,例5.,上述公式表明，近似式阶数越高，近似程度越好.,近似程度是多少？,Theorem,Taylor公式（也称马克劳林 ( Maclaurin ) 公式）， 式中 叫做 Lagrange 余项.,证明：作辅助函数,再作辅助函数,利用Cauchy定理，得,Lagrange 余项还可写为：,又,因此余项又可表示为,称为皮亚诺(Peano)余项.,注1： Cauchy 余项,注2：由余项可见，不论缩小x或增大阶数n都可提高精度.,Lagrange 余项,或,Peano 余项,例5 中,误差为,例6.,例7.,特别，,二项式展开公式,例8.,例9.,解：,例10.,解：,例11. 计算,例12. 求,注3. 函数的Taylor公式是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小邻域将
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