高中数学 第一章 数列 1.1 数列的有关概念素材 北师大版必修5（通用）

1、数列的有关概念按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成 简记为，项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence），项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）。 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；如：1,2,3，4,5,6,7 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；如：8,7,6,5,4,3,2,1, 从第

2、2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列； 各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）； 各项相等的数列叫做常数列。如：2,2,2,2,2,2,2,2,2,。 通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 递推公式：如果数列的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 数列中数的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集1，2，n）为定义域的函数=f(n)。 如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是 =f(n). 表示方法 如果数列

3、的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如 如果数列的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如 等差数列【定义】 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。 【缩写】 等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。 【等差中项】 由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A

4、叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。 有关系：A（ab）/2 【通项公式】 an=a1+(n-1)d an=Sn-S(n-1) (n2) an=kn+b(k,b为常数) 【前n项和】 Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2 Sn=(d/2)*n2+(a1-d/2)n 【性质】 且任意两项am，an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=ak+an-k+1，k1,2,n 若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有 am+an=a

5、p+aq Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，Snk-S(n-1)k成等差数列，等等。 和（首项末项）项数2 项数（末项-首项）公差1 首项=2和项数-末项 末项=2和项数-首项 设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。 【应用】 日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别 时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。 若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)0。 等比数列【定义】 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它

6、的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。 【缩写】 等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。 【等比中项】 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。 有关系：G2ab；G(ab)(1/2) 注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。 【通项公式】 an=a1q(n-1) an=Sn-S(n-1) (n2) 【前n项和】

7、当q1时，等比数列的前n项和的公式为 Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q1) 【性质】 任意两项am，an的关系为an=amq(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1，k1,2,n （4）等比中项：aqap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。 记n=a1a2an，则有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在

8、这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 性质： 若 m、n、p、qN*，且mn=pq，则aman=apaq； 在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. “G是a、b的等比中项”“G2=ab（G0）”. (5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-qn)/(1-q) 在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中An表示A的n次方。 【应用】 等比数列在生活中也是常常运用的。 如：银行有一种支付利息的方式-复利。 即把前一期的利息和本金价在一起算作本金， 再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。 按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)存期

9、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)。 （1）等比数列的通项公式是：An=A1*q（n1） 若通项公式变形为an=a1/q*qn(nN*),当q0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*qx上的一群孤立的点。 （2）求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-qn)/(1-q) =(a1-a1qn)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*qn ( 即A-Aqn) (前提：q不等于 1) 任意两项am，an的关系为an=amq(n-m) （3）从

10、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1，k1,2,n （4）等比中项：aqap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。 记n=a1a2an，则有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 一般数列的通项求法 一般有： an=Sn-Sn-1 （n2） 累和法（an-an-1=. an-1 - an-2=. a2-

11、a1=.将以上各项相加可得an）。 逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。 化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。 特别的： 在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n 2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn 即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列 不动点法（常用于分式的通项递推关系） 不动点法求数列通项 对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求 特殊数列的通项的写法 1,2,3,4,5,6,7,8. -an=n 1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8.-an=1/n 2，4，6，8，10，1

12、2，14.-an=2n 1,3,5,7,9,11,13,15.-an=2n-1 -1,1,-1,1,-1,1,-1,1.-an=(-1)n 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1.-an=(-1)(n+1) 1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1.-an=/2 1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0.-an=cos(n-1)/2=sinn/2 9,99,999,9999,99999,. -an=（10n)-1 1,11,111,1111,11111.-an=/9 衍生n,nn,nnn,nnnn,nnnnn.-an=*n/9,n为1-9的整数 1，4，9，16，25，

13、36，49，.-an=n2 1,2,4,8,16,32.-an=2(n-1) 数列前N项和公式的求法 (一)1.等差数列: 通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数 an=ak+(n-k)d ak为第k项数 若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2 2.等差数列前n项和: 设等差数列的前n项和为Sn 即 Sn=a1+a2+.+an; 那么 Sn=na1+n(n-1)d/2 =dn2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n 还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法 (二)1.等比数列: 通项公式 an=a1*q(n-1)(即q的n-1

14、次方) a1为首项,an为第n项 an=a1*q(n-1),am=a1*q(m-1) 则an/am=q(n-m) (1)an=am*q(n-m) (2)a,G,b 若构成等比中项,则G2=ab (a,b,G不等于0) (3)若m+n=p+q 则 aman=apaq 2.等比数列前n项和 设 a1,a2,a3.an构成等比数列 前n项和Sn=a1+a2+a3.an Sn=a1+a1*q+a1*q2+.a1*q(n-2)+a1*q(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解) Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q); 注: q不等于1; Sn=na1 注:q=1 求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法 著名的数列 等差数列典型例题： 1/(1x(1+1)+1/(2x(2+1)+1/(3x(3+1)+1/(4x(4+1)+1/(5x(5+1).1/(n(n+1) 求Sn 解析： Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/