学案4 二次函数.ppt

1、,学案4 二 次 函 数,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,返回目录,考 纲 解 读,二次函数,返回目录,1.二次函数的图象与性质是历年高考命题的热点内容,今后仍将是高考命题的热点. 2.与数学应用问题、函数的最值、不等式的求解及证明、分类讨论等知识结合，在知识的交汇点处命题. 3.选择、填空、解答三种题型都有可能出现.,考 向 预 测,返回目录,1.二次函数 函数 叫做二次函数,它的定义域是 . 2.y=ax2(a0)的性质和图象特征 (1)定义域是 . (2)顶点坐标为 . (3)偶函数,图象关于y轴对称,其对称轴为 .,R,y=ax2+bx+c(a0),x=0,R,(0,0),返回

2、目录,3.二次函数的三种表示形式 一般式: . 顶点式: ,其中 为抛物线的顶点坐标. 两根式: ,其中 是抛物线与x轴交点的横坐标. 4.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系,y=ax2+bx+c(a0),y=a(x-h)2+k(a0),(h,k),y=a(x-x1)(x-x2),x1,x2,x=x1,x=x2,x1=x2=x0,x|xx2,x|xx0,R,返回目录,x|x1xx2,返回目录,考点1 求二次函数的解析式,【分析】 (1)只需证明0即可. (2)利用根与系数的关系求m.,已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数. (1)求证:不论m取何

3、实数,这个二次函数的图象与x轴必有两个交点; (2)设这个二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2的倒数和为 ,求这个二次函数的解析式.,返回目录,【解析】(1)证明：与这个二次函数对应的一元二次方程是 x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0. =4(m-1)2-4(m2-2m-3)=4m2-8m+4-4m2+8m+12=160, 方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0必有两个不相等的实数根, 不论m取何值,这个二次函数的图象与x轴必有两个交点. (2)由题意可知x1,x2是方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0的两个实数根,x1+x2=2(m-1)

4、,x1x2=m2-2m-3. ,即 , . 解得m=0或m=5.经检验,m=0,m=5都是方程的解. 所求二次函数的解析式为y=x2+2x-3或y=x2-8x+12.,在掌握函数解析式y=f(x),方程f(x)=0及y=f(x)的图象间的关系的基础上,判别式以及韦达定理是处理根与系数关系的基本工具,必须熟练掌握.,返回目录,返回目录,已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件f(2-x)=f(2+x),其图象的顶点为A,图象与x轴的交点为B,C,其中B点的坐标为(-1,0)且ABC的面积为18,试确定这个二次函数的解析式.,【解析】解法一:由f(2-x)=f(2+x),二次函数f(x)图象

5、的对称轴方程为x=2, 故 点B(-1,0)在f(x)的图象上, 故a(-1)2+b(-1)+c=0, 即a-b+c=0 又ABC的面积为18， 故 2-(-1) = , 即 =6 ,返回目录,由得b=-4a,分别代入中, 得a+4a+c=0,即5a+c=0. =6,即c-4a=6. a= a=- b=- b= c=- c= . f(x)= x2- x- 或f(x)=- x2+ x+ .,或,由此解得,返回目录,解法二:由f(2-x)=f(2+x)知, 二次函数f(x)图象的对称轴方程为x=2, 又B(-1,0),故C点坐标为(5,0). 设顶点A的纵坐标为y,则由ABC面积为18， 有 (5

6、+1)|y|=18，故可解得y=6, A点坐标为(2,6). 可设f(x)=a(x-2)2+6或f(x)=a(x-2)2-6. B(-1,0)是f(x)图象上一点, 故a(-1-2)2+6=0或a(-1-2)2-6=0. 解得a=- 或a= . f(x)=- (x-2)2+6或f(x)= (x-2)2-6.,返回目录,（1） 2010年高考四川卷函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 . （2）函数f(x)=2x2+mx-1在区间-1,+)上递增，则 f(-1)的取值范围是 .,返回目录,考点2 二次函数性质的应用,【分析】 利用二次函数的对称轴解决问题.,返回目录,

7、解法二： f(x)=x2+mx+1的对称轴为x= , =1,即m=-2. 其充要条件是m=-2. （2）抛物线开口向上，对称轴为x= , -1,m4. 又f(-1)=1-m-3, f(-1)(-,-3.,【解析】(1)解法一:函数y=f(x)关于x=1对称的充要条件是f(x)=f(2-x), x2+mx+1=(2-x)2+m(2-x)+1,化简得(m+2)x=m+2,m+2=0,即m=-2.,本题考查了二次函数对称轴的求法,以及利用对称轴研究二次函数的单调性.,返回目录,设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0x1x21. (1)求实数a的取值范围; (2

8、)试比较f(0)f(1)-f(0)与 的大小,并说明理由.,返回目录,【解析】 (1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a, 0 00 g(0)0, a3+2 或a0, 0a3-2 . 故所求实数a的取值范围是(0,3-2 ).,即,则由题意得,返回目录,(2)由题意知f(0)f(1)-f(0)=2a2. 令h(a)=2a2,则当0a3-2 时,h(a)是增函数. h(a)h(3-2 )=2(3-2 )2 =2(17-12 ) =2 . 即f(0)f(1)-f(0) .,返回目录,考点3 二次函数在给定区间上的最值问题,已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间-1,1上有最小值,

9、记作g(a). (1)求g(a)的函数表达式; (2)求g(a)的最大值.,【分析】抛物线对称轴不确定,需讨论对称轴与区间的关系才能求出区间最值.,【解析】(1)由f(x)=2x2-2ax+3=2（x- ）2+3- 知对称轴方程为x= , 根据二次函数的对称轴与题设区间的相对位置分类讨论.,返回目录,当 -1,即a-2时,g(a)=f(-1)=2a+5; 当-1 1,即-2a2时,g(a)=f( )=3- ; 当 1,即a2时,g(a)=f(1)=5-2a. 综合,得 2a+5 (a-2) 3- (-2a2) 5-2a (a2). (2)当a-2时,g(a)1; 当-2a2时,g(a)3; 当

10、a2时,g(a)1. 当a=0时,g(a)的最大值为3.,g(a)=,返回目录,(1)解二次函数求最值问题,首先采用配方法,将二次函数化为y=a(x-m)2+n的形式 ,得顶点(m,n)或对称轴方程x=m,可分成三个类型: 顶点固定,区间固定; 顶点含参数,区间固定; 顶点固定,区间变动. (2)二次函数的最值问题能够将有关二次函数的全部知识和性质融合在一起，还经常和实际问题以及其他考点的知识相结合考查考生的函数思想水平和数学抽象能力 ，所以历来为高考命题专家所青睐.解决最值问题的关键是与图象结合 ，就是用数形结合的方法和运动变化的观点进行分析，然后用抽象的数学表达式反映考题的本质.当然这离不

11、开有关函数最值的基本知识，如最值公式 、均值定理、配方法等.,返回目录,已知f(x)=x2+ax+3-a，若当x-2,2时，f(x)0恒成立，求a的范围.,【解析】f(x)=x2+ax+3-a=（x+ ）2- +3-a. 当- 4时，f(x)min=f(-2)=7-3a0, a ,又a4, 故此时a不存在.,返回目录,返回目录,当-2 2，即-4a4时，f(x)min=f（ ）=3-a- 0, a2+4a-120. -6a2. 又-4a4, -4a2. 当 2，即a-4时，f(x)min=f(2)=7+a0,a-7. 又a-4，故-7a-4. 综上得-7a2.,2009年高考江苏卷设a为实数,

12、函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若f(0)1,求a的取值范围; (2)求f(x)的最小值; (3)设函数h(x)=f(x),x(a,+),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集.,返回目录,考点4 二次函数的综合应用,【分析】应先去掉绝对值符号,再利用二次函数区间求最值的方法解决问题,要注意对参数a进行正确的分类讨论.,返回目录,返回目录,本题通过分段函数的形式考查了二次函数区间求最值问题,同时考查了对参数的分类讨论.,返回目录,已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)-2x的解集为x|1x3. （1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f

13、(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.,【解析】（1）f(x)+2x0的解集为x|1x3, 可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a0.因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x =ax2-(2+4a)x+3a. ,返回目录,由方程f(x)+6a=0得 ax2-(2+4a)x+9a=0. 方程有两个相等的根， =-(2+4a)2-4a9a=0, 即5a2-4a-1=0. 解得a=1或a=- . 由于a0，舍去a=1. 将a=- 代入得f(x)的解析式为 f(x)=- x2- x- .,返回目录,(2)f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a = 由a0 a

14、0, 解得a-2- 或-2+ a0. 故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是（-,-2- )(-2+ ,0).,由,返回目录,考点5 用二次函数解决实际问题,据调查,某地区100万从事传统农业的农民,人均收入3 000元,为了增加农民的收入,当地政府积极引进资本,建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地部分农民进入加工企业工作,据估计,如果有x(x0)万人进企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为3 000a元(a0). (1)在建立加工企业后,要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入,

15、试求x的取值范围;(2)在(1)的条件下,当地政府应该如何引导农民(即x多大时),能使这100万农民的人均年收入达到最大.,返回目录,【分析】确定函数表达式是关键,由题意可先求自变量x的取值范围.,【解析】(1)由题意得(100-x)3 000(1+2x%)100 3 000, 即x2-50 x0,解得0 x50. 又x0, 0x50. (2)设这100万农民的人均年收入为y元,则,返回目录,若25(a+1)50,即01时,函数在(0,50上是增函数. 当x=50时,ymax=- 502+30(a+1)50+3 000 =-1 500+1 500a+1 500+3 000 =1 500a+3

16、000. 若01,当x=50时,能使100万农民的人均年收入最大.,返回目录,解实际问题关键是建立数学模型,列出正确的数学 关系式.,返回目录,某种新产品投放市场的100天中,前40天价格呈直线上升,而后60天其价格呈直线下降,现统计出其中4天的价格如下表: (1)写出价格f(x)关于时间x的函数关系式(x表示投放市场 的第x天); (2)销售量g(x)与时间x的函数关系为:g(x)=- x+ (1x100,xN),则该产品投放市场第几天销售额 最高?最高为多少千元?,返回目录,【解析】(1)用求直线方程的方法得 x+22, 1x40, - x+52, 40 x100. (2)设日销售额为S(

17、x),则当1x40时, S(x)=f(x)g(x)=( x+22)(- x+ )= (x+88)(-x+109) =- (x2-21x-9 592). 当x=10或x=11时,S(x)max=808.5(千元). 当40 x100时, S(x)=(- x+52)(- x+ ) = (x2-213x+11 336). 当x=40时,S(x)max=736808.5. 综上得:销售额最高在第10天和第11天,最高销售额为808.5千元.,f(x)=,返回目录,1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路. 2.含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,又例如牵涉二次不等式需讨论根的大小等. 3.求二次函数解析式的方法有: (1)一般式:y=ax2+bx+c(a0); (2)顶点式:y=a(x-h)2+k; (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2).,返回目录,4.关于二次函数y=f(x)对称轴的判断方法: (1)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x1)=f(x2),那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为 . (2)对于一般函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x) =f(a-x)