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1、1,矩阵及其运算,第 二 章,2,第三节 分块矩阵(Block matrix)及其运算,分块矩阵的概念 分块矩阵的运算 问题与思考,第二章 矩阵概念及其运算,3,一、分块矩阵的概念,将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.,例如矩阵:,其中,4,注:,任一矩阵A有多种分块方法,较特殊的分块有:,1)将矩阵A视为一个子块的分块矩阵;,2)将矩阵A每一元素视为一个子块的分块矩阵;,3)将矩阵A每一行视为子块的分块矩阵,记为:,4)将矩阵A每一列视为子块的分块矩阵,记为:,A,行的记法可看作是列的转置,5,例如：,6,设矩阵A

2、与B是同型矩阵,且分块方法也相同:,注:矩阵A与B有相同的分块法,二、分块矩阵的运算,1.分块矩阵的加法与数乘,分块矩阵加法:,数乘分块矩阵:,7,设矩阵A是mp型矩阵,B是pn型矩阵,它们分别分块如下:,对A的列的分法与对B的行的分法 完全一致!,2.分块矩阵的乘法,矩阵A与B的乘积AB:,8,设矩阵A分块如下:,分块矩阵转置分两次进行:按一般元素矩阵转置后，每个子块矩阵再转置.,3.分块矩阵的转置,分块矩阵A的转置:,9,例1,问矩阵B如何分块,才能与A右乘? 并用其中的一种分块矩阵求AB？,设矩阵,若矩阵A分块为:,矩阵B的行分法只要与A的列分法相同即可:,解:,10,满足条件的B的分法

3、 共有八种.,11,取B分块如下,12,说明1) :,关于准对角矩阵的结论:,称矩阵 为准对角矩阵,当Ai(i=1,2, ，s）都是方阵时，,13,当A1,A2,AS都是方阵,且 时,A可逆,类似地有：,说明2）：做个笔记,特别的：,14,例2 设,求,解,15,思考题,求矩阵A的逆矩阵,其中,16,答案,由对角矩阵的结论可得:,17,设矩阵:,则方程组,分块矩阵的简单应用：,说明3) :,简化线性方程组的记号,可表为:,18,可表为:,或A按行分块,或A按列分块:,19,在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法.,(1) 加法,(2) 数乘,(3) 乘法,分块矩阵之间的运算,分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似：,同型矩阵，采同相同的分块法；,数 乘矩阵 ，需 乘 的每一个子块；,若 与 相乘，需 的列的划分与,的行的划分相一致.,五、小结,(4) 转置,20,(5) 分块对角阵的行列式与逆阵,(6) 两种特殊的分块法：按行分块与按列分块.,21,作业 ： 习题2-3 2（2） P66 9,22,补充：矩阵秩的性质（教材70页）,【性质2.9】设下面矩阵运算都是可行的,则,23,设A为n阶方阵,且3En+4A-4A2=O,则R(En+2A)+R(3En-2A)=n,【例2】,【证】,由3En+4A-4A2=O得,(En+2A)(3En-2A)=O

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