《弹塑性本构方程》PPT课件.ppt

1、弹塑性力学,2011年6月,蒋建平,第4章 弹塑性本构方程,4-1 典型金属材料 曲线分析,图4-1,（4-1）,4-2 本构关系类型,4-2-1 线弹性本构关系,4-2-2 弹塑性本构简化模型,4-3 典型的本构关系模型,4-3-1 双曲线（邓肯-张）模型,4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型),4-4 屈服条件、屈服面,（4-10）,图4-12,图4-13,4-5 世界上最常用岩土本构模型及土本构模型剖析,世界上最常用的土本构模型,1.概述,土作为天然地质材料在组成及构造上呈现出高度的各向异性、非均质性、非连续性和随机性,在力学性能上表现出强烈的非线性、非弹性和粘滞性,

2、土的本构模型就是反映这些力学性态的数学表达式。,一般认为,一个合理的土的本构模型应该具备理论上的严格性、参数上的易确定性和计算机实现的可能性。自Roscoe等创建剑桥模型至今,各国学者已发展数百个土的本构模型。,这些模型包括不考虑时间因素的线弹性模型、非线弹性模型、弹塑性模型和近来发展起来的内时模型、损伤模型及结构性模型等,常用的模型只有极少数几个。,土的本构模型研究在理论上属于连续介质力学本构理论的范畴,对材料属性的假定上将微观上并不连续的土视为宏观上的连续介质,以弹性力学、塑性力学和新兴的力学分支为理论基础,通过理论结合实验的方法进行研究。,土的本构关系的建立,通常是通过一些试验,测试少量

3、弹塑性应力-应变关系曲线,然后通过岩土塑性理论以及某些必要的补充假设,把这些试验结果推广到复杂应力组合状态,以求取应力-应变的普遍关系,这种应力-应变关系的数学表达式就是土的本构模型。,建立的模型与实际情况会有一定的出入,模型的确定还应以实际工程或现场大型试验为依据,然后再通过现场测试和实际工程来检验和修正,才能做到理论符合实际,形成一个比较完善的本构模型。,另外,从使用角度来说,一个合理的本构模型除要符合力学和热力学的基本原则和反映岩土实际状态外,还必须进行适当的简化,使参数的选择和计算方法的处理尽量简便。,早期土力学中的变形计算主要是基于线弹性理论的。在线弹性模型中,只需两个材料常数即可描

4、述其应力应变关系,即E和或K和G或和。其中研究最多、应用最广的是非线弹性模型,最具代表性的当属Duncan-Chang双曲线模型(1970年1980年)。,20世纪50年代末60年代初,土塑性力学的发展,特别是金属塑性理论的突破,为土的本构模型的研究开辟了一条新的途径。Drucker等(1957年)提出在Mohr-Coulomb锥形屈服面上再加一组强化帽形屈服面。,Roscoe等(1958年1963年)建立了第一个土的本构模型即剑桥模型,标志着土的本构模型研究新阶段的开始。70年代到80年代,计算机及计算技术手段的迅速发展推动了非线性力学理论、数值计算方法和土工试验发展。,为在岩土工程中进行非

5、线性、非 弹性数值分析提供了可能性,各国学者提出了上百种土的本构模 型,包括考虑多重屈服面的弹塑性本构模型和考虑土的变形及内 部应力调整的时间效应的粘弹塑性模型。,2.摩尔-库仑(Mobr-Coulomb)模型,库仑(C.A.Coulomb)在土的摩擦试验、压剪试验或三轴试验的基础之上,于1773年提出了库仑破坏准则,即剪应力屈服准则,其准则方程为:,其中,C为土的粘聚强度;为内摩擦角。如果已知三轴试件内破坏面与小主应力方向之间的倾角为f,则由普通三轴试验的莫尔圆,将破坏面上的剪应力与法向应力代入库仑破坏准则,得到发生在某破坏面时主应力表达的破坏准则,即莫尔-库仑准则:,试验研究表明,Mobr

6、-Coulomb准则是符合岩土材料的屈服和破坏特征的。但是由于其屈服面在空间中的角度性质的影响,只要应力落在“脊梁”(棱角)附近,屈服函数沿曲面的外法线方向导数不易确定,则粘塑性的应变率不易确定。另外,在角锥顶点也存在不连续的问题,这就增加了使用上的困难,特别是限制了其在土工数值计算上的应用。,3. Drucker-Prager(D-P）模型,经典的Tresca准则和Mises准则都没有考虑平均正有效应力对材料屈服性状的影响,为了考虑该影响条件, Drucker与Prager于1952年提出了在应力空间中为一圆锥形屈服面的广义Mises屈服与破坏准则,或称为D-P屈服破坏准则。屈服函数为:,4

7、.邓肯张(Duncan-Chang）模型,Duncan-Chang双曲线模型是影响最大、最具代表性的非线性弹性模型。1970年,Duncan和Chang根据Kondner(1963年)的研究成果,以虎克定律为基础,假定模型中的参数(弹性模量E、泊松比、体积变形模量K和剪切模量G)是应力状态的函数,与应力路径无关,利用土的常规三轴试验得到的应力-应变曲线建立了模型参数关系。,Duncan-Chang模型能反映土体的主要变形特性,且采用加载模量和卸载模量来部分反映土的非线性性质,并在一定程度上反映土变形的弹塑性。同时由于其建立在广义虎克定律的弹性理论的基础上,加之所采用的参数少,具有比较明确的物理

8、意义,且可由常规的三轴剪切试验确定,因而该模型为岩土工程界所熟知,并在实际工程中得到了广泛应用。,该模型适用粘性土和砂土,但不宜用于密砂、严重超固结土。由于它是非线性弹性模型,所以一般只适用荷载不太大的条件(即不太接近破坏的条件)。,此外,模型是应用单一剪切试验结果进行全部应力-应变分析,而且一切公式都是根据3为常量的试验结果推算,因此它适宜于以土体的稳定分析为主、3接近常数的土的工程问题。王钊等(1997年)在分析“三峡工程”二期围堰低高防渗心墙的强度与稳定性时应用了该模型,取得了满意效果。,5.剑桥(Cam-Clay）模型,剑桥模型是当前应用最广的模型之一,已经积累了较多的应用用经验。这种

9、模型能较好的适用于正常固结粘土和弱固结粘土。,模型中除了弹性参数外,只三个模型参数,即,k和M,且都可利用常规三轴试验测定,便于推广。模型的主要缺点,不仅是受到传统塑性位势理论的限制,而且没有充分考虑剪切变形,因为屈服面只是塑性体积变形的等值面,只采用塑性体积变形作硬化参量。,因此后来大量学者对此提出了许多的修正办法,主要是在硬化参量中考虑塑性剪应变,或增加一个塑性剪应变作硬化参量的剪切屈服面。后来有些学者将这个剪切屈服面改为抛物线和双曲线等,从而发展为双屈服面的剑桥模型。,土体本构模型剖析,1.概述,土体具有许多复杂的变形特性,如剪胀性、各向异性、受应力路径影响等。即使对同一种土,在同一位置

10、,施加相同的应力增量,其应变增量也未必相同。土体变形的这种复杂性是在复杂受力状态下表现出来的。复杂受力状态存在6个应力分量,也有6个应变分量。,其间的关系是一种多因素物理量与多因素物理量之间的关系,它不同于单因素物理量与单因素物理量之间的关系,或单因素物理量与多因素物理量之间的关系,不能由试验直接建立。,须在简化条件的试验基础上,做某些假定及合乎规律的推理,从而提出某种计算方法,把应力应变关系推广到复杂受力状态。这种计算方法叫本构模型。,那么,土体应力应变关系应如何完整地表示,各种本构模型做了什么样的简化,含有什么性质的假定,又怎样推广用于复杂受力状态?这就值得深入讨论。发展土体本构模型理论,

11、不能不从这些基本问题入手。,2.简单受力状态下的应变,为了论述复杂受力状态下的变形,不妨先对简单受力情况作一剖析。土样在压缩仪中加压,测出孔隙比e随竖向应力的变化,点绘出e-关系,用直线拟合,得：,或点绘于半对数坐标中,也用直线来拟合，得：,用竖向应变表示为：,上几式中av,Cc,e0和0分别为压缩系数、压缩指数、初始孔隙比和初始应力。,式(3)是一维受力状态下的最简单的本构模型。是一种单因素物理量与单因素物理量之间的关系,可由试验直接确定。如果考虑到土体存在塑性变形,应变除了与当前应力有关而外,还与受荷历史有关,则应力应变关系为：,式中Ce为回弹指数;c为前期固结压力。这是一种单因素与双因素

12、之间的关系,仍可由试验直接建立。前期固结压力之所以影响应变,是因为该压力作用下已发生了不可恢复的塑性 应变。,它实际上是历史上已发生的塑性应变的一种度量。在弹塑性模型理论中,把度量已发生的塑性应变大小的参数称为硬化参数,前期固结压力也就是硬化参数的一种形式。可以说, 应变是应力与硬化参数两种物理量的函数。,3.复杂受力状态下的应变,复杂受力状态有6个应变分量。每个应变分量都受6个应力分量影响,同时也与6个方向上已发生的塑性应变有关。须用6个硬化参数来表示已发生的塑性应变。完整的应力应变关系可写成：,取微分形式：,式(6)表示应变增量决定于应力状态,应力增量和历史上曾发生的塑性应变。,式(5)、

13、(6),中,每个式子实际上都包含6个式子。这是多因素量与多因素量之间的关系,无法由试验直接建立,要作一些假定使其具体化。假定须包括以下三方面:对硬化参数的个 数和型式作规定;在试验的基础上给出硬化参数随应力变化的规律,或给出函数 的具体形式;对应变分量之间的关系作规定。,根据上述几方面的假定可对现有模型作一粗略的剖析。 (1)无硬化参数模型。这意味着不考虑塑性变形,因此是弹性类模型。式(5)和式(6)分别蜕化为：,若用式(7)给出fi的具体函数型式,称超弹性模型;若用式(8)给出 的具体型式,则称次弹性模型;若fi为线性多项式,或 为常量,则为线弹性模型。超弹性类的模型不能反映应力路径对变形的

14、影响,实际上无人采用。,次弹性模型采用增量形式,如果假定 随应力而变化,则能反映应力应变非线性,反映应力路径对变形的影响。邓肯双曲线模型就属 于次弹性模型。它对加载和回弹使用不同的弹性模量,也在一定程度上反映了塑性变形。,这类模型所给出的 的具体形式对各方向是一样的,也就同时给出了各方向应变间的关系,上面所说的第二和第三方面的假定是联系在一起给出的。,(2)单硬化参数模型 假定硬化参数只有一个,它是塑性应变各分量的某种函数组合,如塑性体积应变、塑性广义剪应变、塑性应变分量的矢量和、塑性功等等。同时还假定硬化参数仅仅是应力不变量的函数,与应力路径无关,并在试验基础上给出硬化参数随应力状态变化的具

15、体函数形式。,这就是屈服方程,对于一个确定的硬化参数值,这一函数在应力空间所对应的面即屈服面。大多数弹塑性模型属于这一类。各单硬化参数或单屈服面模型间的区别在于硬化参数的含义不同,随应力变化的函数形式不同。,硬化方程,或者屈服方程,给出了塑性变形发展的某种规律,即在发生塑性变形时塑性应变分量的某种函数组合所遵守的规律,由于只取了一个硬化参数,只给了一种规律,还不能由此确定6个应变分量。这就必须要有第三方面的假定,给出各应变分量之间的比例关系。这个假定就是塑性理论中的流动法则。,还有一些弹塑性模型没有屈服面,如内时理论模型,但它所含的内时变量是塑性变形的一种度量,也相当于这里所讲的硬化参数,它也

16、要给出内变量的函数形式,给出各应变分量间比例关系的规定。,(3)双硬化参数及多硬化参数模型 假定有两个或更多的硬化参数,每个参数有自己的硬化规律和所对应的屈服函数,此外仍然用流动法则给出每个硬化参数所对应的塑性应变增量各分量间的比例关系。,理论上讲,硬化参数可以有6个,双硬化参数或3硬化参数模型比起单硬化参数模型更接近理想情况,因此能更好地反映复杂受力状态下的变形特性。然而并不是所取硬化参数及对应的屈服面愈多愈好,因为即使采用真三轴仪,得出3个主应力与3个主应变间的关系,也只能给出3个硬化参数随应力变化的规律。,多假定了硬化参数是无效的。实际上,假定3个硬化参数已经很勉强,会使模型很复杂,未必

17、是好的。双硬化参数模型是既能较好反映变形特性又较实用的模型,值得推荐。,4.关于应变增量方向,在应变空间内,应变增量的方向反映了各分量间的比例关系。无论哪种模型都要对此作出规定,才能算得6个应变分量。主要有两类假定:一是叠加原理,由此得出广义虎克定律;一是流动法则。,前者导致应变增量方向决定于应力增量,后者导致它决定于应力状态。前者的缺点是不能反映剪胀性和正应力对剪应变的影响;后者的缺点是所形成的柔度矩阵主对角线元素不占优。已证明：,如何克服上述两类假定中的缺点,是否可提出新的假定避免这些缺点,是以后值得深入探讨的课题。当前从实用角度出发,将两类假定结合起来,即假定塑性变形一部分服从流动法则,

18、另一部分服从广义虎克定律,可取长补短,达到好的应用结果。土体本构模型含有几层假定,分析假定和改进假定,可望以后有突破性进展。,4-6 中国最著名岩土本构模型,4-6-1 概述,土的力学本构关系通常是指土的应力应变强度时间关系，其数学表达式即为本构模型或者本构方程。作为天然地质材料的土体，由于其结构的非连续性和分布的随机性，在力学性能上一般表现出非线性、弹塑性、流变性、各向异性和非均质性。,土应力应变关系十分复杂，它与土的应力水平、应力历史和应力路径有关；也与土的状态、组成、结构、温度、环境等因素密切相关。早期土的变形计算主要是基于线弹性理，而土的塑性理论应用的是完全塑性的模型，屈服准则与强度准

19、则是一致的。,在刚塑性和弹性完全塑性模型的基础上，各种极限分析和极限平衡方法得到了发展。现代计算机技术为土的非线性分析提供了可能性，而大型土木工程的建设使这种分析成为必要。因而只有在 20 世纪 60 年代以后土的本构关系模型的研究才得以蓬勃发展。,Roscoe 与他的同事提出剑桥模型，开创了土的增量弹塑性本构模型的先河。随后各国学者提出了上百种土的弹塑性本构模型，包括单一屈服面、双屈服面及多屈服面的模型。,其主要特点是首先假设屈服面：有人基于土是摩擦材料这一认识，将屈服轨迹假设为一组直线或者是微弯的射线，在三维应力空间就是一组锥形屈服面；也有人看到在各向等压下土的明显的不可恢复的塑性体应变，

20、而假设一组帽子屈服面。,例如 Drucker 等就提出在 Mohr-Coulomb 锥形屈服面上再加上一组硬化帽形屈服面；还有人假设土同时具有这两组屈服面，建立了双重屈服面弹塑性模型或者综合两种情况的普遍形式的屈服面。,4-6-2 殷宗泽双屈服面模型,殷宗泽双屈服面模型假定,土体的塑性变形dp由两部分组成。一种是与土体的压缩有关,另一种与土体的膨胀有关,用dp1和dp2分别表示这两部分应变,则总塑性应变为:dp=dp1+dp2,殷宗泽模型屈服准则：,对（1）、（2）分别求导可得：,通过模型参数的求解及验证,得出殷宗泽双屈服面模型对淤泥质粘土等软粘土具有较好的适应性,能够较好地反映土体应力应变关

21、系的实际情况。,4-6-3 沈珠江双屈服面模型,已经被广泛地应用于高土石坝等土工建筑物应力位移分析中。也称为南水模型。,沈珠江模型中，采用双屈服面假定，建议的双屈服面为：,对于平面应变条件，沈珠江双屈服面模型的弹塑性矩阵为：,4-6-4 土的清华弹塑性模型及其发展,在为数众多土的弹塑性模型中，清华弹塑性模型以其独特的建模方法引起国内外学者的关注。黄文熙先生最早提出土的弹塑性模型的屈服面不应人为假设，应当通过试验结果直接确定塑性势函数，然后根据 Drucker 假说即相 适应的流动规则，选择合适的硬化参数。,塑性理论规定塑性应变增量的方向是由应力空间的塑性势面g决定，在应力空间中，各应力状态点的

22、塑性应变增量方向必须与通过该点的塑性势面相垂直。因此，流动规则也叫正交定律，这一规则实质上是假设在应力空间中一点的塑性应变增量的方向是唯一的，即只与该点的应力状态有关，与施加的应力增量的方向无关。,使模型的屈服面与塑性势面重合，建立土的弹塑性模型。在这一思想的指导下，在对各类土的大量的试验成果基础上，于20世纪7080年代建立了土的清华弹塑性模型。,随后又发展了三维的弹塑性模型形式。该模型在高土石坝、地基基础和桩基础工程等方面得到了应用。在以后的 20 多年中，李广信继承这一建模思路，发展了这一模型，提出了计算土的湿化变形、非饱和土的增湿变形、反映土的应变软化、减载与循环加载的清华弹塑性模型。

23、,清华弹塑性模型是以黄文熙为首的清华大学研究组提出的。在这个模型中，除了 Drucker 公设以外， 未作任何补充假设。它直接从土的试验资料确定塑性势函数 g，按照相适应流动法则，令 g = f；然后确定合适的硬化参数，合理地反映土的应力应变关系。模型保证了解的惟一性。,通过真三轴试验及平面应变试验，利用该模型的建模方法，在平面上确定了一种双圆弧的屈服轨迹，从而建立了该模型的三维形式，提出了相应的流动规则表达式。,在小浪底堆石料的三轴湿化试验基础上，发现湿化应变作为一种塑性应变与通过该点的屈服面正交，因而只需分别确定干土与饱和土的清华弹塑性模型的参数，同时进行各向等压条件下的湿化试验，测量其湿

24、化体应变，就可以计算出在任意应力状态下浸水湿化的应力应变全过程。,与湿化的清华模型相似，进行了不同含水率的土的三轴试验，并进行在干土试样中预加冰屑然后在指定应力状态下使其融化均匀增湿的三轴试验，发现屈服函数不变，硬化参数可以表示为塑性应变和含水率的函数，从而绕过了基质吸力这一变量，建立了非饱和土的清华模型，试验表明它可以合理地预测从干试样增湿到其他含水率的应力应变全过程。,密实的永定河砂的试验表明，在相同应力状态下，应变硬化段与应变软化段的塑性应变增量的方向是 一致的，将硬化参数表示为塑性功的函数，则可以描述土的应变软化，模型试验结果表明了建立的反映应变软化的清华模型可以合理地计算浅基础的荷载

25、沉降关系。,将等向硬化改为旋转硬化，就可以计算砂土在减载和循环加载下的应力应变关系。清华弹塑性模型是一个具有很大发展空间的模型。,4-6-5 郑颖人广义塑性力学本构模型,岩土类材料是由颗粒材料堆积或胶结而成,属于摩擦型材料。摩擦材料的特点是抗剪强度中含有 摩擦力项,它的抗剪强度随压应力的增大而增大,因而岩土材料的屈服条件与金属材料明显不同,称 此为岩土的压硬性,即随压应力的增大岩土的抗剪强度与刚度增大。,岩土为多相材料,岩土颗粒间有孔隙,在各向等压作用下,岩土颗粒间的水、气排出,产生塑性体变,出现屈服,称为岩土的等压屈服特性。金属材料在各向等压作用下是不会产生塑性体变的。,岩土的体应变还与剪应

26、力有关,即在剪应力的作用下岩土会产生塑性体变(剪胀或剪缩),一般称为岩土的剪胀性(含剪缩)。这在力学上表现为球张量与偏张量的交叉作用,即球应力会产生剪变(负值),这也是压硬性的一种表现;反之,剪应力会产生体变。纯塑性金属材料是不具有这一特性的。,多数岩土工程都处于弹塑性状态,因而岩土塑性在岩土工程的设计中至关重要。早在1773年Coulomb提出了土体破坏条件,其后推广为Mohr-Coulomb条件。1857年Rankine研究了半无限体的 极限平衡,提出了滑移面概念。1903年Kotter建立了滑移线方法。,Fellenius (1929)提出了极限平 衡法。以后Terzaghi、Sokol

27、ovskii又将其发展形成了较完善的岩土滑移线场方法与极限平衡法。1975年, W. F. Chen在极限分析法的基础上又发展了土的极限分析法,尤其是上限法。,不过上述方法都是在采用正交流动法则的基础上进行的。滑移线法 与极限分析法只研究力的平衡,未涉及土体的变形与位移。20世纪50年代开始,人们致力于岩土本构模型的研究,力求获得岩土塑性的应力-应变关系,再结合平衡方程与连续方程,从而求解岩土塑性问题。,70年代发现,用一个塑性势面和屈服面很难使计算结果与实际吻合;采用正交流动法则既不符合岩土实际情况,还会产生过大的体胀。由此,双屈服面与多重屈服面模型、非正交流动法则在岩土本构模型中应运而生。

28、,经典塑性力学用于岩土类材料的问题,它采用了3个不符合岩土材料变形机制的假设。从固体力学原理直接导出广义塑性位势理论,将经典塑性力学改造为更一般的塑性力学广义塑性力学。,广义塑性力学采用了塑性力学中的分量理论,能反映应力路径转折的影响,并避免了采用正交流动法则所引起的过大剪胀等不合理现象,也不会产生当前非关联流动法则中任意假定塑性势面引起的误差。给出了广义塑性力学的屈服面理论、硬化定律和应力-应变关系,并建立了考虑应力主轴旋转的广义塑性位势理论。,屈服条件是状态参数,也是试验参数,只能由试验给出。应用表明,广义塑性力学可作为岩土材料的建模理论,还可应用于诸如极限分析等土力学的诸多领域,具有广阔

29、的应用前景。,在经典塑性力学中,塑性应变增量方向唯一地由势函数确定,与应力增量无关;在广义塑性力学中,三 个塑性应变增量分量方向由三个塑性势函数确定,此时塑性应变增量方向不仅与应力状态有关,还会与应力增量有关。,在经典塑性力学中,屈服面主要是用来确定塑性应变增量的大小,即确定塑性系数d;在广义塑性力学中,三个屈服面用来确定三个塑性应变增量分量的大小,即确定三个塑性系数。,正是因为屈服面用来确定相应势面上塑性应变增量的大小,因而 屈服面与塑性势面必须保持对应,但不要求相同。 屈服条件一般由真三轴实验拟合得到。,经典塑性力学的假设之二是采用关联流动法则,而岩土材料不适合关联流动法则,即塑性势面与屈服面不同。其实塑性应变增量矢量的方向由塑性势面确定,而大小由屈服面确定。可见,塑性势面与屈服面必然相关,但相关只要求塑性势面与屈服面两者相应,并