2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数

1、2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,定义,1. 隐函数的定义,的形式给出，则称这种形式所确,的形式称为,显函数.,如果函数y与自变量x之间的关系由二元方程,定的函数为隐函数.,隐函数的显化.,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,多数情况下隐函数不能显化.,例如，,隐函数不易显化或不能显化时如何求导?,2. 隐函数的求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,问题,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,例1,解,，代入方程,将此等式两边同时对x求导,得,用复合函数求导法,2.4 隐函数与参数方程所确

2、定的函数的导数,例2,解,将上面方程两边再对,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,例3,解,根据导数的几何意义，所求切线斜率就 是椭圆方程确定的隐函数在（3，4）点 处的导数值.,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,3. 对数求导法,(1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数.,有些函数虽然是显函数，但直接求导比较困难，可以利用对数性质使函数的求导变得更为简单. 例如形式,对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导法求出导数.,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,例4,解,等式两边取对数得,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,解,例5,等式两边取对数得,2

3、.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,例6,设 ，求 .,解,等式两边取对数得,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,二、由参数方程所确定的函数的导数,在研究植物生长情况时，有时需要考察相关变量如植物质量、植物高度、土壤水分等之间的关系，而这些变量都是随着时间变化的，可以看作时间的函数，因此，我们就可以通过时间变量来分析这些变量之间的关系.,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,一般地，变量x、y的关系由参数方程,确定，,为由参数方程所确定的函数.,例如,消去参数,消参困难如何求导？,问题,称由此关系所确定的函数,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,则,单调连续的反函数

4、,利用复合函数及反函数的求导法得,或,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,不必记公式，重点理解求导过程！,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,例7,求椭圆参数方程 所确定,的函数的一、二阶导数，并求曲线在,处的切线方程与法线方程.,解,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,处的切线斜率,故所求的切线方程为,法线方程为,即,即,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,例8,已知抛射物体的初始运动速度,与水平夹角为 ，,的运动速度的大小和方向.,求物体在任意时刻t时,解,运动方程为,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,所以在时刻 t 物体的运动速度大小为,物体的运动方向就是物体的运动轨迹的切线方向.,由导数的几何意义可知，倾角 可用切线斜率反映，,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,物体运动达到最高点时，,坠落地面时，y=0，,得,得,又,此时，,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数,内容小结,1.隐函数的求导法则,直接对方程两边求导;,2.对数求导法,实质上是利用复合函数及反函数的求导法则.,对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;,3.参数方程求导,2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的