解三角形应用举例的知识点

1、准备方向应该明确考什么如何测试我们可以利用正弦定理和余弦定理的知识和方法来解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。1.检查正弦和余弦定理在解决与角度、方向、距离和测量相关的实际问题中的应用。2.有选择题、填空题和回答题，属于中低年级的问题。归纳知识整合1.用正弦定理和余弦定理解决三角形的常见问题测量距离、高度、角度、计算面积、导航、物理等。2.实际应用中的常用术语术语名称术语含义图示仰角和俯角在目标视线和水平视线之间的角度中，水平视线上方的目标视线称为仰角，水平视线下方的目标视线称为俯角方位角从某点的北行线顺时针方向到目标方向线的水平角度称为方位角。方位角的范围是(0，360)方向角正北或正南

2、方向线与目标方向线形成的锐角通常表示为北(南)到东(西)的角度示例：(1)从北到东m:(2)南偏西n:倾角坡度和水平面之间的角度假设倾斜角为，斜率为I，那么I=tan 倾斜斜坡的垂直高度h与水平宽度l之比询问 1。仰角、俯角和方位角有什么区别？有人认为这三个参考是不同的。仰角和俯角相对于水平线，而方位角相对于正北方向。2.如何使用方位角和方向角来确定一个点的位置？建议利用方位角或方向角以及目标与观测点之间的距离来唯一确定点的位置。自测1.如果从a到b的仰角是，从b到a的俯角是，则和之间的关系是()A.B.=C.+=90 D.+=180分析：根据仰角和俯角的定义，选择B表示=。2.两个灯塔A和B

3、与海岸观测站C之间的距离相等。灯塔甲在观测站以南40度，灯塔乙在观测站以南60度，那么灯塔甲在灯塔乙的()内A.从北到东10 B .从北到西10C.东80度南80度西80度南分析：根据条件和数字，甲乙=40，乙丙=60，所以甲丙=30，乙丙=10，所以甲灯塔在乙灯塔以西80 .3.如图所示，为了测量障碍物两侧的甲和乙之间的距离，给定以下四组数据，是()不能确定甲和乙之间的距离A.，a，b . b .，aC.a，b， D.，b分析：选择甲，乙可以通过正弦定理得到，然后乙可以通过余弦定理确定。选项C可以由余弦定理决定。选项D与选项b相似.4.(课本练习改编)海上有三个小岛。根据测量，甲和乙之间的距

4、离为10海里，BAC=60，ABC=75，因此乙和丙之间的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：从正弦定理可知。获得BC=5海里。答案：55.(课本练习改编)如图所示，一座城市的电视塔光盘建在郊区的一座小山上，小山的高度BC为35米，地面上有一个点A，测得的A和C之间的距离为91米，从A看电视塔光盘的视角为45度。 那么这个电视塔的高度光盘是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _分析：AB=84，谭cab=。CD=169，从=tan(45cab)=开始。回答：169测量距离问题示例1可以看到河

5、对岸有两个目标a和b，但是无法到达。在岸上选择两个相距千米的点c和d。同时，ACB=75，巴塞尔公约秘书处=45，模数转换器=30，亚银=45(甲、乙、丙、丁自治解如图所示，在ACD中，ACD=120，计算机辅助设计=模数转换器=30，因此交流=直流=。在BCD中，BCD=45，BDC=75，CBD=60，正弦定理称之为BC=。在ABC中，根据余弦定理，ab2=ac2 bc2-2 bccosACB=(2 2-2co 75=3 2-=5，所以AB=km。因此，a和b之间的距离是千米。在这个例子中，如果两点a和b被放置在河的两岸，测量器与a在河的同一侧，点c被选择在交流距离335433543354

6、3354335433543354333寻找距离应注意的事项(1)选择或确定要创建的三角形，首先确定该量所在的三角形，如果知道其他量，直接求解；如果有未知量，未知量将在另一个确定的三角形中求解。(2)确定是使用正弦定理还是余弦定理，如果两者都可用，选择更便于计算的定理。1.如图所示，一条河的两岸可以看作是平行的。为了测量河道断面的宽度，在河道断面的一边选择两点a和b，观察另一边的点c，测量cab=75，CBA=45，ab=100m米。解决方案：cab=75，CBA=45，ACB=180-CAB-CBA=60.根据正弦定理，BC=.如图所示，如果BD在交叉点B处垂直于另一个河岸，并且垂足为D，那么

7、BD的长度就是河流断面的宽度。在RtBDC中，BCD=CBA=45，sinBCD=，bd=bcsin 45=辛45=米，河断面的宽度是100米.高度测量问题例2当某人朝塔的东南偏西60度方向行驶40米后，他看到塔在东北方向。如果塔顶的最大仰角是沿途测量的30度，则询问塔的高度。自治解如图所示，有人在c，AB是塔的高度，他沿着CD走，此时CD=40，DBF=45。当穿过b点时，如e中的BECD，则aeb=30。在BCD中，光盘=40。DBC=135，从正弦定理，我们得到=，那么BD=20。*溴化二苯醚=180-135-30=15。在RtBED中，15=20=10(-1)。在RtABE中，aeb=

8、30。那么ab=30=(3-)。因此，塔高为(3-)米.3354335433543354335433543354333处理身高问题的注意事项(1)在处理高度问题时，理解仰角和俯角是关键(视线在水平线上下的角度分别称为仰角和俯角)。(2)在实际问题中，可能会遇到同时研究空间和平面(地面)的问题。此时，最好画两个图形，一个空间图形和一个平面图形，这是明确的，不容易出错。(3)高度问题一般是将其转化为三角形的问题，所以要注意角关系在三角形中的应用。如果是空间问题，我们应该注意空间图形和平面图形的结合。2.如图所示，在山脚下有一座小型的塔AB。在底部B测得的顶部C的仰角为60，在顶部C测得的顶部A的俯

9、角为45。众所周知，塔高AB=20米，山高CD计算。解决方法：如图所示，让CD=x m，Ae=(x-20) m，tan60=，那么BD=x m。在AEC中，x-20=x，X=10 (3)米。因此，山高的临界深度为10 (3)米.测量角度问题例3如图所示，在距离甲-1海里的甲、乙东北45海里处发现一艘走私船。我们在丙的反走私船距甲2海里，奉命以每小时10海里的速度追捕该走私船。此时，走私船正以每小时10海里的速度从B向东北方向30度方向逃离。问：需要并找出所需的时间。自动回答如果反走私船沿着CD行驶t小时，走私船可以尽快被拦截(在d点)，那么CD=10 t海里，BD=10 t海里。在ABC中，根

10、据余弦定理，有BC2=AB2+AC2-2巴西卡=(-1)2+22-2(-1)2co 120=6。解决方案是BC=。而且，sinABC=，ABC=45，b点就在c点以东，CBD=90+30=120，在BCD中，根据正弦定理，=，sinBCD=.BCD=30，反走私船从北向东行驶60度。在BCD中，CBD=120，BCD=30，d=30， BD=BC，即10t=。时间=小时15分钟。反走私船应该向东北方向行驶60，以便尽快拦截走私船，这大约需要15分钟。3354335433543354335433543354333解决测角问题的注意事项(1)首先，方位的含义应该明确。(2)最关键和最重要的一步是分

11、析问题的含义，区分已知和所寻求的，然后根据问题的含义正确地画出示意图。(3)将实际问题转化为能用数学方法解决的问题后，注意联合运用3.如图所示，位于a的信息中心获悉，一艘渔船在b处遇险，该处距离其正东方向40海里，并在同一地点等待救援。信息中心立即通知位于c的b船，该船距其西南方向30海里，现在b船正沿着直线CB从北到东的方向向b处的救援船前进，寻找cos 的值。解决方案：如图所示，在ABC中，AB=40，AC=20，BAC120。根据余弦定理，BC2=AB2交流=20-2 ABAC 120=2800公元前=20。根据正弦定理，=sinACB=sinBAC=。从BAC=120，知道BAC是一个

12、锐角，cosACB=。当=ACB 30时，cos=cos(ACB 30)=cosacbcos30-sinacbsin 30=。1步骤解决三角形应用问题的一般步骤两个案例解决三角形应用问题的两个案例(1)将实际问题抽象概括后，已知量和未知量都集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。(2)对实际问题进行抽象概括后，已知量和未知量涉及两个或两个以上的三角形。这时，有必要制作这些三角形，首先用充分的条件求解三角形，然后逐步求解其他三角形。有时，需要设置未知量，从几个三角形中列出方程(组)，并求解方程(组)以获得所需的解。注意两点:解决三角形应用问题应注意的问题(1)画完示意图后，要注意寻找一些

13、特殊的三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等。从而优化问题解决过程。(2)求解三角形时，为了避免误差的积累，应尽可能使用已知数据(原始数据)，使用较少的间接量。创新的数形结合在解三角形中的应用三角函数在现实生活中被广泛使用。三角函数的应用问题是基于解三角形、正(余)弦定理和正(余)弦函数的知识，以测量、导航、筑路和天文学为代表的实际应用问题是高考应用问题的热点。要解决这样的问题，我们应该仔细检查问题，提炼主题信息，画一个示意图，并利用正弦定理结合数字和形状的思想。【示例】(广州模拟2013)在特定时间段内，以e点为中心的7海里范围内的海域被设定为警戒水域。在e点以北55海里处有一个雷达

14、观测站，在某个时间，测量到一艘匀速直线行驶的船舶位于a点东北45海里处，距离a点40海里，40分钟后，测量到该船已经向a点东北方向(45 )行驶。(1)计算船舶的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)如果船舶不改变航行方向继续行驶，判断是否进入警戒水域并说明原因。解决方案如图所示，AB=40，AC=10，BAC=，sin =。因为0 90，cos =。BC=10。因此，船的行驶速度是=15节。(2)方法1:如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，B点和C点的坐标分别为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC与X轴的交点为d .根据标题，x1=y1=ab=40，x2=ACcosCAD=10 cos

15、(45-)=30，y2=ACsinCAD=10 sin(45-)=20。因此，通过点b和c的直线l的斜率为k=2，直线l的方程式是y=2x-40。并且从点E(0，-55)到直线l=3 40=AQ，点Q位于点A和点E之间，而QE=AE-AQ=15。如果EPBC在点p穿过点e，那么EP是从点e到直线BC的距离。在RtQPE中，PE=QE sinpqe=QE sinaqc=QE sin(45-ABC)=15=3 7。因此，船将进入警戒水域。1.对于问题(1)，已知在两边之间有一个角，用余弦定理可以得到BC的长度，用它除以行驶时间可以得到速度；对于问题(2)，将BC交线AE延伸到Q点，然后在ABQ中，

16、通过正弦定理得到AQ的长度和判断点Q的位置，最后在QPE中，结合已知条件进行判断。2.要解决这样的问题，首先，根据问题的含义画一张示意图是解决问题的关键；将条件归纳成三角形是基本策略；合理应用正弦和余弦定理，注意与平面几何的结合，有助于问题的解决。某个港口想用小船把一件重要的东西送到一艘帆船上。当船离开时，船位于A处，西北30度，距离O港20海里，并以每小时30海里的速度在正东方向以恒定速度行驶。假设船以每小时五海里的速度匀速直线前进，并在三小时后与船相遇。(1)如果你想在相遇时小艇的航行距离最小，小艇的航行速度是多少？(2)假设小艇的最大航行速度只能达到30节，尽量设计航行方案(即确定航行方向和速度)，使小艇能在最短时间内与船相遇，并说明原因。解决方法：(1)假设相遇时小艇的航行距离为S海里，则s=。因此，当t=，smin=10，v=30时。也就是说，船以每小时30海里的速度航行，当它相遇时，船的航行距离最