数据资料的特征值.ppt

1、第二章 数据资料的特征值,离散性特征值,集中性特征值,生物学数据资料（观测值）的分布具有两个重要的特征：,集中性,离散性,观测值向中心位置聚集的趋势,反映数据资料集中性的特征值是平均数,观测值偏离中心位置的分散情况,反映数据资料离散性的特征值是极差、方差、标准差和变异系数等,众数,算术平均数,几何平均数,调和平均数,中位数,第一节 集中性特征值,平均数（mean）是统计学中最常用的统计量，用来表明数据中各观测值相对集中较多的中心位置，反映了一组观察值的平均水平，是一组数据资料的代表值, 可以用来说明一组数据资料的平均水平或集中趋势，具有典型性, 可以用来进行组间比较，以判断一组数据资料与另一组

2、数据资料的差别，具有代表性,平均数的作用：,1. 算术平均数,算术平均数（arithmetic mean）：数据资料中各观测值的总和除以观测值的个数所得的商，简称平均数或均数。记为,1.1 基本概念, 算术平均数适合描述对称分布资料的集中趋势,1.2 计算公式,观测值为 ：x1，x2，xn，则：,对于总体来说，则有：,设有一随机变量x，,1.3 重要性质,样本各观测值与平均数之差的和为0，即离均差之和为0,证 明,样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和最小,证 明,则有：,1.4 加权平均数,对于样本容量30且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数,xi 第

3、i组的组中值,fi 第i组的次数,k 组数,采用加权法计算得到的平均数就称为加权平均数（weighted mean）,加权平均数不具备算术平均数的两个性质,几何平均数（geometric mean）: n个观测值相乘之积的n次方根, 适用于利率、畜禽数的增长率、药物的效价、抗体的滴度等非线性数据,例1 为研究人群中流感的抗体水平，测得12名儿童的血清对流感病毒的血凝抑制抗体效价的倒数为：5，5，5，5，5，5，5，10，10，10，20，40，试计算平均血凝抑制抗体效价。,解：,答：平均血凝抑制抗体效价约为18,平均血凝抑制抗体效价约为110,2. 几何平均数,3. 调和平均数,调和平均数（h

4、armonic mean）：资料中各观测值倒数的算术平均数的倒数, 调和平均数主要适用于速度类的资料，或有个别极端大观测值的数据资料,4. 中位数,中位数（median）：将资料中所有观测值按从小到大依次排列，位于中间位置的那个观测值，简称为中数,5. 众数,众数（mode）：在数据资料中出现次数最多的一个观测值或次数最多一组的组中值,有的资料可出现多个众数，有的资料则没有众数,当观测值的个数是偶数时，以中间两个观测值的平均数作为中位数, 数据资料呈偏态分布或分布情况不清楚时，中位数的代表性优于算术平均数,第二节 离散性特征值,平均数主要是用来说明数据的集中趋势和集中程度的，是一组数据的代表值

5、,平均数的代表性如何，还要看数据的变异情况：,数据越是集中，,则平均数的代表性就越强,仅用平均数对一个数据资料的特征进行统计描述是不完善的，还必须要有另外一个统计量来衡量数据变异程度的大小、说明平均数的代表性,数据越是分散（离散），则平均数的代表性就越弱,用来衡量数据变异程度的统计量有很多，常用的有：极差、方差、标准差和变异系数,1. 极差,极差（range）：数据资料中最大观测值与最小观测值之间的差, 极差主要用来说明传染病和食物中毒的最短、最长潜伏期,（1）没有充分利用数据中全部观测值的信息,优点：极差是衡量数据资料变异程度大小的最简便的统计量,缺点：,（2）不能准确反映数据中各观测值的分

6、布状况,（3）样本之间难以进行比较,（4）极差的抽样误差较大，不稳定,2. 方差,极差：仅用全部观测值中较为特殊的两个点值，比较粗糙,充分利用数据资料中的每一个观测值，将每一观测值都和某一个特定的值相比，,可以求出每一个观测值与平均数的差值，即离均差,有多少个观测值就可以得到多少个离均差，还是不能说明整个数据资料的变异程度,将各个离均差相加是最简单的方法，, 可以用离均差平方和来衡量数据的变异程度,仅仅进行简单地相加，还是不能反映数据资料中所有观测值的总偏离程度,最理想的特定值就是平均数,根据平均数的第二个性质可知，离均差平方和最小，也就是说将离均差平方后相加之和是最稳定的一个值，而且这个值不

7、等于0,离均差平方和简称为平方和（sum of squares），用SS表示,样本平方和：,总体平方和：,用平方和衡量数据的变异程度：,离均差平方和消除了离均差正、负值的影响,离均差平方和的大小除了与变异程度有关外，还随样本容量的大小而改变,为了消除样本容量大小的影响，可以取其平均数，即用平方和除以样本容量，即,平方和的平均数称为方差（variance）,为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计量，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本容量n，而用自由度n-1,样本方差：,总体方差：,样本均方S2是总体方差2的无偏估计值,3. 标准差,用方差衡量数据的变异程度：,同类资料进行比较时，方差越

8、大就意味着数据资料的变异程度越大，因此方差是衡量数据资料变异程度的一个重要指标,方差是通过平方求和得来的，在对观测值进行平方的同时，它的单位也相应地进行了平方，因此在实际应用时很不方便,样本方差S2的平方根称为样本标准差（standard deviation）,3.1 关于自由度的讨论,（1）对于样本容量为n的样本来说，每一个观测值都要与平均数相比，都有一个离均差，即有n个离均差，但由于受到“离均差之和为0”的限制，其中只有n-1个离均差是自由的，有一个离均差必定失去自由,（2）在统计学中，计算某个统计量时，如果该统计量受到了k个条件的限制，那么它的自由度就为n-k,（3）使用自由度的目的之一

9、就是为了能无偏地估计总体方差,总体方差2的平方根称为总体标准差,3.2 标准差的计算,（1）直接法,对于未分组或小样本资料，可用标准差的概念公式来直接计算：,（2）校正值法,大样本资料一般采用校正值法,（3）加权法,对于分组资料可用加权法计算标准差：,3.3 标准差的性质,（1）标准差的大小，受数据资料中每个观测值的影响,观测值间变异大，标准差大；观测值间变异小，则标准差小,（2）各观测值同时加减一个常数，标准差不变,（3）各观测值乘上一个常数a，所得标准差将扩大a倍，各观测值除以一个常数a，所得标准差将缩小a倍,（4）标准差可以近似地估计观测值的分布情况。当资料服从正态分布时，观测值的分布为：,68.26%的观测值分布在的范围内,95.45%的观测值分布在2的范围内,99.73%的观测值分布在3的范围内,1.96的范围内包含了95%的观测值,2.58的范围内包含了99%的观测值,4. 变异系数,标准差是衡量数据变异程度的最好特征值，标准差的大小说明了数据的变异程度,当两个性质、单位