机械工程控制基础第五版-第五章系统的稳定性

1、第五章 系统的稳定性,内容提要,5.1 系统稳定性的初步概念 5.2 Routh稳定判据 5.3 Nyquist稳定判据 5.4 Bode稳定判据 5.5 系统的相对稳定性,本章重点,本章难点,(1)Routh判据、Nyquist判据 和Bode判据的应用； (2)系统相对稳定性；相位裕 度和幅值裕度的求法及其在 Nyquist图和Bode图上的表示 法。,Nyquist判据及其应用。,5.1 系统稳定性的初步概念,5.2 Routh稳定判据,Routh判据：通过系统特征方程的各项系数进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件。从而判别系统的稳定性，是一种时域判据。,一、系统稳定的必要条件,二、

2、系统稳定的充要条件,对于二阶系统：充要条件a20,a10,a00 三阶系统：充要条件 a30, a20,a10,a00,且a1a2a0a3 例：略 p161 例：设系统传函方框图如图示，已知=0.2，Wn=86.6，试确定为何值，系统方能稳定。,例3：题略 p163,三、Routh判据特殊情况,(1)如果在Routh表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。于是Routh表的计算无法继续。为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算Routh表的其余各元。若上下各元符号不变，且第一列元素符号均为正，则系统特征根中存

3、在共轭的虚根。此时，系统为临界稳定系统。,例:设系统特征方程为D(s)=s3-3s+2=0,试判别系统稳定性. 解:列Routh表: S3 1 -3 S2 0 2 S1 -3-2/ 0 S0 2,(改变符号一次),(改变符号一次),Routh表中第一列符号不一致,系统不稳定, 有两个具有正实部的根.,(2)如果在Routh表中任意一行的所有元素均为0，Routh表的计算无法继续。此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成Routh表的下一行。这样，Routh表中的其余各元就可以计算下去。 出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根(系

4、统自由响应发散，系统不稳定)，或存在实部符号相异、虚部数值相同的两对共轭复根(系统自由响应发散，系统不稳定)，或存在一对共轭的纯虚根(即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定)，或是以上几种根的组合等。这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。,例5:设系统特征方程为 D(s)=s5+2s4+24s3+48s2-25s-50=0 试用Routh判据判别系统的稳定性. 解:列Routh表: S5 1 24 -25 S4 2 48 -50 S3 0 0 0 由第二行各元构造辅助方程: 2s4+48s2-50=0 (注意s的幂次) 取F(s)对s的导数

5、:8s3+96s=0 S3中各元可用此方程中系数8和96代替,得Routh表如下:,S5 1 24 -25 S4 2 48 -50 S3 8 96 0 S2 24 -50 0 S1 112.7 0 S0 -50 (符号改变一次) 该系统包含一个具有正实部的特征根,系统不稳定. 解辅助方程 s=1,s=5j,5.3 Nyquist稳定判据,Nyquist判据也是根据系统稳定的充要条件导出的一种闭环系统稳定判别方法，它将系统特性从复数域引到频域来分析，利用图解法来判断闭环系统的稳定性，是一种几何判据。,Nyquist判据的主要特点： （1）通过图解法来判别系统稳定性； （2）应用Nyquist判据

6、可通过分析系统的开环频率特性来判断其闭环的稳定性； （3）可判定系统的绝对稳定性和相对稳定性； （4）能指出组成系统各环节对系统性能的 影响。,5.3 Nyquist稳定判据,一、预备知识 1、辅助函数及其与开环、闭环传函零点与极点的关系； 2、映射概念 3、幅角原理（映射定理） 二、Nyquist稳定判据 1、s平面封闭曲线的选择 2、幅角定理的推广 3、Nyquist稳定判据 三、开环含有积分环节时的Nyquist轨迹 四、关于Nyquist判据的几点说明 五、Nyquist判据应用举例,一、预备知识,1、辅助函数及其与开环、闭环传函零点与极点的关系 如图所示闭环系统，其闭环传函为,其闭环

7、传函为,令F(s)=1+G(s)H(s)，则F(s)=0为闭环系统特征方程。 比较这三个式子： GB(s) F(s) GK(s) 零点 极点 零点 极点 零点 极点,2、映射概念 若函数F(s)=Re(s)+jIm(s)，而s=+jw，则在复平面s上每个点都能在复平面F(s)上找到其相应的像点，这种对应关系叫映射；而平面F(s)上的像点，则称作映射轨迹。 例：F(s)=s2，s=1+2j,jw,s,F(s),Re,Im,3、幅角原理（映射定理）,二、Nyquist稳定判据,1、s平面封闭曲线的选择,2、幅角定理的推广 特征函数F(s)=1+G(s)H(s)满足映射定理 N=Z-P 稳定的系统特

8、征函数在平面s的右半部应没有零点，即z=0 N=-P 系统稳定性的充要条件进一步阐述为：若平面s的虚轴不包含F(s)的极点，则当s沿-jj顺时针方向转一周时，其在平面F(s)上的映射轨迹LF必须逆时针包围原点P次，系统才能稳定；否则，不稳定。,3、Nyquist稳定判据 我们要将判据建立在开环的基础上，因此需要对（5.3.3）的含义作一些变更： （1）将F(s)的极点数P理解为开环传函G(s)H(s)的极点个数； （2）将特征函数平面F(s)转换成开环传函平面G(s)H(s),（3）平面s上，将-jj组成的曲线，换成仅由虚轴（即-jj）代表的曲线。 综上所述，Nyquist判据表述如下：,例1：,三、开环含有积分环节时的Nyquist轨迹,四、关于Nyquist判据的几点说明,（1）Nyquist判据不是在s平面而是在GH平面上判别系统的稳定性； （2）Nyquist判据的应用很简单； （3）开环稳定，闭环可能不稳定；开环不稳定，闭环仍可能稳定； （4）开环Nyquist轨迹是实轴对称的。,五、Nyquist判据应用举例,5.4 Bode稳定判据,Nyquist判据是利用开环频率特性的极坐标图来判定闭环系统的稳定性的。如果将开环极坐标图改画成开环对数坐标图，即Bode图，同样可以利用它来判定系统稳定性。这种方法称为对数频率特性判据，简称为对数