试验的方差分析.ppt

1、第2章 试验的方差分析,问题的提出: 先看一个例子： 考察温度对某一化工厂产品的得率的影响，选了五种不同的温度。,总平均得率=89.6%,要分析温度的变化对得率的影响,从平均得率来看，温度对得率的影响? 1)同一温度下得率并不完全一样，产生这种差异的原因是由于 试验过程中各种偶然性因素的干扰及测量误差等所致，这一 类误差统称为试验误差； 2)两种温度的得率在不同的试验中的倾向有所差别。如65oC 与70oC相比较，第一次65oC比70oC好，而后二次70oC比 65oC好。 产生这种矛盾的现象也是由于试验误差的干扰。 由于试验误差的存在，对于不同温度下得率的差异自然要提出 疑问，这差异是试验误

2、差造成的，还是温度的影响呢?,1) 由于温度的不同引起得率的差异叫做条件变差； 例中的全部15个数据，参差不齐，它们的差异叫做总变差( 或总离差)。产生总变差的原因一是试验误差，一是条件变 差。 2) 方差分析解决这类问题的思想是： a. 由数据的总变差中分出试验误差和条件变差，并赋予它们的 数量表示； b. 用条件变差和试验误差在一定意义下进行比较，如两者相差 不大，说明条件的变化对指标影响不大；反之，则说明条件 的变化影响是很大的，不可忽视； c. 选择较好的工艺条件或确定进一步试验的方向；,变差的数量表示： 有n个参差不齐的数据x1, x2, , xn,它们之间的差异称为变差。 如何给变

3、差一个数量表示呢? 1) 一个最直观的想法是用这n个数中最大值与最小值之差，即极差来表达，用R记之； 2) 变差平方和，以S记之。,S是每个数据离平均值有多远的一个测度，它越大表示数据间的差异越大。,对变差平方和的进一步讨论（1）： 例：测得某高炉的六炉铁水含碳量为: 4.59，4.44，4.53，4.52，4.72，4.55，求其变差平方和。,对变差平方和的进一步讨论(2)： 我们看到S的计算是比较麻烦的，原因是计算x时有效位数增加了，因而计算平方时工作量就大大增加。另外，在计算x时由于除不尽而四舍五入，在计算S时，累计误差较大。为此常用以下公式:,对于前面的例子,自由度的提出（1）： 例2

4、：在上例的基础上在同样的工艺条件下又测了四炉铁水，它们是：4.60, 4.42, 4.68, 4.54, 加上原来的六炉共十炉，求其变方和。,自由度的提出(2)： 平均数与过去的结果是相近的，但平方和是显著地变大了。我们要设法消除数据个数的多少给平方和带来的影响。 一个直观的想法是用平方和除以相应的项数，但从数学理论上推知这不是一个最好的办法，而应把项数加以修正，这个修正的数就叫做自由度。,自由度的提出(3)： 设有n个数y1, y2, , yn, 它们的平方和的自由度是多 少呢? 这就看yi 之间有没有线性约束关系，如果有m个(0mn)线性约束方程 a11y1+a12y2+ +a1nyn =

5、 0 a21y1+a22y2+ +a2nyn = 0 am1y1+am2y2+ +amnyn = 0,并且这m个方程相互独立，即方程系数矩阵的秩等于m, 则S的自由度是n - m.,自由度的提出(4)： 根据这个定义，如令yi = xi - (i=1, 2, , n) 则 显然yi之间有一个线性约束关系，即 即m = 1, a11 = a12 = = a1n = 1 所以变差平方和的自由度= n - m = n - 1,均方的概念： 平均平方和(简称均方)等于变差平方和除以相应的自由度f. 平均平方和以MS表示， 它的开方叫做均方差 对例1、MS = 0.043483/5 = 0.008696

6、6, 均方差为0.09326 对例2、MS = 0.07949/9 = 0.0088322，均方差为0.09398 我们看到六炉和十炉的MS是很相近的，这与工艺条件相同是吻合的，说明用MS反映波动的大小是更为合理的。,一. 方差分析的两类误差： 1. 随机误差： 因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异 比如，同一温度下产品的得率是不同的 这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差 2. 系统误差： 因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异 比如，不同温度之间的产品得率之间的差异 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于温度差异所造成的，后者所形成的误差是由系统

7、性因素造成的，称为系统误差,二. 方差分析的两类方差： 1. 数据的误差用平方和(sum of squares)表示，称为方差 2. 组内方差(within groups) 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 比如，同一温度下产品得率的方差 组内方差只包含随机误差 3. 组间方差(between groups) 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 比如，不同温度下产品得率之间的方差 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差,三. 方差的比较：,1. 若不同温度对产品得率没有影响，则组间误差中只包含随机误差，没有系统误差。这时，组间误差与组内误差经过平均后的数值就应该很接近，它

8、们的比值就会接近1； 2. 若不同温度对产品得率有影响，在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间误差平均后的数值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值就会大于1； 3. 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响。 判断温度对产品得率是否有显著影响，实际上也就是检验产品得率的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同温度对产品得率有显著影响。,四. 方差的基本假定：,1. 每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本 比如，每个温度下产品的得率必需服

9、从正态分布 2. 各个总体的方差必须相同 各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的 比如，五种温度下产品的得率方差都相等 3. 观察值是独立的 比如，每个温度下产品的得率与其他温度下产品的得率独立,2.1 单因素试验的方差分析（one-wayanalysisofvariance）,2.1.1 单因素试验方差分析基本问题 （1）目的：检验一个因素对试验结果的影响是否显著性 （2）基本命题： 设某单因素A有r种水平：A1，A2，Ar，在每种水平下的试验结果服从正态分布 在各水平下分别做了ni（i1，2，r）次试验 判断因素A对试验结果是否有显著影响,（3） 单因素试验数据表,2.1.2 单因素试

10、验方差分析基本步骤,（1）计算平均值 组内平均值 ：,总平均 ：,（2）计算离差平方和,总离差平方和SST（sum of squares for total）,表示了各试验值与总平均值的偏差的平方和 反映了试验结果之间存在的总差异,组间离差平方和 SSA （sum of square for factor A）,反映了各组内平均值之间的差异程度 由于因素A不同水平的不同作用造成的, 组内离差平方和 SSe （sum of square for error）,反映了在各水平内，各试验值之间的差异程度 由于随机误差的作用产生,三种离差平方和之间关系：,（3）计算自由度（degree of free

11、dom）,总自由度 ：dfTn1 组间自由度 ：dfA r1 组内自由度 ： dfe nr 三者关系： dfT dfA dfe （4）计算平均平方 均方离差平方和除以对应的自由度,MSA组间均方,MSe组内均方/误差的均方,（5）F检验,服从自由度为（dfA,dfe）的F分布（F distribution） 对于给定的显著性水平，从F分布表查得临界值F(dfA，dfe) 如果FA F(dfA，dfe) ，则认为因素A对试验结果有显著影响，否则认为因素A对试验结果没有显著影响,（6）方差分析表,若 FA F0.01(dfA，dfe) ，称因素A对试验结果有非常显著的影响，用 “* *”号表示；

12、若 F0.05(dfA，dfe) FA F0.01(dfA，dfe) ，则因素A对试验结果有显著的影响，用“*”号表示； 若 FA F0.05(dfA，dfe) ，则因素A对试验结果的影响不显著,单因素试验的方差分析表,例2-1：(单因素的方差分析) 人造纤维的抗拉强度是否受掺入其中的棉花的百分比的影响是 有疑问的。现确定棉花百分比的5个水平: 15%, 20%, 25%, 30%,35%。每个水平中测5个抗拉强度的值，列于下表。问： 抗拉强度是否受掺入棉花百分比的影响(0.01)?,解： （1）计算平均值 依题意，本例为单因素试验的方差分析，单因素为棉花 的百分比，它有5种水平，即r=5，在

13、每种水平下做了5次试验， 故ni=5（i=1,2,5）,总试验次数n=25。有关平均值的计算见表3-1,表3-1 例3-1 计算表,（2）计算离差平方和,（3）计算自由度,（4）计算均方,（5）F检验,说明棉花的百分比对人造纤维的抗拉强度有影响。,最后将有关计算结果列于方差分析表中。,2.2 双因素试验的方差分析,1. 分析两个因素(行因素Row和列因素Column)对试验结果的影响 2. 如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别判断行因素和列因素对试验数据的影响，这时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方差分析(Two-factor without replic

14、ation) 3. 如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方差分析 (Two-factor with replication ),双因素方差分析的基本假定： 1. 每个总体都服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布总体的简单随机样本 2. 各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的 3. 观察值是独立的,2.2.1 双因素无重复试验的方差分析 （1）双因素无重复试验,2.2 双因素试验的方差分析,（2）双因素无重复试验方差分析的基本步

15、骤,计算平均值 总平均 ：,Ai水平时 ：,Bj水平时：,计算离差平方和,总离差平方和： 因素A引起离差的平方和： 因素B引起离差的平方和： 误差平方和：,计算自由度,SSA的自由度：dfA r1 SSB的自由度：dfBs1 SSe的自由度：dfe（r1）（s1） SST的自由度：dfTn1rs1 dfT dfA dfB dfe 计算均方,F检验,FA服从自由度为（dfA,dfe)的F分布； FB服从自由度为（dfB,dfe)的F分布； 对于给定的显著性水平 ，查F分布表： F（dfA,dfe)， F（dfB,dfe) 若FAF （dfA,dfe)，则因素A对试验结果有显著影响，否则无显著影响

16、； 若FBF （dfB,dfe)，则因素B对试验结果有显著影响，否则无显著影响；,无重复试验双因素方差分析表,无重复试验双因素方差分析表,为了方便计算，我们采用下面的简便计算公式：,例2-2：(双因素无交互作用的方差分析) 使用4种燃料，3种推进器作火箭射程试验，每一种组合情况 做一次试验，则得火箭射程列在表中，试分析各种燃料(Ai)与 各种推进器(Bj)对火箭射程有无显著影响(=0.05),解: 这里r=4, s=3, rs=12,给出的=0.05, 查出F0.05(3, 6)=4.76, F0.05(2, 6) =5.14 因为F1=0.434.76, F2=0.925.14 故不同的燃料

17、、不同的推进器对火箭射程均无显著影响。,2.2.2 双因素重复试验的方差分析,（1）双因素重复试验方差分析试验表,双因素重复试验方差分析试验表,（2）双因素重复试验方差分析的基本步骤,计算平均值 总平均 ： 任一组合水平（Ai，Bj）上 ： Ai水平时 ： Bj水平时 ：,计算离差平方和,总离差平方和： 因素A引起离差的平方和： 因素B引起离差的平方和： 交互作用AB引起离差的平方和： 误差平方和：,计算自由度,SSA的自由度：dfA r1 SSB的自由度：dfBs1 SSAB的自由度： dfAB (r1)(s1) SSe的自由度：dfers(c 1) SST的自由度：dfTn1rsc1 df

18、T dfA dfB dfAB dfe,计算均方,F检验,若FAF （dfA,dfe)，则认为因素A对试验结果有显著影响，否则无显著影响； 若FBF （dfB,dfe)，则认为因素B对试验结果有显著影响，否则无显著影响； 若FABF （dfAB,dfe)，则认为交互作用AB对试验结果有显著影响，否则无显著影响。,重复试验双因素方差分析表,有交互作用的方差分析简化公式:,【例】城市道路交通管理部门为研究不同的路段和不同的时 间段对行车时间的影响，让一名交通警察分别在两个路段和高峰期与非高峰期亲自驾车进行试验，通过试验取得共获得20个行车时间(分钟)的数据，如下表。试分析路段、时段以及路段和时段的交

19、互作用对行车时间的影响,2.3 试验设计,1. 完全随机化设计 2. 随机化区组设计 3. 因子设计,试验设计与方差分析,完全随机化 设计,因子 设计,试验设计,随机化 区组设计,可重复双因素 方差分析,单因素 方差分析,无重复双因素 方差分析,完全随机化设计 (completely randomized design),1. “处理”被随机地指派给试验单元的一种设计 “处理”是指可控制的因素的各个水平 “试验单元(experiment unit)”是接受“处理”的对象或实体 2. 对完全随机化设计的数据采用单因素方差分析,【例】一家种业开发股份公司研究出3个新的小麦品种：品种1、品种2、品种3。为研究不同品种对产量的影响，需要选择一些地块，在每个地块种上不同品种的小麦，然后获得产量数据进行分析。这一过程就是试验设计的过程 。 这里的“小麦品种”就是试验因子或因素，品种1、品种2、品种3就是因子的3个不同水平，称为处理 假定选取3个面积相同的地块，这里的“地块”就是接受处理的对象或实体，称为试验单元 将每个品种随机地指派给其中的一个地块，这一过程就是