高等数学 下学期复习

1、第四章微分方程4.1方程的分类及其解和结构定理4.1.1一阶，可分离变量方程l一阶变量分离方程l同阶方程命令、4.1.2一阶线性非齐次方程诸胜成通解决方案通过标准形状。伯努利方程式零得4.1.3特殊二次方程约简方法l微分方程连续积分N次，通过包含微分方程N个随机常数得到。l命令l命令l第一积分法方程式0的第一个积分。这样，原方程就会下降一楼梯。特别是，二次方程式成为一次方程式。4.1.4二次(高阶)线性常数系数方程1.线性方程解的结构理论如果将定理1(叠加原理)牙齿同阶方程的解法设定为，那么其线性组合也是同阶方程的解法，这里的任意常数。定理2是非齐次方程的解，是相应的齐次方程的解，是非齐次方程

2、的解，这里的任意常数。定理3(通过二次同阶线性微分方程的结构)的和是方程(3)的两个线性无关特解是(任意常数)，通过方程(3)。二阶非均匀线性微分方程(4)有以下整理。定理4(通过二次非均匀线性微分方程的结构)被设定为方程式(4)的特解，以及方程式(4)对应的同阶线性方程式(3)的两个茄子线性无关解。(5)方程(4)的通。2.齐次方程特性方程综上所述，寻找二阶常系数齐次线性微分方程一般解的步骤如下：第一步是写微分方程特性表达式第二步是求出特性方程的两个根。第三步根据特征方程两根的情况，根据下表通过微分方程(3)编写性质方程式的两个根通过微分方程两个不相等的心室肌两个相等的实根负一对轭扎根。对于

3、高阶常数系数均质线性微分方程，您可以根据下表中提供的图征方程式的根建立相应的均质线性微分方程解决方案。特征方程式的根微分方程解决方案的相应主题短实肌一对短腹肌k心室肌k重复根给一个给两个如果给k，则给k:项提供2k项目：3.非均匀方程通过它是其中相应的同阶方程的解，非齐次方程的解。特殊值k是特征管线的迭代次数。特解k是特征管线的迭代次数。4.欧拉方程命令或，下一步，引入微分算子符号可以简化上述结果的记忆，如下所示而且，.一般来说4.2一般问题(1)示例问题例1通过拯救牙齿。其中是大于0的常数。:特征方程，特征根，通过齐次幂解。，特殊解决方案形式，其中，所以，赋予原始方程式通过范例2设定非均匀线

4、性微分方程两个茄子不同的解决方法，如果C是随机常数，则透过方程式：(A)C-，(B) C-，(C)C，(D) C:解除选举(b)例3设置为二次常数系数线性齐次方程的两个茄子特解，通过与该方程的讨论，充分条件如下：(A) (B)(C) (D)解决方案：(b)可以知道，即线性无关。求例4方程的特殊解法。解决方案：所以例5以下微分方程中，通过任意常数做的是()。(A) (B)(C)(D)解决方案：选择(d)示例6是通过对二次常数系数线性微分方程的特殊解释得出的。解决方案1:已知特征根因此，特征表达式为：因此，它取代了原始方程，得到了，通过了。解法2:用原始方程式代入得到所以例7设置，其中满意，然后.

5、-拜托，拜托解决方案：也就是说，解决方案范例8 .所有实数S和T都有。解除：命令所以，如果你代入初值，例9设置，这里是连续映射，请解决方案：，而且，、导入到原始表达式中，获取初始值范例10 .有大于零常数的方程，通过考试转换简化和求解方程。解决方案：代入原始方程进行整理：啊，解：，可以再次更换。示例11解决了微分方程组。(无需工程学科微积分，工程学科数学分析)解法：性质方程式：命令、因此，所以一般解决方案(b)练习L.线性无关函数都是二阶非齐次线性方程组的解法，在任意常数的情况下，通过牙齿方程的解如下。(A)(B)(C)(D) (D)2.我知道。二阶线性非齐次微分方程的三个茄子解法。取得牙齿微

6、分方程。（）追求满足的微型函数()4.可以放在函数上，满足方程，(1)求。(2)证明时，不等式：牙齿成立。（）4.3，微分方程应用节目(a)示例问题示例1曲线通过点(1，1)，任意点的切线等于法线在轴上的同一点处终止。求曲线方程。求解：曲线方程，求解曲线上的任意点，切线方程：，由于切线在Y轴上截断，法线方程式：法线在X轴上截断，因此方程式表示：或理解，通过，特别的范例2是平面曲线，从其上的所有点到座标原点的距离永远等于该点的切线从轴上截断，L通过该点。(1)试验曲线l的方程；(2)求L牙齿第一象限部分的切线，以最小化L和两个轴包围的图形的面积。根据问题(1)，设定通过曲线L牙齿点的切线方程式，

7、如下所示：如果X=0，则切线在轴上的终止点为用问题知道，点的话，方程就可以简化解了。通过l牙齿点即可。所以L的方程式是：也就是说(2)设定第一个象限内曲线位于点上的切线方程式，如下所示也就是说，轴与轴的交点分别为和，因此所需区域为没错，算了所以，解决方案当时，唯一的最小点(包括)，也就是最小点，因此切线为：也就是说例3具有质量的物体开始下落到静止，已知的空气阻力与下落速度成正比，比率系数求出(1)速度函数和距离函数：(2)极限速度。(3)寻找旅行和速度之间的函数关系。解法：(1)是牛顿第二定律解决方案：(2)极限速度；(3)有得海得岛州例4容器中含有100L的盐水，含有10kg的盐，现在以3L

8、/min的均匀速度向容器中注入净水(假设净水和盐立即协调)，以2L/min的均匀速度从容器中抽取盐水，60分钟后，问容器中的盐水中含有多少盐水。解密时盐水中的盐含量，根据问题的意思，包括期间盐量的变化量如下。(威廉莎士比亚、盐水、盐水、盐水、盐水、盐水、盐水)变量分离两端积分代入所以当t=60的时候，(b)练习1.一个湖的水是v，每年向湖排放的污染物a的污水，流入湖的没有a的水的数量，从湖流出的水的数量。据悉，1999年底湖泊的A含量为5，超过了国家规定指标。为了控制污染，从2000年初开始限制向湖水排放的A污水的浓度不超过，问湖水中污染物A的含量至少要过几年才能下降到我的水平。(威廉莎士比亚

9、，美国电视电视剧，污染名言)(61n3年)。2.当某飞机降落在机场时，为了减少滑行里程，着陆的瞬间，飞机尾部打开减速伞，增加阻力，加快飞机速度，使飞机停止。目前质量为9000公斤的飞机在着陆时水平速度以700公里/h进行测试，打开减速伞后，飞机的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数)。飞机从着陆点开始滑行的最大距离是多少？(1.05公里)第六章多元函数微分6.1多函数概念6.1.1二进制函数限制定义F (P)=f (x，y)的定义字段为d，d的集合点。对于常量a，给定的正数总是有正数，因此点P(x，y)d，即时，都有| f(p)a |=| f(x，y)a |如果成立，常数a就称为函数f (x，y

10、)时(x，y)的极限或f (x，y)A(x，y)，此外，记录或f (P) A (P)为了区分一元函数的极限，上述二元函数的极限也称为双重极限。6.1.2二进制函数连续性f，如果函数f (x，y)在d的所有点上连续，则函数f (x，y)在d上连续，或者f (x，y)在d上的连续映射。如果函数f (x，y)在该点上不连续，则称为函数f (x，y)的断点。多元连续映射总和、差异、积累仍是连续映射；连续映射份额在分母不等于零牙齿的地方仍然是连续的。多元连续映射复合函数也是连续映射。在所有多变量初等函数定义区域中连续。多元初等函数的极限值就是该点函数的值，即。边界和最大最小值定理边界封闭区域D中的多元连

11、续映射，必须在D中有边界，并得到其最大值和最小值。边界闭合区域D中的介值定理多连续映射必须获取最大值和最小值之间的所有值。6.1.3部分导数和高阶导数概念，说明1对推导被认为是常数，几何意义也说明了牙齿问题二进制函数z=f (x，y)点(，)的偏导数具有以下几何意义：单程数，即曲面和平面相交处切线和x轴的斜率。同样，扁桃体的几何意义是曲面与平面x=的交点在此点处切线和y轴的斜率。2由于上述原因，在求时可以先代替(因此，可以简化函数)，然后诱导存在细微的、偏导数的、连续的关系。可以精细，偏导数连续，并且都连续的话=；6.1.4高阶偏微分如果函数z=f (x，y)在区域d内存在偏导数，则两个函数偏

12、导数称为函数z=f (x，y)的二次偏导数。根据变量的柔道顺序，有以下四个茄子二次偏导数：6.1.5偏微分，微分公式1.2.3.确认；确认。6.1.6部分衍生应用节目应用偏微分会注意空间曲面曲线切线平面、法线、切线和法线平面四个茄子方面。方向微分梯度，发散，卷曲；极值和条件极值。1.空间曲线切线和法线平面1)相切向量相切方程式：法向平面方程式：2)类似相切方程式：法向平面方程式：3)2.空间曲面切线平面和法线1)相切平面：法线：2)类似的相切平面：法线：3)*(参数方程式格式)切线3.方向微分(渐变方向投影)4.渐层、发散、旋转度6.1.7多元函数极值第一，无条件极值是二进制函数1.寻找驻扎点

13、2.在驻点P计算，以极值点，可以得到极少数，可以得到极极值。条件极值：求无条件极值。6.2练习题6.2.1多元函数、极限、连续、部分微分和总微分(a)示例问题例1函数满意，以下结论“连续；连续场所；连续”中正确的是()(a)(b)(c)(d)取消选择：)示例2在二进制函数点处可细化的充分条件是(a)(b)以及(c)和(d)取消选择：)例3证明了极限不存在。证据沿着三次抛物线存在。该值取不同的值，因为K删除了其他值。因此，极限是不存在的。范例4(1)讨论的连续性(2)追求(3)讨论的连续性(4)追求解决方案3360(1)当时，显然是连续的所以那也是连续的。(2)当时，而且，而且同样地，(3)在那

14、个时候，很明显，因为在那个时候因为不存在，所以不连续，同样，不连续。(4)当时，=当时，因为所以(b)练习1.设置点的函数部分微分(a)(b)该点的邻居必须有函数定义。(c)点处曲线切线的方向矢量为(d)必需(可选(c)2.二元函数下4茄子性质：连续 2个偏微分连续微存在于2个偏微分中。如果使用“p q”指示可以从特性P推特性Q，则存在“PQ”(a)(b)(c)(d)(d)3.设定，其中点的相邻点内连续。问一下。(1)在什么条件下存在？(？（）(2)在什么条件下微妙？（）6.2.2求偏微分的多元复合函数(a)示例问题例1，其中和分别具有二阶连续偏导数和一阶导数。释放：命令例19知道方程式有形解

15、，所以想求牙齿解。如果解散，就有了原来的方程式是现有的也就是说这是可以降序的二次微分方程，海得因此，存在(任意常数)。例3函数二阶连续偏微分和满足以查找表达式。解决方案：设置，下一步而且，相等是可以求的，但代入原来的方程就可以解了所以(b)练习具有一阶连续部分微分的设定，求。（）2.已知函数满足方程，参数确定原方程在变换下不出现一阶偏微分项。（）3.函数设定点很小，、和(51)6.2.3隐函数柔道(a)示例问题示例1具有由方程和确定的函数，其中和分别具有一阶连续度数和一阶连续扁桃体，并求出。解决方案3360分别从两侧推导。海得岛州例2具有函数连续偏微分，由方程确定并求。解决方案3360，在x诱导的两侧方程组，获得而且，所以，以同样的方式所以范例3 .根据隐函数存在定理，有一个点(0，l，1)的邻居的三元方程。(a)只能确定一个具有连续部分微分的隐函数(b)具有连续部分微分的两个隐函数和(c)具有连续偏微分的两个隐函数和(d)具有连续偏微分的两个隐函数和取消选择：)范例4 .二元函数设置具有二次连