平面向量的数量积与平面向量应用举例.ppt

1、第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入,第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用举例,抓 基 础,明 考 向,提 能 力,教 你 一 招,我 来 演 练,备考方向要明了,一、两个向量的夹角 1夹角的定义：,非零,0或,0，,2射影的定义： 设是a与b的夹角，则 叫作向量b在a方向上的射 影 叫作a在b方向上的射影 射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量当 时，它是正值；当 时，它是负值；当 时，它是0. 3平面向量数量积的定义： 已知两个向量a和b，它们的夹角为，把 叫作a 与b的数量积(或内积)，记作 .,为锐角,为钝角,|a|b|cos,ab,|b|cos ,|a|cos ,90,4数

2、量积的几何意义： a与b的数量积等于 的 乘积，或 的乘积 5数量积的物理意义： 力对物体做功，就是 .,a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos,b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos ,力F与其作用下物体的位移s的数量积Fs,二、向量数量积的性质 1如果e是单位向量，则aeea ,5|ab| |a|b|.,4cos (为a与b的夹角) .,3aa ，|a| .,2ab .,|a|cos (为a与e的夹角),ab0,|a|2,三、数量积的运算律 1交换律ab .,3分配律：a(bc)abac.,2对R，(ab) ,ba,(a)b,a(b),四、数量积的坐标运算 设a(a1，a2)，

3、b(b1，b2)，则 1ab .,a1b1a2b2,2ab .,3|a| .,4cos (为a与b的夹角) .,a1b1a2b20,解析：|ab|a|b|cos |，只有a与b共线时，才有|ab|a|b|，可知B是错误的,答案：B,2(2011辽宁高考)已知向量a(2,1)，b(1，k)， a(2ab)0，则k () A12 B6 C6 D12,答案： D,解析：2ab(4,2)(1，k)(5,2k)， 由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0 102k0，解得k12.,答案： D,答案：4,5(2011安徽高考)已知向量a，b满足(a2b)(ab) 6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹

4、角为_,1对两向量夹角的理解 (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向 量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动， 使其起点相同，再观察夹角 (2)两向量夹角的范围为0，特别当两向量共线且同 向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意 两向量夹角的范围,2相关概念及运算的区别 (1)若a、b为实数，且ab0，则有a0或b0，但ab0 却不能得出a0或b0. (2)若a、b、cR，且a0，则由abac可得bc，但由ab ac及a0却不能推出bc.,(3)若a、b、cR，则a(bc)(ab)c(结合律)成立，但对于 向量a、b

5、、c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向 量的数量积是不满足结合律的 (4)若a、bR，则|ab|a|b|，但对于向量a、b，却有 |ab|a|b|，等号当且仅当ab时成立,精析考题 例1(2010广东高考)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x() A6B5 C4 D3,自主解答8ab8(1,1)(2,5)(6,3)， 所以(8ab)c(6,3)(3，x)30， 即183x30，解得：x4.,答案C,答案6,巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),答案：9,冲关锦囊,(1)解决与夹角有关问题时一定要注意两向量是否共起点， 否则会造成失误 (2)向

6、量的数量积的运算律类似于多项式乘法法则，但并不 是所有乘法运算都可以推广到向量数量积的运算，如 (ab)ca(bc).,答案C,本例条件不变，若(ab)(ab)，试求的值,例4(2011新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.,自主解答a与b是不共线的单位向量，|a|b|1. 又kab与ab垂直，(ab)(kab)0， 即ka2kababb20. k1kabab0. 即k1kcos cos 0.(为a与b的夹角) (k1)(1cos )0.又a与b不共线， cos 1，k1.,答案1,答案：B,4(2012郑州模拟)若向量a、b满足|a|b

7、|1，且 (a3b)(a5b)20，则向量a，b的夹角为 () A30 B45 C60 D90,答案：C,5(2012豫南九校联考)已知平面向量a，b满足|a|1， |b|2，a与b的夹角为60，则“m1”是“(amb)a”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件,解析：由(amb)a a(amb)0 |a|2mab0 1m12cos600m1. m1是(amb)a的充要条件,答案：C,冲关锦囊,1求两非零向量的夹角时要注意 (1)向量的数量积不满足结合律； (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量 积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两 向量不能共线时两向量的夹角就是钝角 2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及 |a|，|b|或得出它们的关系.,答案5,巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),答案： C,冲关锦囊,巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),答案： A,冲关锦囊,向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题,数学思想 数形结合思想在平面向量中的应用,题后悟道 解答本题首先根据已