概率论第七章 第三节.ppt

1、区 间 估 计,理解区间估计的概念，置信水平与置信区间 的概念。 会求正态总体的均值与方差的置信区间。,问题提法,这种形式的参数估计方法称为区间估计 .,置信区间与置信水平,定义：设总体X的分布函数中含有一个未知参数，对于给定的小数(01)，如果能由样本 X1,X2,Xn 确定两个统计量：,则称区间,使得成立概率：,为参数的置信水平为1-的置信区间。,置信区间的求法,例1：设总体X服从正态分布N(,2)，X1,X2,Xn是来自它的一个样本，其中未知，2已知，求总体均值的置信水平为1-的置信区间。,解：注意到样本均值是的无偏估计量，并且有分布,但这个分布中有未知参数，将它标准化：,分布中包含要估

2、计的参数！,W的分布不包含任何未知参数！,从而可以选择数a,b使下面概率成立：,事实上：,从不等式 aWb中解出 即得它的置信区间：,这是一个对称区间!,的置信区间也可以写成：,长度为：,如果给出一个置信水平比如0.95，样本均值的观察值即：,则可得一个置信区间：,的置信区间不是唯一的，按下图取分位点,则和另一个置信区间：,这两个的置信区间长度分别为：,第一个区间的长度更小，因此我们经常取长度较小的区间作为置信区间。,一般我们总是取/2的分位点来构造置信区间!,根据这个例子我们总结出置信区间的求法：,Step1:用参数的无偏估计量确定一个包含未知参数的随机变量W，使它具有确定的分布，即分布中不

3、含任何参数。,一般我们总是取/2的分位点来构造置信区间!,Step2:对所给的置信水平，确定随机变量W的分位点即a,b使概率成立：,Step3:从不等式 aWb 中解出未知参数即得置信区间。,单正态总体均值与方差的区间估计,Step1:显然样本均值服从正态分布即：,故选择随机变量W，则有：,Step2:对所给的置信水平，有：,Step3: 从不等式中解出均值得：,因此均值的置信区间为：,例题1：从一批零件中抽取16个，测得长度单位cm为：,设零件长度X服从正态分布N(,0.012)，求总体均值的置信水平为0.9的置信区间。,解：=0.01,=1-0.9=0.1,查表得：,再由样本可算出：,于是

4、所求的置信区间为：,例题2：设总体X服从正态分布N(,1.252)，问抽取样本容量为多大的样本才能使总体均值的置信水平为0.95的置信区间的长度不大于0.49？,解：=1.25,=1-0.95=0.05,查表得：,于是置信区间的长度为：,例题3：设从总体X中抽取一个样本 0.50,1.25,0.80,2.00,如果总体的函数 Y=lnX 服从正态分布N(,1)，(1)求总体均值 E(X)=?；（2）求对数总体Y的均值的水平为0.95的置信区间；（3）求总体均值 b=E(X)的水平为0.95的置信区间。,解：总体X未必服从正态分布，但它的函数Y却是正态总体！,第二问：n=4,=0.05,故,所以

5、的置信区间为：,第三问：,Step1:由前面一章的定理可得样本均值与样本标准差构成的随机变量W：,Step2:对所给的置信水平，有：,Step3: 从不等式中解出均值得：,因此均值的置信区间为：,解：,例题4：用某仪器测量温度，重复5次，得数据如下：,1250,1260,1265,1245,1275摄氏度，若测得的数据服从正态分布，试求温度真值所在范围。取置信水平为0.95。,解：,例题5：对某种飞机的飞行速度进行15次实验，测得最大飞行速度为：,若测得的数据服从正态分布，试求最大飞行速度期望值的 取置信水平为0.95的置信区间。,解：,例题5：设总体 XN(2),其中参数均未知，设X1,X2

6、,Xn为来自总体的样本。求的置信水平为1-的置信区间的长度L的平方的数学期望与方差。,从而得：,从而得：,正态总体方差的区间估计,Step1:由前面一章的定理可得样本方差构成的随机变量W：,Step2:对所给的置信水平，有：,Step3: 从不等式中解出均值得：,因此均值的置信区间为：,解,例题4：用某仪器测量温度，重复5次，得数据如下：,1250,1260,1265,1245,1275摄氏度，若测得的数据服从正态分布，试求方差与标准差的置信水平为0.95的置信区间。,例题7：随机抽取一个年级中25名同学测量他们的身高，算得平均身高为170cm，标准差为12cm。如果身高X服从正态分布XN(2

7、),求该年级学生平均身高和身高的标准差的0.95的置信区间。,解：,方差已知条件下两正态总体均值差的区间估计,问题提法:,第一个正态总体： 正态总体XN(1, 12)； X1,X2,Xn是一个简单随机样本；,样本均值、样本方差,第二个正态总体： 正态总体YN(2, 22)； Y1,Y2,Yn是一个简单随机样本；,样本均值、样本方差,都已知,设置信水平为，试求1-2置信区间。,方差已知条件下两正态总体均值差的区间估计,Step1:由前面一章的定理可得样本均值构成的随机变量W：,Step2:对所给的置信水平，有：,Step3: 从不等式中解出1-2得：,因此均值1-2的置信区间为：,例题:某新型纺

8、机所纺纱线的断裂强度X服从N(1,2.182),普通纺机所纺纱线的断裂强度Y服从N(2,1.762).现在对前者所纺纱线抽取容量为200的样本，算得样本均值为5.32，对后者所纺纱线抽取容量为100的样本，算得样本均值为5.76，试问在置信水平0.95下1，2是否有明显区别？,解：,从而根据方差已知情况下两正态总体均值差的置信区间得：,由于置信度为0,95的置信区间包含0，故认为这两个均值无明显差别。,方差未知条件下两正态总体均值差的区间估计,问题提法:,第一个正态总体： 正态总体XN(1, 12)； X1,X2,Xn是一个简单随机样本；,样本均值、样本方差,第二个正态总体： 正态总体YN(2

9、, 22)； Y1,Y2,Yn是一个简单随机样本；,样本均值、样本方差,都未知,设置信水平为，试求1-2置信区间。,方差未知条件下两正态总体均值差的区间估计,Step1:由前面一章的定理可得样本均值构成的随机变量W：,Step2:对所给的置信水平，有：,Step3: 从不等式中解出1-2得：,因此均值1-2的置信区间为：,例题:为了比较I，II两种型号步枪子弹的枪口速度，随机抽取I型子弹10发，测得枪口速度的均值为500m/s,标准差为1.1m/s；II型子弹20发，测得枪口速度的均值为496m/s,标准差为1.2m/s。如果两总体都服从正态分布N(1,2),N(2,2).试问在置信水平0.9

10、5下1，2是否有明显区别？,解：,从而根据方差未知情况下两正态总体均值差的置信区间得：,由于0.95的置信区间下限明显大于0，故认为II型子弹枪口速度明显大于I型子弹的枪口速度。,两正态总体方差比的置信区间,问题提法:,第一个正态总体： 正态总体XN(1, 12)； X1,X2,Xn是一个简单随机样本；,样本均值、样本方差,第二个正态总体： 正态总体YN(2, 22)； Y1,Y2,Yn是一个简单随机样本；,样本均值、样本方差,未知,Step1:由前面一章的定理可得样本均值构成的随机变量W：,设置信水平为，试求12/22置信区间。,Step2:对所给的置信水平，有：,Step3: 从不等式中解出均值方差比得：,因此方差比的置信区间为：,例题:研究由机器A、B生产的钢管的内径，它们分别服从正