概率论第三章第五节.ppt

1、3.5 多个随机变量的函数的分布,问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布，,如何求出 Z=g (X, Y)的分布？,有一大群人，令X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示该人的血压，并且已知Z与X,Y的函数关系Z=f(X,Y)，如何通过X,Y的分布确定Z的分布.,(1) 设(X1, X2) 是二维离散型随机变量， 则 Z = g(X1, X2) 是一维离散型随机变量.,3.5.1 两个离散型随机变量函数的分布,(2) 二维离散型随机变量函数的分布是容易求的：,i) 对(X1, X2)的各种可能取值对，写出 Z 相应的取值.,ii) 对Z的 相同的取值，合并其对应的概率.,求随机变量 Z=

2、X+Y 的分布律.,结 论,若二维随机变量(X,Y)的联合分布律为,则随机变量Z=(X,Y)的分布律为,例2 设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布律.,解:,X 0 1 P 1/2 1/2,Y 0 1 P 1/2 1/2,Z = max(X, Y) 的取值为: 0, 1,P(Z=0) = P(X=0, Y=0),= (X=0)P(Y=0),=1/4,P(Z=1),= P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1),= 3/4,1. Z=X+Y 的分布,3.3.2 两个连续型随机变量的函数的分布,由此可得概

3、率密度函数为,由于X 与Y 对称,当 X, Y 独立时,例3,若 (X, Y) ,求Z=X+Y的概率密度.,解:,fZ(z)=,由f (x, y)的表达知，当x0，z-x0时, 被积函数不为0，如图3-6.,例4 X与Y 是独立同分布的标准正态变量，求 Z = X+ Y 的分布.,解：,所以 Z = X+ Y N(0, 2).,说明,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布.,一般地，设X,Y相互独立,且 仍然服从正态分布，则Z=X+Y也服从正态分布， 且有,设 X1, X2, Xn, 独立同分布，其分布函数

4、和概率密度分别为 FX(x) 和 fX(x). 若记,M= max (X1, X2, Xn),N = min (X1, X2, Xn),则,M 的分布函数:,Fmax (z) = FX(y)n,M 的概率密度:,fmax(z) = nFX(y)n1 fX(y),N 的分布函数:,Fmin(z) = 11 FX(z)n,N 的概率密度:,fmin(z) = n1 FX(z)n1 fX(z),（二） 最大值、最小值的分布,例5 设系统L由两个相互独立的子系统L1和L2联接而成，其联接方式分别为(1) 串联、(2) 并联,如图3-7所示.设L1和L2的寿命分别为X和Y，已知它们的密度函数分别为:,其

5、中0,0.试分别就以上两种联接方式，求出系统L的寿命Z的概率密度.,解:（1）串联情况. 因为当L1和L2中有一个损坏，系统L就停止工作，所以，此时L的寿命为 Z=minX,Y. 由已知可知X和Y的分布函数分别为：,所以Z的分布函数为,FZ(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),于是得Z的概率密度,(2) 并联情况. 此时系统L的寿命为Z=maxX,Y. 所以Z的分布函数为,FZ(z)=FX(z)FY(z)=,于是得Z的概率密度,fZ(z)=,分布的可加性,若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.,二项分布的可加性,若 X b(n1, p)，Y b(n2, p

6、)，,注 若 Xi b(1, p)，且独立，则 Z = X1 + X2 + + Xn b(n, p).,则 Z = X+ Y b(n1+n2, p).,泊松分布的可加性,若,注 X Y 不服从泊松分布.,且独立，,则 Z = X+ Y (1+2).,正态分布的可加性,若 X N( )，Y N( ) ，,注 X Y 不服从 N( ).,则 Z = X Y N( ).,独立正态变量的线性组合仍为正态变量.,Xi N(i, i2), i =1, 2, . n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ., an 不全为零, 则,1. Z = X+ Y的概率密度,小 结,当X与Y 独立， Z=X

7、+ Y 的概率密度为,设 X1, X2, Xn, 独立同分布，其分布函数和概率密度分别为 FX(x) 和 fX(x).,M= max (X1, X2, Xn),N = min (X1, X2, Xn),则,M 的分布函数:,Fmax (z) = FX(y)n,M 的概率密度:,fmax(z) = nFX(y)n1 fX(y),N 的分布函数:,Fmin(z) = 11 FX(z)n,N 的概率密度:,fmin(z) = n1 FX(z)n1 fX(z),2. 最大值、最小值的分布,若 X N( )，Y N( ) ，,且独立，,则 Z = X Y N( ).,独立正态变量的线性组合仍为正态变量.,3.正态分布的可加性,Xi N(i, i2), i =1, 2, .