积分变换第4讲卷积定理与相关函数.ppt

1、1,积分变换第4讲,2,卷积定理与相关函数,3,卷积的概念若已知函数f1(t), f2(t), 则积分,称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t),4,卷积的图示,f1(t),f2(t),t,O,f2(-t),O,t,t,O,t,f2(t-t),5,在积分,中, 令u=t-t, 则t=t-u, du=-dt, 则,即卷积满足交换律.,6,下证卷积满足结合律, 即f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t),则,为此, 令,7,交换二重积分的次序, 得,令v=t-u, 则u=t-v,8,例1 证明卷积满足分配率： f1(t)*f2(t)+f3(t

2、)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t),证: 根据卷积的定义,9,任给函数f(t), 都有f(t)*d(t)=f(t), 这是因为,因此, 单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的运算中的1的作用.另外,10,例2 若,求f1(t)*f2(t),f1(t),1,O,t,t,O,f2(t-t),1,t,11,由卷积的定义有,t,O,1-e-t,1,12,【卷积定理】假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件, 如 f1(t) F1(w) f2(t) F2(w)则 f1(t) * f2(t) F1(w)F2(w)以及,*以2f来代替w来表示的傅立叶变换有：,13,证 按

3、傅氏变换的定义, 有,14,【相关函数】对两个不同的实函数f1(t)和f2(t), 则积分,称为两个函数的互相关函数, 记为R12(t), 即,15,当f1(t)=f2(t)=f(t)时, 积分,称为f(t)的自相关函数(简称相关函数). 用记号R(t)表示, 即,16,根据R(t)的定义, 自相关函数是一个偶函数, R(-t)=R(t)事实上,令t=u+t, 可得,关于互相关函数, 有如下的性质: R21(t)=R12(-t),17,前面已经证明过，当f1,f2为实函数时：,令f1(t)=f(t), f2(t)=f(t+t), 设f(t)F(w), 则,S(w):能量谱密度,18,假设f1(

4、t)F1(w), f2(t)F2(w), 称S12(w)=F1(w)F2(w)为互能量谱密度. 则,即R12(t)S12(w), 且易证S21(w)= S12(w),19,例3 求指数衰减函数,的自相关函数和能量谱密度,t,O,f(t),1,t,O,f(t+t),1,t,O,f(t+t),1,-t,-t,20,当t0时, 积分区间为0,+),当t0时, 积分区间为-t, +),21,因此, 当t时, 自相关函数可合写为,并求得能量谱密度为,22,例4 利用傅氏变换的性质, 求d(t-t0),23,例5 若f(t)=cosw0t u(t), 求F f(t),24,例6 若F(w)=F f(t),

5、 证明,25,END,26,奈奎斯特采样率,27,假设时间函数f(t)在区间-a, a之外全为零, 并假设f(t)F(w),t,O,f(t),a,-a,O,w,F(w),28,现将f(t)进行周期化, 产生fT(t), T=2a, 然后用傅氏级数表示.,t,O,fT(t),a,-a,29,t,O,fT(t),a,-a,O,w,FT(w),w1,w2,.,30,根据对称原理有FT(t)2pfT(-w),O,t,FT(t),i1,t2,.,w,O,fT(-w),a,-a,31,假设时间函数f(t)的频谱函数F(w)在-2pB,2pB之外为0.B称为f(t)的带宽.,w,O,F(w),2pB,-2pB,O,t,f(t),32,现对f(t)进