计算机图形学 CG06_3曲面.ppt

1、6.3常用参数曲面,本节讨论常用曲面的表示、性质及其有关构造算法。 常见的曲面有： 平面、二次曲面、直纹面、双线性曲面、Coons曲面、Bezier曲面、B样条曲面、NURBS曲面等,6.3.1参数曲面的定义,曲面也有显式、隐式和参数式表示，从计算机图形学的角度看，参数曲面更便于计算机表示和构造。 一张矩形域上的参数曲面片 由曲线边界包围具有一定连续性的点集面片，用双参数的单值函数表示为： x=x(u,w) y=y(u,w) z=z(u,w)u,w0,1 可记为p(u,w)=x(u,w),y(u,w),z(u,w),6.3.1参数曲面的定义,参数曲面片常用几何元素有以下几种： 角点 p(0,0

2、), p(1,0), p(0,1)和 p(1,1), 可简记为p00, p10, p01和 p11。 边界线 矩形域曲面片的四条边界线是p(u,0), p(u,1), p(0,w)和 p(1,w), 可简记为pu0, pu1, p0w和 p1w 曲面上的一点 p(ui,wj), 可简记为pij Pij点的切矢 Piju Pijw 点的法矢n(ui,wj),简记为nij,6.3.1参数曲面的定义,常用面片的参数表示： 二维矩形平面 球面 简单回转体 双三次参数曲面 代数形式 P=UAWT 几何形式几何系数矩阵BP=F(u)BFT(w)=UMBMTWT 切矢和扭矢,6.3.2参数曲面的重新参数化,

3、参数方向变反 重新参数化的一般形式 参数曲面片的分割 给定一张参数曲面片，其几何系数矩阵B1，求其子曲面片的几何系数矩阵B2,6.3.3平面二次曲面和直纹面,平面 P(u,w)=p00+ur+ws u,w0,1 二次曲面 Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Jz+k=0 矩阵形式：XSXT=0 直纹面 绕面上的任一点的面法矢旋转含该法矢的平面，如果该 平面至少在某一方向上有一条边和该面重叠。 p1(u,w)=(1-u)p0w+up1w u,w0,1 双线性曲面 P342,6.3.4Coons曲面,1964年S.A. Coons提出一种采用参数方法的曲面分片、拼合造型的思

4、想，用四条边界构造曲面平面。 线性Coons曲面 是通过四条边界曲线pu0 , pu1 , p0w , p1w 来构造曲面。 p1(u,w)=(1-u)p0w+up1w u,w0,1 p2(u,w)=(1-w)pu0+wpu1 u,w0,1 p3(u,w)=(1-w)(1-u)p00+up10 +w(1-u)p01+up11 P(u,w)= p1(u,w)+p2(u,w)-p3(u,w) u,w0,1,6.3.4Coons曲面,第二类Coons曲面 不仅插值于曲面的四条边界，而且插值于给定的斜率。已知四条边界曲线pu0 , pu1 , p0w , p1w及导数矢量pu0w , pu1w , p

5、0wu, p1wu，则 p1(u,w)=F0(u)p0w+F1(u)p1w+G0(u)p1wu+G1(u)p1wu p2(u,w)=F0(w)pu0+F1(w)pu1+G0(w)pu0w+G1(w)pu1w p3(u,w)=,6.3.4Coons曲面,第二类Coons曲面 P(u,w)=p1(u,w)+p2(u,w)-p3(u,w) u,w0,1,张量积曲面 在上述曲面构造中，若取边界及跨边界的切矢都按同一调和函数规律地变化，则可简化(略 详见P345),6.3.4Coons曲面,Coons曲面片的拼接 两张Coons曲面S1(u,w)和S2(u,w)拼接，要求在公共边界处达到C0G1连续：

6、C0连续要求公共边重叠，即S1(1,w)=S2(0,w) G1连续要求S1(1,w)的S2(0,w)切平面共面，且法矢的方向保持一致。充要条件是：,6.3.5 Bezier曲面,基于Bezier曲线的讨论，我们可以方便地可以给出Bezier曲面的定义和性质，Bezier曲线的一些算法也可以很容易扩展到Bezier曲面的情况。 1定义 设Pij(i=0,1,n; j=0,1,m)为(m+1)(n+1) 个空间点列，则 mn次Bezier曲面定义为：,6.3.5 Bezier曲面,其中 ， 是Bernstein基函数。 依次用线段连接点列Pij(i=0,1,n; j=0,1,m)中相邻两点所形成的

7、空间网格，称之为特征网格。,Bezier曲面的矩阵表示式是： 在一般实际应用中，m,n不大于4。,性质,除变差减小性质外，Bezier曲线的其它性质可推广到Bezier曲面： （1）Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点，即,性质,（2）Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界；Bezier曲面边界的跨界切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，且 、 、 和 （图打上斜线的三角形）,其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶点有关； （3）几何不变性。 （4）对称性。 （5）凸包性。,1. 双线性Bezier曲面 当m=n=1时，,2. 双二次Bezier曲面 当m=n=2时，,其边界曲线及参数坐标曲线均为抛物线。,3. 双三次Bezier曲面 当m=n=3时，,其矩阵表示为S(u,w)=UMzBzMzTWT 其中U=u3 u2 u 1, W=w3 w2 w 1, Mz同前Bezier曲线中，而,两张Bezier曲面S1(u,w)和S2(u,w)分